胡 乙

(江蘇經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京 211168)

在數(shù)學(xué)中,向量數(shù)量積(內(nèi)積或點積)指:兩個向量a和b的模與它們夾角余弦的乘積[1].向量夾角與數(shù)量積教學(xué)一直是向量教學(xué)的重點與難點.在教學(xué)實踐中,如何引導(dǎo)學(xué)生完整準確地理解以上概念,中外學(xué)界對此一直未達成共識.

目前國內(nèi)教材普遍運用物理學(xué)中恒力F做功的公式說明向量數(shù)量積概念,而從數(shù)學(xué)幾何出發(fā)講授向量數(shù)量積,其研究尚處于萌芽狀態(tài).程仕然認為從物理學(xué)恒力F做功公式推導(dǎo)向量數(shù)量積公式有以下不足:一是學(xué)生尚不完全熟悉物理做功公式,二是物理學(xué)公式與數(shù)學(xué)公式描述的符號及說法上有不同,可能造成學(xué)生新的困擾[2].據(jù)此,教師如果轉(zhuǎn)換思路,從求解向量夾角入手推導(dǎo)向量數(shù)量積公式,則可能彌補以上不足.陳文雅、江一鳴主張:將向量視為線段,從線段投影出發(fā),運用數(shù)形結(jié)合思想,將向量數(shù)量積視為向量間投影[3].可見,若從幾何空間出發(fā)設(shè)計向量相關(guān)教學(xué),則師生教學(xué)可能更為輕松.

國外學(xué)界傾向于從幾何空間出發(fā),首先從笛卡爾坐標定義向量數(shù)量積,再運用向量封閉回路法構(gòu)造直角三角形證明向量數(shù)量積公式.如卡爾·P.西蒙等提出應(yīng)在幾何空間中運用封閉回路構(gòu)造直角三角形,并運用勾股定理推導(dǎo)向量數(shù)量積公式[4].此觀點已經(jīng)涉及向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì),但不完整.完整的向量數(shù)量積教學(xué)應(yīng)包含兩方面,即從向量坐標法與向量封閉回路法出發(fā),全面講授向量數(shù)量積概念.

此外,通過調(diào)整相關(guān)概念教學(xué)順序,可能會提高教學(xué)效率.按觀察問題、解決問題的邏輯順序,學(xué)生應(yīng)首先認識向量夾角,在計算向量夾角大小的過程中,教師可引導(dǎo)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的算法,對算法做適當變換后,再引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量數(shù)量積概念.以上教學(xué)設(shè)計不僅有利于學(xué)生深入理解向量數(shù)量積的數(shù)學(xué)本質(zhì),而且可培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題中進行數(shù)學(xué)抽象的能力.

據(jù)此,研究擬從數(shù)學(xué)幾何出發(fā),首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)笛卡爾平面中的向量夾角,并從向量坐標法與向量封閉回路法兩種角度引導(dǎo)學(xué)生求解向量夾角余弦值,在此過程中,啟發(fā)學(xué)生歸納出求解向量夾角余弦值的公式,對公式做適當變換后,教師可正式提出向量數(shù)量積概念.同時,因為向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,為使學(xué)生深入理解以上概念,研究將從向量坐標與封閉回路兩個角度,引導(dǎo)學(xué)生運用向量數(shù)量積公式,創(chuàng)新證明歐氏幾何直角三角形相關(guān)定理,使學(xué)生從多角度深入認識向量的概念與作用,并學(xué)會在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等不同學(xué)科中,主動運用以上知識分析相關(guān)數(shù)學(xué)模型,以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,實現(xiàn)教學(xué)初衷.

1 向量夾角與向量數(shù)量積

與傳統(tǒng)教學(xué)不同,教師可在笛卡爾平面建立向量夾角,請學(xué)生運用三角函數(shù)計算該夾角的余弦值,在此過程中,引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.待學(xué)生熟練掌握后,教師可從向量封閉回路角度再次引導(dǎo)學(xué)生理解向量夾角與向量數(shù)量積.

1.1 從向量坐標法理解向量夾角與向量數(shù)量積

圖1 從向量數(shù)對(坐標)出發(fā)理解向量夾角與向量數(shù)量積

cos∠AOB=cos(∠AOX-∠BOX)

=cos∠AOXcos∠BOX+sin∠AOXsin∠BOX

從幾何空間出發(fā)求解向量夾角時,當學(xué)生將兩向量起點均平移至原點后,則可通過兩向量終點坐標求解向量夾角余弦值,從以上計算過程中定義向量數(shù)量積,則學(xué)生可能更為容易接受,且更能體會到向量的數(shù)學(xué)本質(zhì).

1.2 從封閉回路理解向量夾角與向量數(shù)量積

圖2 從封閉回路法出發(fā)理解向量夾角與向量數(shù)量積

又根據(jù)勾股定理,

聯(lián)立以上三式,展開得:

整理得:

據(jù)此,教師可總結(jié)向量夾角cosθ的重要性質(zhì):當θ為銳角時,cosθ>0;為鈍角時,cosθ<0;為直角時,cosθ=0;為零度時,cosθ=1.綜上,一般情況下,-1≤cosθ≤1.特別的,當需要證明直線或者線段間夾角為直角時,除了運用綜合證明方法外,學(xué)生可嘗試運用向量數(shù)量積求證.此外,在歐氏幾何教學(xué)中,教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試運用向量求解相關(guān)試題.例如:如果不在同一平面的兩線段向量數(shù)量積為零,則學(xué)生可證明其相互垂直等.學(xué)生運用向量求解幾何問題,在一定程度上可避免背誦繁瑣的定理,同時在解題時可不加或少加輔助線,如此則有利于減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2 向量數(shù)量積與歐氏直角三角形相關(guān)定理的證明

張景中主張運用向量數(shù)量積求解或者求證度量幾何中垂直、角度值、異面線段長度比值等難題[5].依據(jù)試題條件,教師可引導(dǎo)學(xué)生從向量坐標法與向量封閉回路法求解相關(guān)幾何試題.以直角三角形相關(guān)定理證明為例,相較于綜合證明方法,向量數(shù)量積方法則更加簡潔高效.

1.3 向量數(shù)量積與勾股定理

圖3 笛卡爾平面中直角三角形的高與中線

a2=-b,b<0,

故AB2+AC2=BC2.

從向量封閉回路法出發(fā),省略繁瑣的坐標,學(xué)生運用向量數(shù)量積公式可直接得到勾股定理.

AB2+AC2=BC2.

同理,學(xué)生可從向量坐標法證明勾股定理逆定理:

如圖3,A點坐標(0,a),B點坐標(b,0),C點坐標(1,0),a>0,b<0,設(shè)AB2+AC2=BC2,求證∠BAC為直角.

則b2+a2+a2+1=1+b2-2b,

得a2=-b,a>0,b<0,

故∠BAC為直角.

與向量坐標法不同,學(xué)生運用向量封閉回路證明勾股定理、余弦定理等則更為簡潔自然,且?guī)缀醪挥锰砑虞o助線或構(gòu)造圖形,教師可運用三角形封閉回路性質(zhì),再次展示如何證明余弦定理與勾股定理逆定理.

因為結(jié)論涉及平方,故對等式兩邊平方,并運用數(shù)量積公式可推理得到等式 :

教師僅僅運用向量封閉回路、全程未添加輔助線即完成證明.據(jù)此,教師可嘗試引導(dǎo)學(xué)生用向量知識重新證明幾何、代數(shù)中相關(guān)定理,為學(xué)生學(xué)習(xí)提供新思路,并在此過程中加深學(xué)生對向量的理解.

1.4 向量數(shù)量積與直角三角形射影定理

用向量證明直角三角形射影定理將更為簡潔,如圖3,直角ΔBAC中,AO⊥BC,請學(xué)生證明:AB2=BO·BC,AC2=CO·CB,AO2=BO·OC.

運用原有坐標,學(xué)生可構(gòu)造如下向量:

以圖3為例,學(xué)生可運用向量封閉回路法再次證明直角三角形射影定理.證明的關(guān)鍵是,學(xué)生能將已知向量分解為合適的封閉向量,并能運用數(shù)量積為零的條件消除無關(guān)向量.

2 總結(jié)

從數(shù)學(xué)幾何出發(fā),教師可首先指導(dǎo)學(xué)生計算向量間夾角數(shù)值,在此過程中,引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)向量數(shù)量積公式.教師應(yīng)從向量坐標法與向量封閉回路法兩種角度完整講授向量夾角與向量數(shù)量積.運用向量數(shù)量積,學(xué)生可創(chuàng)新證明歐式幾何中相關(guān)定理.限于篇幅,本研究并未詳細闡述向量數(shù)量積在立體幾何、解析幾何、不等式等教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用.未來教學(xué)中,教師可嘗試運用質(zhì)點幾何法講授向量數(shù)量積及相關(guān)向量知識.