吳 昊

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031)

1 問(wèn)題的提出

支座一般指連接結(jié)構(gòu)與固定點(diǎn)的裝置，結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)中的支座形式以剛性支座為主，包括固定鉸支座、活動(dòng)鉸支座和滑動(dòng)支座等[1-3]，除支座移動(dòng)因素外，該類支座不允許支承處沿約束方向發(fā)生任何位移。實(shí)際工程中，某些結(jié)構(gòu)的支座承受載荷時(shí)本身會(huì)沿約束方向發(fā)生有限變形以提供支承反力，計(jì)算中將這類支座簡(jiǎn)化為彈性支座更符合實(shí)際，如組合結(jié)構(gòu)中鏈桿或拉索對(duì)梁式桿的約束作用可處理為彈性支座。通過(guò)將超靜定結(jié)構(gòu)中剛度支座或剛結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化為彈性支座，還可將彈性支座用于一般超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移簡(jiǎn)化計(jì)算[4-5]。

合理去除多余約束是帶彈性支座且有多余支座約束結(jié)構(gòu)力法計(jì)算的關(guān)鍵，通?？刹扇〕啡セ蚯虚_多余彈性支座的方式[6]，其中，前者相當(dāng)于解除彈簧活動(dòng)支點(diǎn)約束，系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算可不考慮彈簧變形影響，但由于原結(jié)構(gòu)沿多余約束方向的線位移或彈性轉(zhuǎn)角大小未知，且總是與彈性約束力反向，即力法典型方程等號(hào)右邊為未知位移，形式上與帶剛性支座結(jié)構(gòu)不統(tǒng)一，物理意義也不同；切開彈簧的方式將彈簧分為兩部分，利用彈簧切口兩側(cè)截面相對(duì)位移條件建立力法方程，一方面系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，另一方面對(duì)于帶轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的結(jié)構(gòu)，力法典型方程及自由項(xiàng)的意義不直觀?？梢?，以上兩種去除彈性支座多余約束的方式均存在一定局限性。

為統(tǒng)一去除支座多余約束的方式，規(guī)范力法求解過(guò)程，本文針對(duì)帶彈性支座多余約束結(jié)構(gòu)力法計(jì)算提出了一種解除彈性支座固定支點(diǎn)約束、保留完整彈簧作為基本結(jié)構(gòu)一部分的去多余約束思路，并通過(guò)與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，分析了該去彈性支座多余約束方法的優(yōu)勢(shì)，可為進(jìn)一步研究帶彈性支座結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和帶彈性結(jié)點(diǎn)超靜定結(jié)構(gòu)分析等彈性約束計(jì)算問(wèn)題提供參考。

2 彈性支座形式和計(jì)算特點(diǎn)

2.1 常見支座形式

圖1 給出了結(jié)構(gòu)分析中部分彈性支座的計(jì)算簡(jiǎn)圖，按照支承特性可將彈性支座分為兩大類：由單彈簧或單彈簧和剛性支座鏈桿組成的拉壓彈性支座（圖1(a)～1(c)），以及由兩根平行彈簧和鉸支座組合的轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座（圖1(d)），其中，圖1(c)和圖1(d)中的彈性支座均提供3 個(gè)約束，支承特性類似固定支座，可看作由固定支座解除某個(gè)方向的約束并代之以相應(yīng)彈性約束得到的半剛性支座。

圖1 彈性支座形式

2.2 主要計(jì)算特點(diǎn)

彈性支座所提供的約束力或約束力矩與彈簧變形成正比[7]，拉壓彈性支座和轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的約束力(Rk)和約束力矩(Mk)分別滿足

式中，Δ和θ分別為相應(yīng)彈性支座的變形，k和kr分別表示彈性支座沿約束方向發(fā)生單位線位移和單位轉(zhuǎn)角時(shí)產(chǎn)生的約束反力和約束力矩，即彈性支座剛度系數(shù)，該系數(shù)為影響結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布的關(guān)鍵參數(shù)，通常作為已知條件給出。

帶彈性支座且有支座多余約束結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算中，彈性支座的影響與所選力法基本體系有關(guān)，主要體現(xiàn)在力法典型方程建立以及系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算等環(huán)節(jié)。若彈性支座約束為必要約束必須保留時(shí)，彈簧變形對(duì)靜定基本結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算無(wú)影響，但系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算需考慮彈簧變形引起的剛體位移貢獻(xiàn)；若彈性支座約束為非必要約束，一般將彈性支座約束選作多余約束予以解除的基本體系計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便。根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可按以下兩種方式解除彈性支座多余約束進(jìn)行計(jì)算：（1）撤去彈性支座，將彈性支座變形看作對(duì)應(yīng)剛性支座的位移，把彈性支座問(wèn)題轉(zhuǎn)化為載荷和支座移動(dòng)共同作用下剛性支座結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，如圖2(a)所示結(jié)構(gòu)，解除彈性約束后可進(jìn)一步利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算；（2）保留彈簧作為基本結(jié)構(gòu)一部分，將彈簧看作軸力桿，按照載荷作用下的組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行力法計(jì)算。本文對(duì)后一種去多余約束方式進(jìn)行討論。

圖2 彈性支座與剛性支座位移等效示意

3 解除彈性支座固定支點(diǎn)去多余約束

彈性支座的彈簧兩端分別通過(guò)活動(dòng)支點(diǎn)和固定支點(diǎn)與桿件和基礎(chǔ)相連，為便于利用原結(jié)構(gòu)中彈簧固定支點(diǎn)處已知的零位移條件，提出一種將去多余約束位置選在彈性支座固定支點(diǎn)處并保留整個(gè)彈簧作為基本結(jié)構(gòu)一部分的去彈性支座多余約束處理方式，以下選取帶彈性支座的超靜定梁和剛架結(jié)構(gòu)為例針對(duì)兩類彈性支座形式進(jìn)行說(shuō)明。

3.1 拉壓彈性支座

圖3(a)為帶單彈簧的拉壓彈性支座的一次超靜定單跨梁，EI為常數(shù)，桿長(zhǎng)l，彈簧剛度系數(shù)k，跨中受一集中力F作用，選取懸臂梁作為力法基本結(jié)構(gòu)，解除彈性支座固定支點(diǎn)約束并以多余約束力X1代替，保留彈簧作為基本結(jié)構(gòu)的一部分，基本體系如圖3(b)所示。

圖3 帶彈性支座單跨超靜定梁

利用原結(jié)構(gòu)已知的零位移條件，建立力法典型方程

式中，δ11和Δ1P分別為基本結(jié)構(gòu)中彈簧解除約束點(diǎn)處由于單位多余約束力和載荷單獨(dú)作用引起的豎向位移，基本結(jié)構(gòu)的M1和MP圖分別如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖4 基本結(jié)構(gòu)彎矩圖

將彈簧看作剛度系數(shù)已知的軸力單元，主系數(shù)由兩部分組成，分別為單位多余約束力作用下梁式桿彎曲變形產(chǎn)生的主位移和彈簧變形引起的位移，可按單位載荷作用下的組合結(jié)構(gòu)位移公式進(jìn)行計(jì)算，如式（4）所示，即由梁式桿單位彎矩圖圖乘結(jié)果與彈性支座柔度系數(shù)疊加得到。

具體計(jì)算中，軸向剛度為EA的鏈桿支座也可看作拉壓彈性支座。

3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座

圖5(a)為一帶轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的一次超靜定剛架結(jié)構(gòu)，EI為常數(shù)，各桿長(zhǎng)均為l，支座轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)kr，選取簡(jiǎn)支剛架作為力法基本結(jié)構(gòu)，解除彈性支座中彈簧固定支點(diǎn)A和B處約束，各彈簧與基礎(chǔ)完全脫開，保留彈簧作為基本結(jié)構(gòu)一部分，用多余約束力矩X1代替轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的約束作用，得基本體系如圖5(b)所示。

圖5 帶轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座剛架結(jié)構(gòu)

利用基本體系中彈簧解除約束點(diǎn)連線沿約束方向轉(zhuǎn)角與原結(jié)構(gòu)中固定支點(diǎn)A和B連線轉(zhuǎn)角相等的位移條件，建立形式與式（3）相同的力法典型方程。原結(jié)構(gòu)彈性支座實(shí)際變形以及基本結(jié)構(gòu)由于多余約束力矩和載荷單獨(dú)作用時(shí)彈性支座變形狀態(tài)見圖6，可知，相應(yīng)的轉(zhuǎn)角均為相對(duì)于基礎(chǔ)固定點(diǎn)連線的角位移，即絕對(duì)角位移，意義直觀，便于計(jì)算，力法典型方程的建立以及系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算均不需考慮原結(jié)構(gòu)中彈性支座實(shí)際變形，且主系數(shù)δ11同樣可由桿件彎曲變形產(chǎn)生的主位移疊加彈性支座柔度系數(shù)得到。

圖6 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座變形狀態(tài)

由剛性支座支承特性可知，剛性支座多余約束結(jié)構(gòu)的力法典型方程形式及系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算不受去約束位置影響，上述去彈性支座多余約束方式同樣適用于剛性支座多余約束。以載荷作用下具有一個(gè)支座多余約束的超靜定結(jié)構(gòu)為例，將剛性支座和彈性支座常見的去支座多余約束方式及相應(yīng)力法典型方程的形式列于表1 中。

表1 剛性和彈性支座去支座多余約束方式比較

彈性支座的3 種去多余約束方式分別對(duì)應(yīng)不同的位移條件，盡管力法典型方程本質(zhì)上一致，但區(qū)別在于力法的基本體系、典型方程形式和物理意義以及系數(shù)和自由項(xiàng)的含義等。其中，解除彈性支座固定支點(diǎn)的方式概念直觀，方程形式緊湊、意義明確，系數(shù)項(xiàng)與自由項(xiàng)的物理意義以及副系數(shù)與自由項(xiàng)的計(jì)算等均與剛性支座結(jié)構(gòu)的力法計(jì)算完全一致，因而具有一般性。

4 算例分析

例已知EI為常數(shù)，k=6EI/(5l3)，kr=3EI/l，用力法計(jì)算圖7 所示結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖。

圖7 帶彈性支座連續(xù)梁

分析：本題為帶兩種類型彈性支座的兩跨連續(xù)梁，2 次超靜定結(jié)構(gòu)，基本結(jié)構(gòu)不唯一。

解：（1）基本未知量

選取簡(jiǎn)支梁作為力法基本結(jié)構(gòu)，以中間彈性支座的豎向約束力X1和轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支座的約束力矩X2作為基本未知量，解除各彈簧固定支點(diǎn)處約束去除彈性支座多余約束并以相應(yīng)多余約束力代替，基本體系如圖8 所示。

圖8 基本體系

（2）基本方程

利用原結(jié)構(gòu)中各彈性支座解除約束處已知的零位移條件，建立力法典型方程

（3）系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算

圖9 單位彎矩圖和載荷彎矩圖

由圖乘法可得：

（4）解力法典型方程

（5）疊加法作彎矩圖

由以上疊加公式分別計(jì)算各桿桿端彎矩，并采用疊加法逐桿作彎矩圖，最終彎矩圖如圖10所示。

圖10 彎矩圖

5 小結(jié)

（1）將彈性支座多余約束的去約束位置選在彈簧固定支點(diǎn)處，便于利用已知的零位移條件建立形式統(tǒng)一、意義明確的力法典型方程。

（2）力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng)均表示基本結(jié)構(gòu)中彈性支座解除約束處的絕對(duì)位移，與剛性支座情況一致，彈簧支座變形的影響限于主系數(shù)計(jì)算，即以彈性支座柔度系數(shù)形式與桿件彎曲變形產(chǎn)生的主位移疊加。

（3）解除支座固定支點(diǎn)的去多余約束方式對(duì)于剛性支座和彈性支座均適用，有利于統(tǒng)一不同支座形式去多余約束位置、規(guī)范力法求解過(guò)程和提高計(jì)算效率。