金保源

(華南師范大學(xué)附屬惠陽(yáng)學(xué)校,廣東 惠州 516200)

切線問(wèn)題是近幾年的高考熱點(diǎn)問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用,對(duì)考生有很好的區(qū)分度.如2016年全國(guó)Ⅲ卷文第16題、2017年全國(guó)Ⅰ卷文第14題、2018年全國(guó)Ⅰ卷文第6題、全國(guó)Ⅱ卷文第12題均考了與切線有關(guān)的題型.本文從常考的幾種類型探討公切線問(wèn)題的應(yīng)用策略,以供讀者參考.

1 切點(diǎn)相同的公切線

例1若一直線與曲線y=lnx和曲線x2=ay(a>0)相切于同一點(diǎn)P,則a的值為( ).

則函數(shù)y=lnx在x=x1處的切線方程為

故選A.

點(diǎn)評(píng)若兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)有切點(diǎn)相同的公切線,則在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等.解題基本思路是:先設(shè)出公共點(diǎn)建立方程,再利用共切線得出公切線斜率相等的方程,聯(lián)立方程組消元求解.

2 切點(diǎn)不同的公切線

例2 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=____.

設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于點(diǎn)M(x2,y2),則y2=ln(x2+1),y=ln(x+1)在M(x2,y2)處的切線方程為

所以b=lnx1+1=1-ln2.

點(diǎn)評(píng)若切點(diǎn)不同,先假設(shè)y=f(x)上的切點(diǎn)A(x1,f(x1)),得到切線方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);設(shè)y=g(x)上的切點(diǎn)為B(x2,g(x2)),得到切線方程y-g(x2)=g′(x2)(x-x2),因?yàn)榍芯€是同一條直線,故得到兩個(gè)等式f′(x1)=g′(x2),f(x1)-x1f′(x1)=g(x2)-x2g′(x2),聯(lián)立解方程組即可.

3 存在公切線求參數(shù)范圍

例3 若f(x)=1-ax2(a>0)與g(x)=1-lnx的圖象存在公切線,則實(shí)數(shù)a的最小值為( ).

解析設(shè)切點(diǎn)為(t,1-lnt),代入f(x),得1-lnt=1-at2.即lnt=at2.

點(diǎn)評(píng)本題是兩條曲線存在公切線問(wèn)題,涉及二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).求解時(shí),先考慮兩條曲線具有切點(diǎn)相同的公切線情形求出a的值,再由函數(shù)圖象相離時(shí)存在兩條公切線,可得到a的范圍,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想.

4 利用公切線解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

例4 已知函數(shù)f(x)=ax2-x-lnx有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

解析令f(x)=0,得ax2-x=lnx.由f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),可知y=ax2-x的圖象與y=lnx(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)y=ax2-x與y=lnx的圖象有一個(gè)交點(diǎn),不合題意.

當(dāng)a>0時(shí),考慮y=ax2-x的圖象與y=lnx的圖象相切的臨界狀態(tài)情形.

設(shè)公切線為l,公切點(diǎn)為(t,at2-t),則at2-t=lnt.

由y=ax2-x,得y′=2ax-1.

由at2-t=lnt,2at2-t=1,得1-t=2lnt.

易知x=1是1-x=2lnx的唯一實(shí)數(shù)根.

所以t=1,從而a=1.

也就是說(shuō),當(dāng)a=1時(shí),拋物線y=x2-x與y=lnx的圖象相切.當(dāng)0

圖2 例4解析圖

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).故選B.

點(diǎn)評(píng)本題是已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題,將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是常見(jiàn)的求法.借由例1的求解過(guò)程,可先求兩曲線相切的臨界情形,由公切線求出參數(shù)的值,根據(jù)圖象變化特征即可得到參數(shù)的取值范圍.

5 利用公切線解決恒成立問(wèn)題

例5若關(guān)于x的不等式ex-alnx≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.[0,e] B.(-∞,e] C.[0,e2] D.(-∞,e2]

解析設(shè)f(x)=ex和g(x)=alnx+a=alnex.

當(dāng)a<0時(shí),ex-alnx≥a不能恒成立.

當(dāng)a=0時(shí),由ex-alnx≥a可得ex≥0.而ex>0恒成立.

當(dāng)a>0時(shí),設(shè)f(x)=ex和g(x)=alnex的公切線為l,且公切點(diǎn)為(m,n).

由f(x)=ex,得f′(x)=ex.

根據(jù)圖形(如圖3),若ex-alnx≥a,則0

圖3 例5解析圖

綜上所述,0≤a≤e,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,e].故選A.

點(diǎn)評(píng)本題可直接構(gòu)造函數(shù)F(x)=ex-alnx-a,通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,求解單調(diào)性,證明函數(shù)F(x)min≥0,但此種解法運(yùn)算量大,不適合在選擇題中使用.將原式分離為兩個(gè)函數(shù)f(x)=ex和g(x)=alnex,可知它們的凹凸性相反,公切線無(wú)疑是二者的分界線.

公切線的實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用,將曲線間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極(最)值、零點(diǎn)等,考查轉(zhuǎn)化與化歸、推理與論證的能力.解決公切線可考慮從數(shù)與形兩方面著手,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系,由圖象凹凸反轉(zhuǎn)的特征,利用切線不等式放縮[1].求解方法蘊(yùn)含泰勒展開(kāi)、函數(shù)逼近的背景,滲透著數(shù)形結(jié)合、動(dòng)靜轉(zhuǎn)化的思想,是命題者難以抗拒的源泉.