曾吉相

(遵義市第四中學(xué),貴州 遵義563000)

1 試題分析

本題以直線與雙曲線的位置關(guān)系作為情境,考查圓錐曲線離心率的求解.結(jié)合圖形,利用正(余)弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義與性質(zhì),得到a,b,c之間的關(guān)系即可求解.注意討論點(diǎn)M,N在雙曲線的同一支或者在各一支的情況.因?yàn)樽罱K的結(jié)果是有兩種情況,故建議該題修正為多選題或者兩個(gè)正確選項(xiàng)中只要考生選對(duì)一個(gè)都給分.

2 解法探究

思路1正弦定理,轉(zhuǎn)化關(guān)系.

解法1不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸,設(shè)過點(diǎn)F1作圓D的切線切點(diǎn)為G.

圖1 點(diǎn)M,N分別在雙曲線左右支

又|OG|=a,|OF1|=c,|GF1|=b,設(shè)∠F1NF2=α,∠F2F1N=β,在△F1NF2中,有

代入整理得到2b=3a.

所以雙曲線的離心率

②若M,N均在左支上,如圖2所示,同理有

圖2 點(diǎn)M,N均在雙曲線左支上

故a=2b.

綜上所述,選AC.

思路2正弦、余弦雙管齊下.

解法2 (以點(diǎn)M,N分別在左右兩支為例)不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓即為圓O,如圖1所示.

記雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,切線與圓O的切點(diǎn)為G,連接OG,則

OG⊥NF1.

在Rt△GOF1中,|OG|=a,|OF1|=c,則

在△NF1F2中,由正弦定理,得

在△NF1F2中,由余弦定理,得

|F1F2|2=|NF1|2+|NF2|2-2|NF1||NF2|·cos∠F1NF2.

綜上所述,選AC.

思路3巧作垂線,化斜為直.

解法3 (以點(diǎn)M,N分別在左右兩支為例)不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓即為圓O,如圖3所示.

圖3 解法3示意圖

記雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,則

|NF1|-|NF2|=2a,|F1F2|=2c.

設(shè)切線與圓O的切點(diǎn)為G,連接OG,過點(diǎn)F2作F2B⊥NF1于點(diǎn)B,則OG∥F2B,且G為F1B的中點(diǎn).

由條件|OG|=a,則

|BF2|=2a,

綜上所述,選AC.

思路4小題小做,巧取特值.

解法4(以點(diǎn)M,N分別在左右兩支為例)不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,則以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓即為圓O.記雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c.

設(shè)切線與圓O的切點(diǎn)為G,連接OG,過點(diǎn)F2作F2B⊥NF1于點(diǎn)B,則OG∥F2B,且G為F1B的中點(diǎn).

所以|OG|=a=2,

|NF1|=|NF2|+2a=9,|BF1|=9-3=6.

綜上所述,選AC.

3 題后反思

解法3和4通過作垂線,在關(guān)聯(lián)情境中,想象并構(gòu)建相應(yīng)問題的幾何圖形,化斜三角形為直角三角形,有利于問題的解決.需要考生借助圖形提出數(shù)學(xué)問題,發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系,解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題.

4 背景推廣

證明在△PF1F2中,由正弦定理,得

由等比定理,得

證明在△PF1F2中,由正弦定理,得

由等比定理,得

5 變式訓(xùn)練

答案提示:D;C.