李鴻昌

(北京師范大學貴陽附屬中學,貴州 貴陽 550081)

波利亞說:“一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目,還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面,在指導學生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力.”

1 試題呈現

2 試題解析

由弦長公式,得

整理,得b2k3-a2k2+a2k-b2=0.

從幾何直觀或者方程都明顯知道上述方程有一根為k=1,然后因式分解,得到

(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0.

①

下面討論方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0根的個數,其判別式為Δ=(b2-a2)2-4b4=a4-2a2b2-3b4=(a2-3b2)(a2+b2).

圖1 橢圓內接等腰直角三角形

有讀者會問:另外的兩個等腰直角三角形該怎么確定?它們有怎樣的幾何關系?也有讀者會問:如圖1所示,根據橢圓的對稱性,當點B,C關于y軸對稱時,必有|AB|=|AC|;反過來,如果|AB|=|AC|,那么是否一定有B,C關于y軸對稱呢?

3 幾何背景

基于讀者的以上疑惑,下面我們來探究一下該題的幾何背景.

設方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0的兩根為k1,k2,計算可得

(1)k1所對應的等腰直角三角形的確定:過頂點A(0,b)作斜率為k1的直線與橢圓E交于點B,再過A(0,b)作斜率為-k2的直線與橢圓E交于點C,則△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形如圖2.

圖2 橢圓內接等腰直角三角形

(2)k2所對應的等腰直角三角形的確定:過頂點A(0,b)作斜率為k2的直線與橢圓E交于點B,再過A(0,b)作斜率為-k1的直線與橢圓E交于點C,則△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形如圖3.

分析如圖3所示,設AB與x軸交于點M,∠AMO=α(其中tanα=k2);設AC與x軸交于點N,∠ANO=β(其中tanβ=k1).由于k1k2=1,所以α與β互余.即α+β=π/2.故AB⊥AC.

此時△ABC是以A為直角頂點的等腰三角形.注意到,圖3中的△ABC與圖2中的△ABC是關于y軸對稱的.

這時,也許還有讀者會問:以上的做法只能確定AB⊥AC成立,但還不能確定|AB|=|AC|是否成立.事實上,因為橢圓方程是確定的,所以k1,k2也是確定的,根據前文的試題解析過程可知,這樣的做法可以確定|AB|=|AC|是成立的.

4利用超級畫板探究

為了更加形象、直觀,筆者通過超級畫板做了進一步的探究.

圖4 橢圓內切于圓

圖5 橢圓與圓有4個交點

5 一個特例

筆者查閱文獻,發(fā)現與期末考試題類似的題曾在2006年山東省數學競賽試題中出現過,它就是期末考試題的一個特例.試題如下: