黃錦哲

(廈門市同安實驗中學(xué),福建 廈門 361100)

課程標(biāo)準(zhǔn)提出:數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運算主要包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序與求得運算結(jié)果[1].解析幾何與數(shù)學(xué)運算有著密切的聯(lián)系.一方面,解析幾何問題的解決需要借助數(shù)學(xué)運算;另一方面,數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升需要解析幾何這一載體.高考中的解析幾何問題往往綜合性較強(qiáng)且變量比較多,導(dǎo)致運算量大,學(xué)生存在畏難情緒.所以,解讀問題的本質(zhì),剖析算理的意義,總結(jié)各種算法的優(yōu)劣,達(dá)成數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng),是解析幾何教學(xué)的重要任務(wù)[2].

1 問題呈現(xiàn)

(1)求l的斜率;

評注本題主要考查雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形的面積等基礎(chǔ)知識;考查推理論證、運算求解以及創(chuàng)新能力;考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 問題剖析

(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0.

即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

化簡,得(k+1)(2k-1+m)=0.

所以k=-1或m=1-2k.

當(dāng)m=1-2k時,直線l:y=kx+m=k(x-2)+1過點A(2,1),與題意不符,舍去,故k=-1．

以下通過改變運算方法來簡化運算.

2.1 同理類比,事半功倍

直線AP的方程為y-1=k(x-2),

(1-2k2)x2-(4k-8k2)x-8k2+8k-4=0.

由于x=2為方程的一根,

2.2 設(shè)而不求,搭梯登頂

又點P,Q在曲線C上,所以有

整理,得

x1x2-2(x1-x2)+2y1y2+2(y2-y1)-6=0,

x1x2-2(x2-x1)+2y1y2+2(y1-y2)-6=0.

作差,得-4(x1-x2)-4(y1-y2)=0.

2.3 平移坐標(biāo),簡化運算

2.4 巧用齊次,化繁為簡

將x′,y′代入雙曲線的方程可得

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

直線l與雙曲線聯(lián)立得

x′2-2y′2+4(x′-y′)(mx′+ny′)=0.

2.5 高觀導(dǎo)向,未算先知

即2a2my0-2b2nx0=0.

第(2)問也有多種解法,筆者介紹兩種方法.

2.6 數(shù)形結(jié)合,以形助數(shù)

如圖1,過點P作PM∥x軸,交AQ于點M.

圖1 雙曲線右支圖

顯然P,M兩點關(guān)于直線x=2對稱.

所以S△PAQ=S△PAM+S△QPM

2.7 巧設(shè)方程,絕處逢生

(2+t1cosα)2-2(1+t1sinα)2=2.

“多思少算”是數(shù)學(xué)高考命題的指導(dǎo)思想,在解析幾何教學(xué)中要注重對運算對象的理解、運算目標(biāo)的確定,要給學(xué)生足夠的時間和空間探索運算思路和方法,要重視演示運算過程中出現(xiàn)的難點,鼓勵學(xué)生進(jìn)行解后反思,優(yōu)化運算方法,提升運算素養(yǎng).