劉 輝， 梁 晉， 葉美圖， 郭建英， 李磊剛

（1. 西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；2. 新拓三維技術(shù)（深圳）有限公司 創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，廣東 深圳 518060；3. 中國航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院 強(qiáng)度傳動(dòng)試驗(yàn)研究室，四川 綿陽 621000）

1 引言

中介機(jī)匣是航空發(fā)動(dòng)機(jī)上的重要承力結(jié)構(gòu)［1］，其承載眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所處位置特殊。因此，對機(jī)匣的安全性能的試驗(yàn)及評估已成為航空發(fā)動(dòng)機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化中不可或缺的一環(huán)。在過去的幾十年里，有限元仿真為中介機(jī)匣的靜力變形分析提供了極大幫助，得到了廣泛應(yīng)用。同時(shí)，除傳統(tǒng)的千分表、應(yīng)變片等手段外，光學(xué)非接觸測量方法的數(shù)字圖像相關(guān)（Digital Image Correlation， DIC）技術(shù)也能夠獲得機(jī)匣試驗(yàn)過程中的實(shí)時(shí)變形信息［2-3］。然而，在DIC 測量中，受諸如非均勻環(huán)境光、被測物自振等隨機(jī)因素干擾，實(shí)測結(jié)果往往難以與仿真保持一致。因此，研究一種DIC測量變形與有限元模擬變形相互比對、相互驗(yàn)證的系統(tǒng)性方法，對于中介機(jī)匣的可靠性評估和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有十分重要的意義［4］。

目前，已有大量學(xué)者使用數(shù)字圖像相關(guān)法實(shí)現(xiàn)有限元仿真模型的建立和比對驗(yàn)證。Gardner［5］等人為驗(yàn)證NASA 建立的火箭殼體屈曲設(shè)計(jì)因子和高保真度模擬方案的正確性，使用數(shù)字圖像相關(guān)法獲取大型金屬復(fù)合材料圓柱殼體的強(qiáng)度測試數(shù)據(jù)，以驗(yàn)證仿真模型的正確性。加州大學(xué)Mohammad［6］等人為構(gòu)建肺部的生物力學(xué)數(shù)值模型，使用DIC 系統(tǒng)測量豬肺穩(wěn)定膨脹周期的表面變形數(shù)據(jù)，從而校準(zhǔn)有限元模型的仿真參數(shù)。美國陸軍航空與導(dǎo)彈中心的Owens［7］等人為了提取一種橡膠增韌環(huán)氧基膠材料混合斷裂模型的J 積分和應(yīng)力強(qiáng)度因子，將DIC 測得的位移數(shù)據(jù)映射到有限元模型中，以測得更加可靠的裂紋參數(shù)。阿爾伯塔大學(xué)Li［8］等人為建立能夠指導(dǎo)雙金屬晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的有限元模型，使用DIC 方法對316L 不銹鋼雙金屬復(fù)合材料的拉伸和壓縮變形進(jìn)行測量，從而驗(yàn)證了數(shù)值模型的正確性。然而，模擬數(shù)據(jù)和DIC 數(shù)據(jù)之間存在著一些固有差異，在進(jìn)行有意義的定量比對之前，必須校正這些數(shù)據(jù)差異，例如數(shù)據(jù)坐標(biāo)系，網(wǎng)格類型和節(jié)點(diǎn)位置，測量的空間分辨率、數(shù)據(jù)濾波方法和應(yīng)變計(jì)算類型等，而上述的所有研究中均未系統(tǒng)地給出有效的數(shù)據(jù)處理方法。從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的角度來看，對于有限元數(shù)據(jù)和DIC 數(shù)據(jù)之間的對比驗(yàn)證，一種方法是使用一組基函數(shù)分解有限元數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對比分解基函數(shù)序列的振幅［9-12］，其優(yōu)點(diǎn)是對比計(jì)算的數(shù)據(jù)量小，缺點(diǎn)是難以保證所分解的基函數(shù)能夠完全代表實(shí)驗(yàn)或仿真數(shù)據(jù)。MatchID NV 公司的Pascal［13］等人提出一種借助有限元仿真數(shù)據(jù)生成試件表面的虛擬變形散斑圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)對比的方法，雖然該方法能夠自然地消除DIC 網(wǎng)格和有限元網(wǎng)格在應(yīng)力計(jì)算、空間分辨率和濾波效果等方面的不一致，但通過貼圖的方式生成虛擬圖像不僅會(huì)消耗大量的計(jì)算資源，而且貼圖本身存在著難以完全和DIC 網(wǎng)格對齊的缺陷，使得偏差比對結(jié)果的可靠性降低。因此，目前還需進(jìn)一步研究更加魯棒且操作簡便的用于有限元驗(yàn)證的數(shù)據(jù)處理方法。

本文為了精確量化航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣剛度試驗(yàn)中利用雙目DIC 測量全場變形的整體偏差，提出了一種系統(tǒng)、全面的DIC 測量數(shù)據(jù)與有限元（Finite Element Method， FEM）仿真數(shù)據(jù)之間的映射方法。以有限元仿真結(jié)果為準(zhǔn)，并以機(jī)匣肋板處的變形為例，首先使用FPFH 特征和迭代最近點(diǎn)法（Iterative Closets Points， ICP）解算出兩類點(diǎn)云數(shù)據(jù)之間的相對位姿，進(jìn)而完成數(shù)據(jù)的坐標(biāo)對齊；然后使用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，完成了仿真網(wǎng)格數(shù)據(jù)向DIC 網(wǎng)格數(shù)據(jù)的高精度映射，從而消除了網(wǎng)格空隙帶來的比對誤差；最后，使用逐點(diǎn)最小二乘應(yīng)變估計(jì)算法統(tǒng)一了有限元模擬和DIC 測量的應(yīng)變計(jì)算模式，得到與DIC 屬性一致的有限元比對數(shù)據(jù)，最終實(shí)現(xiàn)肋板處全場變形的測量偏差比對。

2 機(jī)匣變形測量偏差比對原理

本文所提出的偏差比對原理的目標(biāo)是消除有限元（FEM）仿真數(shù)據(jù)和DIC 測量數(shù)據(jù)之間的固有不一致，如二者在世界坐標(biāo)系位置，網(wǎng)格類型和節(jié)點(diǎn)位置，測量的空間分辨率、數(shù)據(jù)濾波方法和應(yīng)變計(jì)算類型上的差異，從而利用有限元仿真數(shù)據(jù)和真實(shí)測量數(shù)據(jù)完成有意義的偏差對比驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)有限元仿真與DIC 測量結(jié)果的相互印證與閉環(huán)分析。

2.1 數(shù)據(jù)映射優(yōu)化

為了消除有限元仿真數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)之間的不一致問題，首先要完成兩組數(shù)據(jù)的映射優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)有限元數(shù)據(jù)向DIC 測量數(shù)據(jù)的映射。使用FPFH 特征和ICP 算法進(jìn)行FEM 點(diǎn)云和DIC點(diǎn)云的位姿解算，從而實(shí)現(xiàn)兩類數(shù)據(jù)的坐標(biāo)統(tǒng)一，然后使用遺傳算法優(yōu)化的擬合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，完成FEM 網(wǎng)格數(shù)據(jù)向DIC 網(wǎng)格數(shù)據(jù)的映射，具體流程如圖1 所示。

圖1 數(shù)據(jù)映射優(yōu)化原理Fig. 1 Principles of data mapping optimization

2.1.1 基于點(diǎn)云配準(zhǔn)的全局坐標(biāo)統(tǒng)一

在進(jìn)行坐標(biāo)統(tǒng)一的過程中，全站儀、激光跟蹤儀等傳統(tǒng)測量設(shè)備難以滿足機(jī)匣變形的測量要求。首先，測量對象在加載過程中會(huì)產(chǎn)生形變，其形狀并不固定，難以在被測物上布置跟隨機(jī)匣變形的標(biāo)記，也難以在有限元模型上找到其精確的對應(yīng)點(diǎn)。其次，全站儀、激光跟蹤儀等很難在現(xiàn)場進(jìn)行在線校正，且由于不能進(jìn)行離線計(jì)算，其單次測量時(shí)間受激光三角測距的計(jì)算時(shí)間影響，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于攝影測量所需時(shí)間，往往難以滿足機(jī)匣動(dòng)態(tài)剛度測試所要求的時(shí)間分辨率限制。此外，通過這種方式測量出的位置數(shù)據(jù)難以和DIC 測頭的測量數(shù)據(jù)保持同步，造成對齊精度不可控，誤差來源不可溯等問題。而采用點(diǎn)云配準(zhǔn)的方式進(jìn)行坐標(biāo)對齊，不僅不用額外架設(shè)其他測量設(shè)備，避免了復(fù)雜的現(xiàn)場布置和設(shè)備校正等操作，同時(shí)，點(diǎn)云配準(zhǔn)數(shù)據(jù)和變形數(shù)據(jù)是天然對應(yīng)的，誤差大小和來源是可溯源的。綜合上述原因，本文采用點(diǎn)云配準(zhǔn)方法進(jìn)行數(shù)據(jù)坐標(biāo)的全局統(tǒng)一，算法步驟如下：

（1）基于FPFH 特征粗配準(zhǔn)。

FPFH 算子具有高效穩(wěn)定的特征表達(dá)性能，在具有顯著姿態(tài)差異的配準(zhǔn)任務(wù)中具有較強(qiáng)的優(yōu)勢。根據(jù)FPFH 特征查找到的特征點(diǎn)可用于FEM 點(diǎn)云和DIC 點(diǎn)云相對位姿初值的計(jì)算，計(jì)算公式如式（1）所示：

其中：XFEM是FEM 點(diǎn)云上的特征點(diǎn)，XDIC是DIC點(diǎn)云上對應(yīng)于FEM 點(diǎn)云的特征點(diǎn)，T1是從DIC點(diǎn)云變換到FEM 點(diǎn)云的剛性變換初值，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云粗配準(zhǔn)。

（2）基于ICP 算法的精配準(zhǔn)。

為保證兩組點(diǎn)云相對位姿的求解精度，還需使用ICP 算法對初始變換后的兩組點(diǎn)云進(jìn)行迭代優(yōu)化［14-15］，本文采用迭代最近點(diǎn)法（Iterative Closets Points，ICP）令待配準(zhǔn)的DIC 點(diǎn)云為集合P={pi}，i=1，2，3，…，n，基準(zhǔn)FEM 點(diǎn)云集合為X={xi}，i=1，2，3，…，m。為了確立兩個(gè)點(diǎn)云之間的對應(yīng)點(diǎn)，構(gòu)建點(diǎn)云KD 樹查找所有空間最近點(diǎn)，以此計(jì)算點(diǎn)集P到點(diǎn)集X之間的位姿變換關(guān)系，迭代的優(yōu)化方程如式（2）所示：

其中：ni是xi點(diǎn)所在局部平面的法向量，R為點(diǎn)集P到X之間的旋轉(zhuǎn)矩陣，T為點(diǎn)集P到點(diǎn)集X的平移向量。

2.1.2 FEM 與DIC 的網(wǎng)格映射原理

一般情況下，待比對的FEM 網(wǎng)格和DIC 網(wǎng)格類型和節(jié)點(diǎn)位置都不相同，為了完成偏差比對必須首先完成網(wǎng)格映射。DIC 數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)的三維坐標(biāo)是通過雙目測頭重建的機(jī)匣肋板表面點(diǎn)云，其數(shù)據(jù)類型是一個(gè)曲面，而有限元仿真的模型點(diǎn)云是一個(gè)三維實(shí)體，其中不僅包含表面位移數(shù)據(jù)，同時(shí)也包含體內(nèi)位移數(shù)據(jù)。在實(shí)際轉(zhuǎn)換的過程中，F(xiàn)EM 空間點(diǎn)云中的表面點(diǎn)云和內(nèi)部點(diǎn)云難以區(qū)分，若采用直接插值的方法，F(xiàn)EM 表面節(jié)點(diǎn)將會(huì)受到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移量的影響，從而與DIC算法模型特征產(chǎn)生新的不一致，在比對的過程中引入額外偏差。此外，不同的插值類型對不同表面形狀的插值結(jié)果差異較大，難以找到針對所有表面形狀的最佳插值方法。而BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過機(jī)器學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行空間位移場的擬合，可以根據(jù)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)調(diào)整出最佳的模型參數(shù)。因此，在這種情況下，相比于插值方法，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對有限元仿真模型（理論真值）的空間位移場進(jìn)行擬合是一種更加通用、方便的數(shù)據(jù)映射策略。

綜上所述，為避免引入額外偏差，本文采用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［16-18］擬合FEM 的空間位移場，根據(jù)配準(zhǔn)后的DIC 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，將有限元網(wǎng)格映射至DIC 網(wǎng)格上。算法的具體流程如圖2 所示。用于FEM 向DIC 的數(shù)據(jù)映射優(yōu)化建模步驟如下：

圖2 遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Neural network optimized by genetic algorithm

（1）構(gòu)建BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

出于對計(jì)算效率的考慮，本文采用結(jié)構(gòu)為3-25-3 的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擬合，即輸入層有3 個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱藏層由25 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，輸出層有3 個(gè)節(jié)點(diǎn)。激活函數(shù)使用Sigmoid 激活函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

（2）遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值。

通過對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的所有權(quán)值進(jìn)行編碼，獲得單個(gè)權(quán)值序列［s1，s2，s3，…，sL］和閾值序列［γ1，γ2，γ3，…，γL］。將所有閾值和權(quán)重按順序拼接形成一個(gè)染色體。染色體的長度計(jì)算公式如式（3）所示：

其中：ni為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n為隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)，n0為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)。在本文中，輸入層有3 個(gè)節(jié)點(diǎn)，隱藏層有25 個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層有3 個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此每條染色體的長度為3×25+25+25×3+3=178。

遺傳方法包括選擇、交叉和變異。選擇操作一般使用輪盤賭等方法產(chǎn)生新種群。交叉操作產(chǎn)生最佳性狀的重要手段，如果令兩條染色體XiA和XiB相互交叉，那么新個(gè)體如式（4）所示：

其中：α＜Pc且0 ＜α＜1，Pc為父母染色體發(fā)生交叉的概率。

此外，本文使用均勻突變操作，將突變概率設(shè)置為Pm，設(shè)置突變點(diǎn)xk的范圍為［Ukmin，Ukmax］，突變點(diǎn)的新遺傳值如式（5）所示。

其中，r是［0，1］范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

（3）訓(xùn)練BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

通過將網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值導(dǎo)入遺傳算法中進(jìn)行優(yōu)化，得到新的權(quán)值和參數(shù)，將其分配給BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。然后根據(jù)BP 算法，輸入訓(xùn)練集進(jìn)行學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，直到預(yù)測誤差滿足期望值。

有限元數(shù)據(jù)作為一種數(shù)值模型，其數(shù)據(jù)相對與DIC 數(shù)據(jù)具有以下兩點(diǎn)優(yōu)勢：①數(shù)據(jù)分辨率：有限元仿真是一個(gè)理論模型，其計(jì)算的分辨率原則上可以取到無窮小，而立體DIC 的測量數(shù)據(jù)分辨率受到鏡頭分辨率，像元尺寸，測量幅面大小等因素的制約，存在一個(gè)最小極限。根據(jù)精度比對的慣例做法，一般傾向于將分辨率（精度位數(shù)）更高的數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)。②環(huán)境噪聲：有限元模型是理論模型，其計(jì)算數(shù)據(jù)不包含噪聲，以此擬合出的空間位移場能夠完全對應(yīng)于原始數(shù)據(jù)，將其作為比對基準(zhǔn)是可靠的。而DIC 測量數(shù)據(jù)包含了環(huán)境噪聲，如果用DIC 數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集擬合其空間位移場，噪聲部分會(huì)對擬合結(jié)果造成較大影響，以此作為比對基準(zhǔn)是不可靠的。此外，DIC數(shù)據(jù)作為待驗(yàn)證數(shù)據(jù)，理應(yīng)維持其原始測量值，得到更直觀的偏差計(jì)算結(jié)果。

由于以上原因，本文將有限元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及其對應(yīng)的位移值作為訓(xùn)練集，擬合得到空間內(nèi)與FEM 數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的連續(xù)位移場，然后將DIC 節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為輸入進(jìn)行預(yù)測，輸出節(jié)點(diǎn)位移量，從而完成從有限元網(wǎng)格向DIC 網(wǎng)格的映射。

2.2 空間變形計(jì)算原理

數(shù)字圖像相關(guān)法（DIC）直接測量得到的位移數(shù)據(jù)往往含有一定噪聲，而由FEM 得到的數(shù)據(jù)不包含噪聲，這導(dǎo)致了二者在應(yīng)變計(jì)算方法上的差異，為了消除這種差異，本文統(tǒng)一對兩組位移數(shù)據(jù)使用空間逐點(diǎn)最小二乘應(yīng)變估計(jì)算法［19］，計(jì)算Green-Lagrange 應(yīng)變張量，以此保證偏差比對的同一性和有效性，Green-Lagrange 應(yīng)變張量計(jì)算公式如式（6）所示：

其中：(u，v，w)為當(dāng)前點(diǎn)的位移，(X，Y，Z)為當(dāng)前點(diǎn)的三維坐標(biāo)，εxx，εyy，εzz，γxy，γxz，γyz為當(dāng)前點(diǎn)在空間內(nèi)的格林應(yīng)變張量。

式（6）中的位移梯度對噪聲敏感，為了消除噪聲，本文擴(kuò)展了Pan［19］等人提出的應(yīng)變窗思想，將三維位移數(shù)據(jù)進(jìn)行平面投影濾波，即使用位移數(shù)據(jù)(u，v，w)組成的最小二乘擬合的超平面參數(shù)求解位移梯度數(shù)據(jù)，超平面方程如式（7）所示：

其中：(x0，y0，z0) 是當(dāng)前應(yīng)變窗的中心點(diǎn)，(x，y，z)為當(dāng)前點(diǎn)的空間坐標(biāo)，(up，vp，wp)為當(dāng)前點(diǎn)的空間位移。

本文在目標(biāo)點(diǎn)云區(qū)域劃分空間球體區(qū)域作為計(jì)算應(yīng)變的應(yīng)變窗，將點(diǎn)云數(shù)據(jù)帶入式（7），即可求解出該應(yīng)變窗在空間內(nèi)3 個(gè)方向上位移擬合超平面，通過超平面參數(shù)確定濾波后的位移梯度，用于式（6）中的格林應(yīng)變張量的計(jì)算。根據(jù)計(jì)算出的Green-Lagrange 應(yīng)變張量，進(jìn)而計(jì)算出當(dāng)前空間點(diǎn)的3 個(gè)主應(yīng)變。當(dāng)前空間點(diǎn)的主應(yīng)變?chǔ)?，ε2，ε3即為方程（8）的解：

其中，J1，J2，J3為應(yīng)變張量不變量，計(jì)算公式如式（9）所示：

3 測量試驗(yàn)與結(jié)果

中介機(jī)匣結(jié)構(gòu)特殊，內(nèi)外環(huán)呈規(guī)則圓形，環(huán)壁厚低于0.5 cm，且二者之間由數(shù)個(gè)周向均布的對稱弧形肋板連接。肋板本體在機(jī)匣內(nèi)外壁的連接處截面和厚度均最小，因此在機(jī)匣性能試驗(yàn)中，匣體的整個(gè)肋板及與內(nèi)外壁的連接部位屬于最薄弱處，極易引起應(yīng)力集中，是試驗(yàn)任務(wù)的主要關(guān)注點(diǎn)。精確量化其承載后的變形信息對結(jié)構(gòu)安全性能評估和優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。因此，本文以頂部肋板處的DIC 和FEM 數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證和分析。

3.1 視覺變形測量及有限元仿真

3.1.1 試驗(yàn)系統(tǒng)搭建

本文使用新拓三維（XTOP）的立體DIC 系統(tǒng)（XTDIC?）測量航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣頂部肋板的全場變形。測量系統(tǒng)由兩套雙目視覺測量單元組成，相機(jī)分辨率為2 448×2 048 pixel，像元尺寸為3.45 μm/pixel，配備鏡頭型號為RICOH，焦距為25.0 mm，相機(jī)之間的立體角為25.5°。兩套雙目DIC 設(shè)備分別拍攝肋板的左右兩面，使用馬克筆在待測的頂部肋板上點(diǎn)涂用于匹配的散斑特征，重建出的肋板點(diǎn)云拼接通過兩套雙目相機(jī)的全局統(tǒng)一標(biāo)定實(shí)現(xiàn)，具體的實(shí)驗(yàn)場景及制作的散斑特征如圖4 所示。

圖4 機(jī)匣實(shí)驗(yàn)場景Fig.4 Testing site of casing

機(jī)匣的主要的承載部位是呈180°分布的兩個(gè)肋板。肋板本體呈對稱圓弧形，在內(nèi)外壁的連接處截面最小、壁最薄，中間部位截面和壁厚略微增大，是本次試驗(yàn)任務(wù)的關(guān)注重點(diǎn)。本文使用結(jié)構(gòu)靜力與疲勞試驗(yàn)器對機(jī)匣進(jìn)行加載，加載裝置和加載方式如圖5 所示，最大加載載荷為-40 kN，加載過程如圖6 所示。

圖6 加載曲線Fig.6 Loading curve

3.1.2 視覺測量結(jié)果及有限元仿真結(jié)果

兩套DIC 設(shè)備測量的頂部肋板位移場和應(yīng)變場如圖7 所示。從圖中可以看出，雖然兩側(cè)位移場分布基本一致，但肋板右側(cè)位移數(shù)據(jù)分布不均勻，存在一定的測量偏差。

圖7 DIC 測量結(jié)果Fig.7 DIC measurement results

使用有限元方法，在相同的邊界條件下對機(jī)匣模型進(jìn)行靜力學(xué)仿真分析。模型材料選擇鈦合金，材料密度為4 620 kg/m3，楊氏模量為9.6×1010Pa。使用四面體網(wǎng)格劃分CAD 模型，如圖8（a）所示。對機(jī)匣外圈整體施加支撐約束。載荷以線積分的形式施加在機(jī)匣內(nèi)圈的下半圈，如圖8（b）所示，載荷大小隨θ按照余弦變化，載荷施加條件滿足式（10）的約束。

圖8 有限元仿真結(jié)果Fig.8 FEM simulation results

其中：fz(θ)為豎直方向的分力，F(xiàn)為當(dāng)前時(shí)刻加載裝置施加的壓力，a為余弦分力的幅值，可根據(jù)約束條件求出。

最終得到如圖8（b）和圖8（c）所示的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，仿真得到的最大位移量為0.033 596 mm，最大主應(yīng)變?yōu)?11.37με。

3.2 機(jī)匣測量偏差比對

3.2.1 數(shù)據(jù)坐標(biāo)統(tǒng)一與映射優(yōu)化

由于DIC 重建出的肋板數(shù)據(jù)和FEM 仿真得到的肋板數(shù)據(jù)是在不同坐標(biāo)系下描述的，直接對比各自x，y，z三個(gè)方向的變形分量沒有意義，因此需要將DIC 數(shù)據(jù)和FEM 數(shù)據(jù)統(tǒng)一到一個(gè)全局坐標(biāo)系中描述。采用2.1 節(jié)中所述的方法完成兩組點(diǎn)云的坐標(biāo)統(tǒng)一。

分別計(jì)算空間中兩幅點(diǎn)云的FPFH 特征，搜索得到兩組點(diǎn)云對應(yīng)的特征點(diǎn)，從而進(jìn)行點(diǎn)云相對位姿初值的計(jì)算，如圖9 所示，然后使用ICP 算法進(jìn)一步對位姿初值進(jìn)行迭代優(yōu)化。

圖9 FPFH 特征匹配Fig.9 FPFH feature matching

由特征點(diǎn)計(jì)算出粗配準(zhǔn)變換矩陣，粗配準(zhǔn)后使用ICP 算法對配準(zhǔn)位姿進(jìn)行迭代優(yōu)化，精配準(zhǔn)后兩組點(diǎn)云之間點(diǎn)距的均方誤差為0.101 5 mm，配準(zhǔn)效果良好。粗配準(zhǔn)和精配準(zhǔn)的效果如圖10所示。

圖10 點(diǎn)云配準(zhǔn)效果Fig.10 Point cloud registration results

3.2.2 數(shù)據(jù)映射及精度驗(yàn)證

由于DIC 網(wǎng)格和有限元網(wǎng)格在劃分時(shí)即存在固有不一致，因此在比對前還需進(jìn)行DIC 網(wǎng)格和FEM 網(wǎng)格的映射和轉(zhuǎn)換。

本文使用遺傳算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)不同網(wǎng)格之間的轉(zhuǎn)化。將有限元模型的仿真數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，輸入網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練后，再將DIC 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)輸入網(wǎng)絡(luò)，得到FEM 在DIC 節(jié)點(diǎn)處對應(yīng)的仿真數(shù)據(jù)，從而預(yù)測FEM 網(wǎng)格向DIC 網(wǎng)格的轉(zhuǎn)換。驗(yàn)證集的預(yù)測效果如圖11 所示。從圖12 中可以看出，擬合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測效果良好，在驗(yàn)證集上的輸出的誤差小于1×10-6mm。

圖12 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測誤差Fig.12 Prediction error of neural network

此外，同時(shí)使用自然鄰域插值方法、最近鄰插值和線性插值方法［20］進(jìn)行網(wǎng)格映射，以對比本方法的映射精度和映射效率。有限元網(wǎng)格為空間四面體網(wǎng)格，DIC 網(wǎng)格為平面四邊形網(wǎng)格，如圖13 所示。每一個(gè)DIC 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位移的理論真值通過其所在四面體網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值得到。

圖13 DIC 網(wǎng)格和有限元網(wǎng)格示意圖Fig.13 Schematic diagram of DIC grid and finite element grid

在FEM 點(diǎn)云中隨機(jī)選取12 組點(diǎn)云作為驗(yàn)證集，同時(shí)驗(yàn)證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果和插值結(jié)果的計(jì)算精度，表1 列出了12 組驗(yàn)證集上不同方法的效果。從表1 中可以看出BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)映射誤差最小，自然鄰域插值方法的誤差小于其他插值方法。從標(biāo)準(zhǔn)差上來看，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)略小于自然鄰域插值。

表1 不同方法的數(shù)據(jù)映射誤差Tab.1 Data mapping error for different methods（10-6 mm）

圖14 顯示了本文方法和自然鄰域插值方法在驗(yàn)證集上的百分比誤差，從圖中可以看出，本文方法誤差不超過2%，而表現(xiàn)最優(yōu)的插值方法的誤差最大超過了3%，證明了本文方法在精度上優(yōu)于其他插值方法。

圖14 網(wǎng)格映射的百分比誤差Fig.14 Percentage error in grid mapping

在時(shí)間效率上，分別對本文方法、自然鄰域插值法、最近鄰插值法和三線性插值進(jìn)行分析，在驗(yàn)證集上（350 個(gè)點(diǎn)）程序運(yùn)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)如表2所示。從表2 中可以看出，本文方法的計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于其他插值方法，計(jì)算效率較高，更加適用于對大型數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

表2 計(jì)算時(shí)間效率分析Tab.2 Computational time efficiency analysis （s）

映射前后的有限元位移場如圖15 所示。映射后的FEM 數(shù)據(jù)與DIC 數(shù)據(jù)在空間坐標(biāo)位置完全對應(yīng)，有效消除了FEM 和DIC 數(shù)據(jù)之間的世界坐標(biāo)系位置，網(wǎng)格類型和節(jié)點(diǎn)位置和測量的空間分辨率的不一致。

圖15 數(shù)據(jù)映射優(yōu)化結(jié)果Fig.15 Data mapping optimization results

3.2.3 空間變形計(jì)算與偏差對比

本文使用空間包圍球作為點(diǎn)云數(shù)據(jù)的應(yīng)變窗，使用逐點(diǎn)最小二乘應(yīng)變估計(jì)算法計(jì)算DIC 位移數(shù)據(jù)的應(yīng)變量。同時(shí)，為保證數(shù)據(jù)的統(tǒng)一性，對FEM 位移數(shù)據(jù)進(jìn)行同步處理，最后實(shí)現(xiàn)有限元仿真數(shù)據(jù)和DIC 測量數(shù)據(jù)的閉環(huán)分析和相互印證。

本文對比FEM 和DIC 數(shù)據(jù)的3 個(gè)主應(yīng)變?chǔ)?，ε2，ε3，變形偏差場的比對結(jié)果如表3 所示。使用DIC 測量的應(yīng)變數(shù)據(jù)在肋板右側(cè)面和右上方存在較大的偏差，說明了在視覺測量過程中，測量肋板右側(cè)面的雙目立體DIC 設(shè)備存在較大的環(huán)境噪聲干擾。經(jīng)過對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場環(huán)境分析，得出噪聲來源如下：①實(shí)驗(yàn)所使用的雙目DIC 設(shè)備采用工業(yè)灰度相機(jī)，對藍(lán)光更為敏感，所以每臺(tái)DIC 都配備了藍(lán)光光源照射被測表面，而肋板右側(cè)面正對窗戶，相對于左側(cè)受到了更大程度的環(huán)境光干擾，因此偏差較大。②機(jī)匣加載方式為階梯式加載，在每次啟動(dòng)加載和保持載荷的瞬間存在一定震蕩，引入了一定的測量誤差。

表3 全場變形偏差比對結(jié)果Tab.3 Full-field deformation deviation comparison

將DIC 測量的第一主應(yīng)變和FEM 仿真的第一主應(yīng)變進(jìn)行定量的偏差比對結(jié)果如圖16 和圖17 所示。從圖16 中可以看出，本次機(jī)匣變形的視覺測量結(jié)果和有限元仿真表現(xiàn)出較強(qiáng)的一致性，證明了有限元模型的正確性，同時(shí)也證明了該實(shí)驗(yàn)中DIC 方法測量的機(jī)匣變形數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。從圖17 中可以看出，以有限元仿真結(jié)果為基準(zhǔn)，在本次實(shí)驗(yàn)中，DIC 應(yīng)變測量系統(tǒng)的測量偏差小于50 με。

圖16 FEM 和DIC 的第一主應(yīng)變最大值Fig.16 maximum principal strain of FEM and DIC

圖17 應(yīng)變比對偏差Fig.17 Deviation of strain comparison

此外，從整體算法流程和數(shù)據(jù)結(jié)果上看，本文提出的方法相對于其他方法，諸如基函數(shù)分解方法和散斑貼圖方法具有其特有的優(yōu)勢。基函數(shù)分解方法是指使用一組基函數(shù)分解有限元數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對比分解基函數(shù)序列的振幅，其優(yōu)點(diǎn)是對比計(jì)算量小，但計(jì)算結(jié)果無法反映偏差的具體位置，而本文方法可以直觀地顯示DIC 測量偏差存在的具體位置。相比于散斑貼圖的方法，本文方法操作簡單。散斑貼圖是人為主觀對齊DIC 計(jì)算的感興趣區(qū)域，難以保證和度量對齊精度，而本文采用ICP 算法進(jìn)行對齊，誤差來源可溯可控，節(jié)點(diǎn)映射精度更高。

4 結(jié) 論

本文提出了一種系統(tǒng)、全面的DIC 測量數(shù)據(jù)與有限元仿真數(shù)據(jù)之間的映射方法?？捎行У南鼶IC 數(shù)據(jù)和有限元數(shù)據(jù)在世界坐標(biāo)系位置，網(wǎng)格類型和節(jié)點(diǎn)位置，測量的空間分辨率、數(shù)據(jù)濾波方法和應(yīng)變計(jì)算類型上的固有差異，實(shí)現(xiàn)了有限元仿真和DIC 全場測量的偏差比對。采用“虛實(shí)結(jié)合”的方式，構(gòu)建了有限元仿真和DIC 光學(xué)測量的閉環(huán)分析方法，使二者之間能夠相互印證。

從航空機(jī)匣肋板測量偏差比對試驗(yàn)中可以看出，本文所提方法的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的映射精度優(yōu)于1×10-6mm，映射百分比誤差小于2%，優(yōu)于其他各類插值方法。此外，本文算法的數(shù)據(jù)映射速度較快，在進(jìn)行數(shù)據(jù)量較大的比對任務(wù)時(shí)具有一定的時(shí)間效率優(yōu)勢。仿真變形和DIC 變形的偏差云圖與偏差曲線具有良好的一致性，且能夠顯示DIC 測量偏差存在的具體位置。此外，本文所提方法具有較強(qiáng)的通用性，可以用于但不僅限于機(jī)匣肋板的偏差比對，在未來航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣及類匣體的研制和測試領(lǐng)域中具有良好的應(yīng)用前景。