韓 偉 唐錢龍 *?,2)

*(福建林業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院交通工程系，福建南平 353000)

?(華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，南昌 330013)

**(中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410075)

??(江西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，南昌 330013)

隧道的施工會(huì)對地層的原始狀態(tài)產(chǎn)生干擾[1-2]，從而產(chǎn)生地表變形，目前，有許多關(guān)于地表沉降預(yù)測方法的研究，其中，Litwiniszyn 將地層視為均勻的顆粒介質(zhì)，從而提出隨機(jī)介質(zhì)理論，后來我國科學(xué)家劉寶琛等[3-4]將其進(jìn)一步完善和推廣，從而在世界范圍內(nèi)的地下領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對隨機(jī)介質(zhì)理論的應(yīng)用與研究開展了相當(dāng)多的工作。施成華等[5-6]利用隨機(jī)介質(zhì)理論推導(dǎo)了任意斷面的隧道開挖引起的地表移動(dòng)和變形，并直接給出了圓形隧道和直墻拱形隧道工況下的地層變形計(jì)算公式，由此可以推演出地層的一系列位移變量分布，例如數(shù)值位移，水平位移，傾斜、曲率等；韓煊等[7-8]對兩種主流的地表沉降理論公式（隨機(jī)介質(zhì)公式和Peck 公式）進(jìn)行研究，探討了兩者的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)現(xiàn)在埋深和隧道半徑之比較大時(shí)，兩者均適用，而在淺埋隧道工況下，隨機(jī)介質(zhì)理論更為適用；劉宇[9]通過隨機(jī)介質(zhì)公式計(jì)算得到淺埋偏壓隧道圍巖位移值，并以此進(jìn)一步分析了圍巖的穩(wěn)定性；傅鶴林等[10]也在淺埋偏壓隧道工況中完善了隨機(jī)介質(zhì)理論的參數(shù)取值，將其隧道斷面的變化情況從傳統(tǒng)的圓形內(nèi)縮優(yōu)化為具有一定傾斜角度的橢圓形；在盾構(gòu)隧道中所面臨的更為復(fù)雜的情況同樣也可以用隨機(jī)介質(zhì)理論來解決，Zeng 等[11]利用隨機(jī)介質(zhì)理論推導(dǎo)了雙洞隧道施工下地層的變形，并討論了兩隧道疊加的影響；Shi 等[12]考慮盾構(gòu)掌子面的附加力以及盾殼與圍巖之間的摩擦力，拓展了隨機(jī)介質(zhì)理論的應(yīng)用范圍。在計(jì)算地下空間開挖導(dǎo)致的地層變形與預(yù)測地表沉降方面，隨機(jī)介質(zhì)理論由于模型合理、參數(shù)簡單，被認(rèn)為是簡單有效的方法之一，在地下空間研究領(lǐng)域具有重要的位置，并得到了廣泛的應(yīng)用。除了上述普通的隧道開挖工況外，該理論還被應(yīng)用于下穿既有隧道[13]、S 形空間曲線隧道掘進(jìn)[14]、矩形頂管施工[15-16]、隧道變截面開挖[17]、樁基下沉[18]等工況，以及復(fù)合地層中隧道開挖引起的變形[19]預(yù)測等。雖然隨機(jī)介質(zhì)理論在地下領(lǐng)域適用條件廣泛，但均建立在地層較為理想的條件下，且地表沉降被視為主要受隧道斷面的收斂和地層影響角β 兩個(gè)參數(shù)影響，這顯然不足以考慮到隧道所處地下環(huán)境的復(fù)雜性，比如在富水地層中，由于地下滲流的作用，傳統(tǒng)隨機(jī)介質(zhì)理論所得到的結(jié)果可能低估了實(shí)際沉降。

因此，針對傳統(tǒng)隨機(jī)介質(zhì)理論在富水地層中應(yīng)用受限的缺陷，本文從隨機(jī)介質(zhì)理論和地下滲流理論出發(fā)，推導(dǎo)了在隧道開挖擾動(dòng)和地層滲流聯(lián)合作用下的地表沉降，且所推導(dǎo)公式計(jì)算結(jié)果通過與數(shù)值模擬以及工程實(shí)際對比，其可靠性得到了驗(yàn)證，有利于拓展隨機(jī)介質(zhì)理論的應(yīng)用范圍。

1 隨機(jī)介質(zhì)理論及參數(shù)介紹

在隨機(jī)介質(zhì)理論中，巖土體由彼此離散但又相互接觸的細(xì)微介質(zhì)組成，該介質(zhì)分布均勻，且在同一地層中傳導(dǎo)能力不變。當(dāng)?shù)貙又心骋粏卧婚_挖，為了填充其空缺，上方的土體會(huì)在重力作用下以一定的規(guī)律沉降，根據(jù)大量工程研究和現(xiàn)場實(shí)測，土體的沉降分布與正態(tài)分布類似，在理想情況下，被填充的單元體積與土體沉降曲線總面積的趨近值相等。在隧道這類平面應(yīng)變問題中，單元開挖導(dǎo)致的沉降分布曲線如圖1 所示[20]，用公式表達(dá)為

圖1 單元開挖沉降模型圖Fig.1 Settlement model by unit excavation

式中，在以地表為原點(diǎn)的坐標(biāo)系下，ε為地層中單元的水平位置，η為單元的埋深，x為地表所求點(diǎn)的水平坐標(biāo)，r為地表的沉降半徑，該值取決于開挖深度和地層的變形傳導(dǎo)能力，一般開挖深度越大，r越大，地層變形傳導(dǎo)能力越強(qiáng)，r越小。其中，開挖深度由η表征，而地層變形傳導(dǎo)能力由 t anβ表示，屬于地層的力學(xué)參數(shù)[7]，在缺乏實(shí)測資料的條件下，t anβ可取經(jīng)驗(yàn)值為

式中，φ為地層的內(nèi)摩擦角。根據(jù)r與η和tanβ的關(guān)系，r可以表示為r(η)=η/tanβ。

在式（1）的基礎(chǔ)上，推廣至實(shí)際隧道開挖后，圍巖向內(nèi)部收斂，則所需填充的空缺值為其收斂的面積，因而在收斂區(qū)域?qū)κ剑?）積分，則可以得到地層損失導(dǎo)致的地表總沉降的分布情況

式中，U為隧道原始斷面，V為隧道穩(wěn)定后最終斷面，因而收斂區(qū)域由U-V表示，該值取決于實(shí)際的施工情況或條件，例如圍巖等級，開挖工法，支護(hù)施作時(shí)機(jī)等。要得到準(zhǔn)確的收斂值往往需要結(jié)合現(xiàn)場監(jiān)測，通過全站儀多點(diǎn)測量，擬合出斷面變化情況。但在缺乏現(xiàn)場實(shí)測資料的條件下，對于大部分圓形盾構(gòu)隧道，其收斂情況可以進(jìn)行簡化，參見文獻(xiàn)[7]，若保持管片的完整性，即變形前后周長不變，圓形斷面最容易收斂為圓心不變，拱頂下沉，側(cè)墻外凸的橢圓形斷面，如圖2 所示。圖中，R為圓形斷面半徑，L為橢圓形斷面的長軸，S為橢圓形斷面的短軸，ΔR=R-S，依據(jù)幾何關(guān)系，三者的關(guān)系可表示為

圖2 斷面不均勻收斂圖Fig.2 Uneven deformation of tunnel section

2 地下滲流引起的地表沉降計(jì)算

隨機(jī)介質(zhì)理論可以表征隧道在短時(shí)間內(nèi)對地層的擾動(dòng)作用，但在富水地層中，地下水同樣會(huì)因?yàn)樗淼篱_挖引起的水頭差而產(chǎn)生流動(dòng)，從而使得孔隙水壓分布發(fā)生變化，因而在隧道的后續(xù)運(yùn)營過程中，地層會(huì)發(fā)生進(jìn)一步的沉降。考慮到盾構(gòu)隧道經(jīng)常遭遇潛水地層，本文進(jìn)一步推導(dǎo)了該地層在隧道滲流作用下的沉降計(jì)算。

滲流問題中隧道的開挖模型如圖3 所示。其中，H為地表至水位線的垂直距離，當(dāng)水位線在地表上部時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)位于隧道圓心上方的地表位置，且H＞0，b為隧道圓心到地表的垂直距離；當(dāng)水位線低于地表時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)位于隧道圓心上方的水位線位置，且H=0，b則為隧道圓心到水位線的垂直距離。

圖3 隧道與地下水位幾何關(guān)系圖Fig.3 Geometric relationship between tunnel and groundwater level

在隧道引起的滲流問題中，由于隧道處于平面應(yīng)變狀態(tài)，其滲流微分方程表示為[21]

式中，h為測壓管水頭，其值為位置水頭加上壓強(qiáng)水頭，即

式中，ps為孔隙水壓力，rw為水的容重，取值為9.8 kN/m3。為求解式（5），還需要模型的水頭邊界條件，在圖3 的滲流模型中有2 個(gè)邊界，其一為地表邊界，在平均水位常年保持不變的情況下，該邊界的水頭值為

另一邊界則為隧道的臨空面，在隧道開挖過程中，前期開挖后隧道處于毛洞狀態(tài)，并未施加防水措施，所以該界面為自由出水界面，所以在此界面ps=0 。但在實(shí)際的富水地層中，隧道均會(huì)施加一定的防水措施[22]，例如環(huán)向注漿等，所以本文認(rèn)為在計(jì)算中并不能簡單地將其孔壓視為0，而應(yīng)參考文獻(xiàn)[23]，將該界面的孔隙水壓視為隧道拱頂?shù)撵o水壓在一定程度的折減，即

式中，βs為折減系數(shù)，依據(jù)隧道的注漿層或襯砌的防水效果取值0～1 之間，在理想情況下，例如當(dāng)隧道臨空面沒有任何防水措施時(shí)，該值取0，而當(dāng)注漿層或襯砌完全不透水時(shí)，該值取1，在實(shí)際應(yīng)用中，可對隧道拱頂進(jìn)行水壓測量，其測量值與(H+b–R)·rw的比值，便可作為βs。然后將式（8）代入式（6），隧道臨空面的水頭邊界可表示為

圖3 所示的滲流模型中地表邊界為無限平面，而隧道邊界為圓形斷面，由于兩者形狀不同，在常規(guī)的直角坐標(biāo)系下直接求解式（5）具有一定的難度，因而本文采用保角變換的方法[24-25]（如式（10）所示）將地表邊界與隧道邊界均映射為圓形，兩者圓心位置一致，如圖4 所示。經(jīng)過坐標(biāo)變換，原模型中水平的地表邊界映射為圖4 中半徑為1 的外圓，而隧道臨空面則映射為半徑為αs的內(nèi)圓，其中，而地層中各點(diǎn)則映射到兩個(gè)同心圓之間。通過這種方法轉(zhuǎn)換后的滲流模型可以視為常規(guī)的徑向滲流，地下水從外圓向內(nèi)圓徑向流動(dòng)。此時(shí)，模型易于在極坐標(biāo)情況下求解，建立圖4 中的極坐標(biāo)系，θs為極角，ρs為極徑，在此坐標(biāo)系下，式（5）則可寫為

圖4 經(jīng)過保角變換的隧道與地表關(guān)系圖Fig.4 Relationship between tunnel and surface after conformal transformation

將式（7），式（9）所示的邊界條件代入式（11）可求解h，其表達(dá)式為

根據(jù)有效應(yīng)力原理，在考慮滲流的隧道開挖模型中，由于土體的總應(yīng)力不變，當(dāng)孔隙水壓減少時(shí)，土體顆粒之間的有效應(yīng)力則會(huì)增加，且兩者變化量相等，即

式中，ps0=rw·(H -z)，將ps和ps0代入式（15），則可以得到各點(diǎn)的有效應(yīng)力改變量，為

此處土體被視為飽和且各向同性，因而在隧道這種平面應(yīng)變問題中，縱向應(yīng)變?yōu)?，則

式中，σx可表示為σz與側(cè)向系數(shù)k的乘積，在現(xiàn)場實(shí)測條件有限的情況下，k可取為ν/(1-ν)，因而式（18）可表示為

將式（16）代替式（19）中的σz，便可得到地層中單元體由于有效應(yīng)力增大而產(chǎn)生的變形量，然后對隧道上層土體積分，則可得到地層在地下滲流作用下的地表沉降值Ws(x)為

將式（3）與式（20）相加，便可得到地表在隧道開挖擾動(dòng)和地下水滲流聯(lián)合作用下的最終沉降值。

值得注意的是，隨機(jī)介質(zhì)理論將土體視為彼此離散但又相互接觸的細(xì)微顆粒，而滲流理論同樣發(fā)生在具有骨架形態(tài)的巖土顆粒中，因此本文所提的方法一般適用于這種離散顆粒，且顆粒之間具有一定黏性或摩擦力，以及具有滲透特性的地層中，例如黏土層、砂層、砂礫石層等[26-28]。

3 工程驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所推導(dǎo)公式的可行性，本文以某盾構(gòu)隧道為工程背景，對其富水區(qū)段某一斷面的地表沉降進(jìn)行了現(xiàn)場監(jiān)測，同時(shí)還利用ABAQUS對該區(qū)段進(jìn)行三維數(shù)值建模，通過將解析計(jì)算結(jié)果與監(jiān)測數(shù)據(jù)和數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比來驗(yàn)證合理性。該區(qū)段地層為富水砂卵石地層，其中卵石含量約60%，主要成分為石英砂巖、砂巖，亞圓形，粒徑20～40 mm，最大粒徑達(dá)80～100 mm，砂質(zhì)充填，混約10%黏性土；根據(jù)該區(qū)域的常年正常水位，其水位線埋深為6 m，依據(jù)現(xiàn)場滲透試驗(yàn)測試結(jié)果，該段穿越地層為強(qiáng)透水層，平均滲透系數(shù)為0.03 cm/s。根據(jù)工程設(shè)計(jì)資料，隧道開挖直徑為14 m，管片外徑13.7 m，管片厚度1.2 m，盾尾間隙0.3 m，管片與開挖面之間的間隙采用壁后同步注漿填充，隧道埋深為18 m，為進(jìn)行地表沉降監(jiān)測，在隧道軸線頂部及兩側(cè)均設(shè)置了監(jiān)測點(diǎn)，總共9 個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，相鄰監(jiān)測點(diǎn)相隔3.5 m，布置如圖5 所示，現(xiàn)場監(jiān)測如圖6 所示。

圖5 隧道開挖地表沉降監(jiān)測點(diǎn)布置Fig.5 Layout of monitoring points for surface settlement caused by tunnel excavation

圖6 隧道開挖時(shí)地表沉降實(shí)測Fig.6 The measurement of surface settlement during tunnel excavation

根據(jù)該區(qū)段地質(zhì)資料及隧道設(shè)計(jì)資料，對隧址區(qū)進(jìn)行數(shù)值建模如圖7 所示，在隧道橫斷面內(nèi)，模型長150 m，高90 m，沿隧道軸線方向?qū)?5 m。

圖7 富水區(qū)段隧道開挖數(shù)值模型圖Fig.7 Numerical model of tunnel excavation in water rich section

依據(jù)工程勘察資料，現(xiàn)場試驗(yàn)資料及相關(guān)監(jiān)測數(shù)據(jù)，確定了數(shù)值計(jì)算及理論計(jì)算中所需參數(shù)的取值，分別如表1 和表2 所示。

表1 數(shù)值計(jì)算各參數(shù)取值Table 1 Values of parameters in numerical calculation

表2 理論計(jì)算各參數(shù)取值Table 2 Values of parameters in theoretical calculation

在數(shù)值模擬中，土體單元采用線彈性模型和Mohr–coulomb 模型來模擬其彈性和塑性，用Permeability 模型來模擬其滲透性，單元類型為CPE4RP。模型兩側(cè)限制了其水平位移，底部限制了其豎向位移。以初始斷面為監(jiān)測斷面，并以沿隧道軸向開挖5 m 為一分析步，在每一步中，鈍化開挖土體，同時(shí)激活管片單元和注漿層單元，并在管片內(nèi)徑界面激活水頭。此時(shí)土體在開挖后應(yīng)力釋放產(chǎn)生塑性變形，同時(shí)地下滲流會(huì)進(jìn)一步加劇變形，從而導(dǎo)致地表沉降。計(jì)算并統(tǒng)計(jì)每一步開挖后監(jiān)測斷面地表的沉降分布數(shù)值解。另外，將表2 中各參數(shù)代入式（3）和式（20），兩者疊加后可以得到隧道開挖后地表沉降的理論解。對所選取的斷面進(jìn)行隧道開挖后的連續(xù)現(xiàn)場監(jiān)測，并將各點(diǎn)地表沉降的變化實(shí)際情況與數(shù)值解和理論解進(jìn)行對比，如圖8 和圖9 所示，其中用x表示隧道橫斷面內(nèi)地表橫向位置，其原點(diǎn)位于隧道軸向正上方，如圖3 所示。

圖8 不同方法得到的橫斷面內(nèi)地表沉降結(jié)果對比Fig.8 Comparison of surface settlement results in cross section obtained by different methods

圖9 不同方法得到的縱斷面內(nèi)地表沉降結(jié)果對比Fig.9 Comparison of surface settlement results in longitudinal section obtained by different methods

由圖8 可以看出，模擬得到的地表沉降稍大于理論值，但兩者的沉降范圍較為接近，而監(jiān)測得到的結(jié)果在沉降理論值變化曲線附近波動(dòng)，最大差異點(diǎn)位于x=–7 m，其差值為0.007 mm。

另外，從圖9 可以看出，地表沉降監(jiān)測曲線與模擬曲線反映的變化規(guī)律較為一致，兩者均顯示隧道在開挖后短時(shí)間內(nèi)會(huì)發(fā)生較大的沉降，這主要與隧道對地層的擾動(dòng)有關(guān)。隧道斷面收斂會(huì)造成地層損失，而隨著支護(hù)結(jié)構(gòu)的施加以及圍巖的自穩(wěn)能力，地表變形速率逐漸減慢。但沉降還是以較緩的趨勢繼續(xù)發(fā)生，這主要與地下滲流有關(guān)。隧道開挖打破了地下水頭平衡，由于在水平面和隧道臨空面存在水頭差，地下水開始流動(dòng)，直到達(dá)到新一輪的平衡，因此沉降曲線在后期緩慢下降最終趨于穩(wěn)定。

值得注意的是，當(dāng)掌子面推進(jìn)距離較小時(shí)，模擬的沉降曲線與監(jiān)測曲線較為接近，而隨著掌子面的推進(jìn)，兩者的差異緩慢增大，實(shí)際沉降值會(huì)稍大于模擬結(jié)果。另外，本文所推導(dǎo)的解析解理論上是地表沉降的最終值，該值與監(jiān)測結(jié)果也存在些許差異。這是由于在實(shí)際的富水砂卵石地層中，隧道開挖后，附近圍巖水頭突變形成低壓區(qū)，在高水頭梯度情況下，地下水極易形成非達(dá)西滲流，甚至存在管涌現(xiàn)象，這進(jìn)一步增加了地層損失。相比之下，數(shù)值模擬與理論計(jì)算均假設(shè)地層為均勻介質(zhì)，且滲透系數(shù)不變，因而更適用于分布較為均勻的砂土地層，而在砂卵石地層中，這兩類方法計(jì)算地下滲流引起的沉降會(huì)小于實(shí)際沉降值。盡管三類方法計(jì)算結(jié)果存在差異，但在圖9 中，地表實(shí)際沉降的收斂值與理論值差異均在0.01 mm 之內(nèi)，仍然具有較好的一致性，因此，本文所述的富水地層中地表沉降計(jì)算方法具有一定的參考價(jià)值，可以為工程設(shè)計(jì)、施工提供安全指導(dǎo)。

4 多工況對比驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提方法的適用性，本文在第3 節(jié)的基礎(chǔ)上又對另外4 種工況進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算與理論計(jì)算對比，各工況分別為b=15 m，R=7 m；b=15 m，R=10 m；b=30 m，R=7 m；b=30 m，R=10 m。采用有限元軟件對該4 種工況分別建立了二維隧道模型，如圖10 所示，模型的尺寸為100 m×50 m，選取隧道圓心對應(yīng)的地表位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)軸xoz，水位線取與地表線同高，即在圖10 中，H=0，各材料參數(shù)取值同表1。

圖10 地表沉降計(jì)算的隧道模型圖Fig.10 Tunnel model for surface settlement calculation

在圖10 的模型中，因?yàn)樗痪€與地表齊平，所以地表孔壓為0，模型兩側(cè)根據(jù)常規(guī)線性梯度設(shè)置孔壓，而對于隧道內(nèi)壁，孔壓則基于工程實(shí)例水壓監(jiān)測值根據(jù)式（9）設(shè)置，βs取為0.8。另外，在理論計(jì)算過程中，隨機(jī)介質(zhì)的參數(shù)tanβ根據(jù)式（2）得到，而隧道拱頂變形尺寸ΔR取為相應(yīng)工況下模擬變形值，依據(jù)第1 節(jié)公式以及相關(guān)模擬結(jié)果，各工況參數(shù)取值如表3 所示。

表3 隨機(jī)介質(zhì)理論計(jì)算中各工況參數(shù)取值Table 3 Values of parameters under various working conditions in theoretical calculation using random medium

通過數(shù)值計(jì)算，得到了不同工況下隧道在富水地層中引起的地表沉降分布，以及相應(yīng)工況下的地表沉降解析解，其中包括由隧道開挖擾動(dòng)引起的沉降值分量以及由地層滲流引起的沉降值分量。將解析得到的綜合沉降值及其沉降分量與數(shù)值模擬的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖11 所示。

圖11 不同工況條件下總沉降數(shù)值解與各類沉降解析解對比Fig.11 Comparison of total settlement numerical solution and various settlement analytical solutions under different working conditions

圖11 顯示，當(dāng)僅考慮隧道擾動(dòng)或僅考慮地下滲流時(shí)，得到的沉降分布與模擬結(jié)果相差較大，尤其是在隧道圓心對應(yīng)的地表位置，即地表沉降最大點(diǎn)，由隧道擾動(dòng)和地下滲流分別計(jì)算得到的沉降值均明顯小于模擬值，因而在實(shí)際應(yīng)用過程中，基于單一因素的計(jì)算往往會(huì)低估地層的變形量，不利于工程安全。

而當(dāng)聯(lián)合考慮隧道擾動(dòng)和地下滲流作用時(shí)，地表沉降曲線的解析結(jié)果與模擬結(jié)果較為一致，以最大沉降為例，各工況下兩者的差異分別為0.01%，0.97%，6.56%，7.51%，證明了本文聯(lián)合隨機(jī)介質(zhì)理論和滲流理論所推導(dǎo)地表沉降計(jì)算公式的可靠性。

5 結(jié)論

（1）根據(jù)隨機(jī)介質(zhì)的本質(zhì)，隨機(jī)介質(zhì)理論可以較好反映隧道開挖對地層擾動(dòng)的影響，但在富水地層中，僅依靠隨機(jī)介質(zhì)方法往往會(huì)低估實(shí)際沉降值，因?yàn)樵诘叵滤疂B流作用下，沉降會(huì)進(jìn)一步發(fā)生。

（2）基于保角變換推導(dǎo)了在具有襯砌等防水措施條件下的隧道滲流場的水頭分布，然后根據(jù)地層各點(diǎn)孔隙水壓力的變化情況，進(jìn)一步推導(dǎo)了由于地下滲流導(dǎo)致的地表沉降解析解。

（3）聯(lián)合隨機(jī)介質(zhì)理論和地下滲流理論，得到了隧道在富水地層中引起的地表沉降理論解，通過與數(shù)值模擬對比，最大差異在8%以內(nèi)，另外再通過與工程中監(jiān)測數(shù)據(jù)對比，其沉降值也與實(shí)際案例中最終沉降值較為接近，進(jìn)一步說明了方法的可行性。