楊永舉, 張振宇, 王學(xué)強

(1.南陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 南陽 473061; 2.河南省社旗縣饒良鎮(zhèn)黃橋小學(xué),河南 社旗 473300)

0 引言

Chaki 和Ghosh 在文獻[1]中引入了半愛因斯坦流形的概念:如果一個非平坦的n維黎曼流形的非恒為0的Ricci曲率S(X,Y)滿足:S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y),a,b(b≠0)為常數(shù),A為非零一階微分形式,U為對應(yīng)A的單位向量場,即g(X,U)=A(X),g(U,U)=1,則稱此流形為半愛因斯坦流形。由于此類流形在物理學(xué)相關(guān)問題研究中有重要價值。隨后此概念被不斷地推廣,如: M.C.Chaki在文獻[2]中引進通常半愛因斯坦流形,符號為G(GE)n;A.Bhattacharya,M.Tarafdar and D.Debnath在文獻[3]中引進混合超級半愛因斯坦流形,符號為MS(GE)n;M.C.Chaki在文獻[4]中引進超級半愛因斯坦流形,符號為S(GE)n;A.A.Shaikh在文獻[5]中引進擬半愛因斯坦流形,符號為P(GE)n。P.Debnath and A.Konar在文獻[6]中引進并探討了混合超級半愛因斯坦流形,它的定義為:如果一個非平坦黎曼流形的非恒為0的Ricci曲率S(X,Y)滿足下面式子:

S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+c[A(X)B(Y)+A(Y)B(X)]+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),

(1)

其中a,b,c,d,f為全不為0的常數(shù),A,B為兩個一階微分形式,U,V為分別對應(yīng)于微分形式A,B的單位向量場,且滿足

g(X,U)=A(X),g(X,V)=B(X),g(U,V)=0,

(2)

標記此類流形為MS(QE)n, 稱U為此流形的生成元,

D(X,U)=0,traceD=0。

(3)

本文探討了在局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的混合超級半愛因斯坦流形,即混合超級半愛因斯坦分形流形,得出其在分形空間上的若干結(jié)論。

1 預(yù)備知識

局部分數(shù)階微積分是處理康托集中出現(xiàn)的各種不可微問題,局部分數(shù)階微積分也是純數(shù)學(xué)中的一個重要工具。在本節(jié)中,我們將介紹局部分數(shù)階微積分的基本概念:連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分。依據(jù)有關(guān)參考文獻,我們直接引入分形空間上的若干分形幾何定義與定理。

定義1[7-8]在分形空間中,連續(xù)函數(shù)Θ(t)在t=t0處的α階導(dǎo)數(shù)定義為

(4)

其中,Δα(Θ(t)-Θ(t0))?Γ(1+α)Δ(Θ(t)-Θ(t0))。

定義2[7-8]分形空間上連續(xù)函數(shù)Θ(t)在區(qū)間[c,d]的α階積分定義為

(5)

其中,Δtj=tj+1-tj,Δt=max{Δt1,Δt2,…,Δtj}和[tj,tj+1],j=0,…,N-1,t0=c,tN=d, 是區(qū)間[c,d]的分割。

定義3[8]局部分數(shù)階黎曼空間中,任意兩點yiα=yiα(e1α,e2α,e3α,…,eNα)和yiα+dαyi之間的局部分數(shù)階度量由下式確定:

(6)

定理1[10]如果共形平坦的流形(Mn,g),n≥3的(0,4)型黎曼張量場滿足如下條件:

R(X,Y,Z,W)=E(Ric(Y,W)Ric(X,Z)-Ric(X,W)Ric(Y,Z))+F(g(Y,Z)g(X,W)-g(X,Z)g(Y,W)),則(Mn,g),n≥3局部等距浸入到分形空間R(n+1)α中。

2 主要定理及結(jié)論

2.1 定義在分形空間上的平坦流形與混合超級半愛因斯坦分形流形

引理2 混合超級半愛因斯坦分形流形MS(QE)n的生成元U如果為平行向量場,則a+b=0,c=0。

定理2 共形平坦混合超級半愛因斯坦分形流形MS(QE)n,n≥3如果滿足條件:

〈Ⅲ〉a>0,(2-n)a+b+d>0,

則(Mn,g)局部等距浸入到分形空間R(n+1)α中。

證明：共形平坦的(0,4)型黎曼張量R(X,Y,Z,W)可以表示為:

其中,r為流形的數(shù)量曲率。

如果流形為混合超級半愛因斯坦分形流形,利用式子(1),可以知道

(7)

由于

Ric(X,W)Ric(Y,Z)=a2g(X,W)g(Y,Z)+abg(X,W)A(Y)A(Z)+acg(X,W)B(Y)B(Z)+

adg(X,W)[A(Y)B(Z)+B(Y)A(Z)]+aeg(X,W)D(Y,Z)+abg(Y,Z)A(X)A(W)+

b2A(X)A(Y)A(Z)A(W)+bcA(X)A(W)B(Y)B(Z)+bdA(X)A(W)[A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)]+

beA(X)A(W)D(Y,Z)+acg(Y,Z)B(X)B(W)+bcA(Y)A(Z)B(X)B(W)+c2B(X)B(Y)B(Z)B(W)+

cdB(X)B(W)[A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)]+ceB(X)B(W)D(Y,Z)+

adg(Y,Z)[A(X)B(W)+A(W)B(X)]+bdA(Y)A(Z)[A(X)B(W)+A(W)B(X)]+

cdB(Y)B(Z)[A(X)B(W)+A(W)B(X)]+d2[A(X)B(W)+A(W)B(X)][A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)]+

edD(Y,Z)[A(X)B(W)+A(W)B(X)]+aeg(Y,Z)D(X,W)+beA(Y)A(Z)D(X,W)+

ceB(Y)B(Z)D(X,W)+edD(X,W)[A(Y)B(Z)+A(Z)B(Y)]+e2D(X,W)D(Y,Z)。

(8)

同樣,也可以寫出Ric(Y,W)Ric(X,Z)的表示式。

Ric(Y,W)Ric(X,Z)=a2g(Y,W)g(X,Z)+abg(Y,W)A(X)A(Z)+acg(Y,W)B(X)B(Z)+

adg(Y,W)[A(X)B(Z)+B(X)A(Z)]+aeg(Y,W)D(X,Z)+abg(X,Z)A(Y)A(W)+

b2A(X)A(Y)A(Z)A(W)+bcA(Y)A(W)B(X)B(Z)+bdA(Y)A(W)[A(X)B(Z)+A(Z)B(X)]+

beA(Y)A(W)D(X,Z)+acg(X,Z)B(Y)B(W)+bcA(X)A(Z)B(Y)B(W)+c2B(X)B(Y)B(Z)B(W)+

cdB(Y)B(W)[A(X)B(Z)+A(Z)B(X)]+ceB(Y)B(W)D(X,Z)+

adg(X,Z)[A(Y)B(W)+A(W)B(Y)]+bdA(X)A(Z)[A(Y)B(W)+A(W)B(Y)]+

cdB(X)B(Z)[A(Y)B(W)+A(W)B(Y)]+d2[A(Y)B(W)+A(W)B(Y)][A(X)B(Z)+A(Z)B(X)]+

edD(X,Z)[A(Y)B(W)+A(W)B(Y)]+aeg(X,Z)D(Y,W)+beA(X)A(Z)D(Y,W)+

ceB(X)B(Z)D(Y,W)+edD(Y,W)[A(X)B(Z)+A(Z)B(X)]+e2D(Y,W)D(X,Z)。

(9)

根據(jù)式子(1)(7)(8)(9)結(jié)合定理條件可得

由上所述,根據(jù)定理1,可知定理結(jié)論成立。

評注：當n=3或者4時,是滿足該定理條件的MS(QE)n的非平凡情況,即:使a,b,c,d,f為全不為0條件下的MS(QE)n是不存在的。

證明：如果MS(QE)n共形平坦,那么(0,4)型黎曼曲率張量R(X,Y,Z,W)為:

實際上,

(10)

其中,D(X,Y)=g(QX,Y)。

利用式子(1)(2)(3)和(10)且令Z=U,可得

(11)

如果U為平行向量場,根據(jù)引理2可知,a+b=0,c=0,所以上式(11)可化為

定理4 上調(diào)合平坦MS(QE)n流形的生成元U,如果為平行向量場,則Ric(V,V)=0。

證明：由于MS(QE)n上調(diào)合平坦,故

事實上

(12)

如果U為平行向量場,根據(jù)引理2可知a+b=0,c=0,所以上式(12)可化為

定理5 投影平坦且生成元U為平行向量場的MS(QE)n的數(shù)量曲率r=0。

證明：如果MS(QE)n投影平坦,那么(0,4)型黎曼曲率張量R(X,Y,Z,W)為

(13)

對(13)式進行縮并且令W=U,可得bA(X)=0,所以b=0。根據(jù)引理1可知a+b=0,c=0可得a=b=0,所以

S(X,Y)=fD(X,Y),根據(jù)式子(3)可知數(shù)量曲率r=0。

2.2 局部共形 K?hler 流形與混合超級半愛因斯坦分形流形

定理6 具有平行l(wèi)ee形式的緊致,定向,無邊的連通非K?hler 的局部共形K?hler 流形,同時也是MS(QE)n型流形,其黎曼Ricci曲率S(X,Y)表示為:

S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+c[A(X)B(Y)+A(Y)B(X)]+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),

其中,A,B分別為lee形式和反lee形式,U,V為分別對應(yīng)于A,B的單位lee向量場和單位反lee向量場,則U平行向量場當且僅當a+b=0。

證明：充分性由引理2顯然可知。下證必要性。

定理7 如果一個具有平行l(wèi)ee形式的緊致連通非K?hler 的局部共形K?hler 流形(Mn,g)(n≥2),同時也是MS(QE)n型流形,其黎曼Ricci曲率S(X,Y)表示為:

S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+c[A(X)B(Y)+A(Y)B(X)]+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),

其中A,B分別為lee形式(平行)和反lee形式,U,V為分別對應(yīng)于A,B的單位lee向量場和單位反lee向量場。設(shè)r為數(shù)量曲率,則

(2)(Mn,g)不為上調(diào)和平坦流形,也不為投影平坦流行。

S(X,Y)=ag(X,Y)+bA(X)A(Y)+c[A(X)B(Y)+A(Y)B(X)]+dB(X)B(Y)+fD(X,Y),因此

由此方程組整理可得

(14)

2.3 混合超級半愛因斯坦流形的一些整體性質(zhì)

定理8 設(shè)緊致,定向,無邊界的MS(QE)n型流形滿足:b,c,d,f≥0,a+b+c+d+f≤0,那么投影killing向量場X的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為0,如果b,c,d,f>0,a+b+c+d+f<0,那么此類流形不存在非零的投影killing向量場。

證明：參考文獻[11]知,投影killing向量場X滿足

ξ為向量場X對應(yīng)的一形式,由文獻[13]可知S(X,X)≤0,則由前述等式可以知道dξ=0,divX=0。即證X為調(diào)合向量場,又為投影killing向量場。因此其協(xié)變量導(dǎo)數(shù)為0。

定理9 設(shè)緊致,定向,無邊界的MS(QE)n型流形滿足:b,c,d,f>0,a+b+c+d+f<0,那么此類流形不存在非零的共形killing向量場。

本文嘗試討論局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的混合超級半愛因斯坦流形,我們覺得在分形多孔空間上討論混合超級半愛因斯坦流形是一個有趣的問題。