許沐英

(莆田第四中學,福建 莆田 351100)

基金項目：福建省電化教育館教育信息技術(shù)2022年度課題“基于數(shù)據(jù)支持下的以學力發(fā)展為中心的校本課程開發(fā)研究”(項目編號:KT2259);莆田市2022年度“十四五”閱讀專項課題“中學數(shù)學閱讀能力的教學策略研究”(項目編號:PTJYKT22348)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中指出:數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等[1].由此可見,作為數(shù)學核心素養(yǎng)之一的數(shù)學運算地位顯赫,而解析幾何可謂運算素養(yǎng)的首席官.如何在新課程、新課標、新教材、新高考的背景下探究運算背后的本質(zhì)?本文以解析幾何為例,選取教學實踐中的一些題例與君共賞.

1 巧設(shè)直線方程

解法1顯然斜率不為零.

(3m2+4)y2+6my-9=0.

所以S△AOB=S△OMA+S△OMB

解法2當k存在時,

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

所以S△AOB=S△OMA+S△OMB

總結(jié)解法1通過消去x直接得到關(guān)于y的一元二次方程,再利用韋達定理可以求得面積表達式;解法2通過消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再通過直線方程轉(zhuǎn)化求解|y1-y2|.在不同直線方程消元中,常見關(guān)系式及其處理方式如下:

2 巧用二級結(jié)論

圖1 橢圓方程

解析由橢圓的對稱性可知定點在x軸上,過橢圓上點A(x1,y1)上的切線方程為

過點B(x2,y2)的切線方程為

總結(jié)本題運用了圓錐曲線上的點的切線方程的二級結(jié)論,簡化了很多運算過程.圓錐曲線二級結(jié)論眾多,記住一些必要的二級結(jié)論,如圓錐曲線焦半徑統(tǒng)一公式、焦三角形的面積公式等,會在應試中如魚得水.

3 巧用同理推導

解析因為∠PCQ的角平分線垂直于x軸,所以CP和CQ的斜率互為相反數(shù),可假設(shè)

①

②

總結(jié)聯(lián)立方程求解點P的坐標,可見數(shù)據(jù)之復雜.如果再次求解點Q的坐標,在高考有限的時間里基本上無法按時完成,巧用同理進行數(shù)據(jù)分析,此時的運算方向更為優(yōu)化.

4 巧用對稱化

解析當k=0時,顯然不成立.

故設(shè)直線l:x=ty+n,

代入橢圓,得

(3t2+4)y2+6nty+3n2-12=0.

由韋達定理,得

注意到3y1+y2=2y1+(y1+y2)=0,

總結(jié)本題的重難點在于△OAB的面積求解中包含兩個變量n,t,如何統(tǒng)一變量才是解決本題運算的突破口,而條件3y1+y2=0是不對稱結(jié)構(gòu),面對這種不良結(jié)構(gòu)常常需要對稱化處理找到本題兩個變量之間的關(guān)系,常用的幾種對稱處理如圖2.

圖2 常用對稱處理圖

5 巧用因式分解

解析若直線MN斜率存在時,設(shè)直線MN方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

根據(jù)kAM·kAN=-1,可得

(k2+1)(2m2-6)-4mk(km-k-2)+(1+2k2)(m2-2m+5)=0.

即3m2+8mk+4k2-2m-1=0.

方法14k2+8mk+3m2-2m-1=4k2+8mk+(3m+1)(m-1)=0.

方法24k2+8mk+3m2-2m-1=(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

總結(jié)此題關(guān)于k的二次函數(shù)運算遇到了攔路虎,方法1運用因式分解,方法2直線不過點A(2,1),必然含有因式2k+m-1=0,由多項式的除法可得(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

解析幾何的核心是把幾何問題翻譯為代數(shù),而轉(zhuǎn)化過程中算法優(yōu)化和簡化尤其重要.數(shù)學本質(zhì)不僅僅是推理,更重要的是講道理.“四新”下的核心能力要求以學生為中心[1],作為一線教師更要注重教學生如何思考,通過以上幾種運算背后的思考才能真正讓解析幾何的運算簡單明了,從而落實國家提出的立德樹人的根本目標.