趙晉芳，趙喬洋，周松，殷奧博

（沈陽(yáng)航空航天大學(xué) a.民用航空學(xué)院，b.機(jī)電工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110136）

航空公司機(jī)組排班問題是非確定性多項(xiàng)式（nondeterministic polynomially，NP）的整數(shù)規(guī)劃問題。在民航運(yùn)輸業(yè)發(fā)展初期，由于航班少、機(jī)型單一、運(yùn)行軟件落后等問題，通常由人工完成排班操作，從而導(dǎo)致機(jī)組值勤超時(shí)、航班銜接不合理、航班延誤等諸多問題。隨著航空公司運(yùn)力規(guī)模的擴(kuò)大，國(guó)內(nèi)民航事業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)也愈發(fā)激烈，因此合理運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行機(jī)組排班對(duì)提升航空公司的飛行運(yùn)作效益和飛行管理水平具有重要意義。

目前，國(guó)外實(shí)際應(yīng)用的機(jī)組排班軟件主要分為兩類，即公平性系統(tǒng)（equitability system）和競(jìng)標(biāo)系統(tǒng)（bidding system）。Zeghal等［1］將機(jī)組排班問題分解為機(jī)組配對(duì)問題和工作制度建設(shè)問題，采用二進(jìn)制和不完全分割問題的方法簡(jiǎn)化該問題，將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)線性規(guī)劃問題。Anbil等［2］針對(duì)機(jī)組排班問題設(shè)計(jì)了TRIP算法，該算法通過三階段分層求解并重復(fù)計(jì)算的方法滿足約束條件。Kornilakis等［3］針對(duì)機(jī)組排班問題采用集合覆蓋公式建模，并采用遺傳算法求解。Kasirzadeh等［4］將個(gè)性化問題考慮到機(jī)組排班問題中，采用列生成算法進(jìn)行求解。Fahle等［5］、Jiao等［6］、Antonova 等［7］采用列生成技術(shù)解決大規(guī)模優(yōu)化的機(jī)組排班問題。

國(guó)內(nèi)學(xué)者亦對(duì)機(jī)組排班問題開展了一些工作。范永俊等［8］提出了基于分支定界法解決飛機(jī)排班問題的方案。李耀華等［9］將車輛路徑問題模型應(yīng)用到航班串排班問題上，并利用單親遺傳算子的免疫算法對(duì)模型進(jìn)行求解，得出VRP模型滿足優(yōu)化航班串排班問題。此外，李耀華等［10］在利用遺傳算法解決排班問題時(shí)，還提出了通過控制染色體交叉和變異的概率快速求得優(yōu)化可行解的方法。陶世群等［11］采用編碼策略以及適應(yīng)度函數(shù)將非平衡指派問題轉(zhuǎn)化為組合優(yōu)化問題，提出了一種基于遺傳算法的多級(jí)目標(biāo)非平衡指派問題的求解方法。張米［12］針對(duì)機(jī)組排班問題設(shè)計(jì)了可求解大規(guī)模機(jī)組排班問題的啟發(fā)式列生成算法，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。潘海洋［13］采用罰函數(shù)法解決了機(jī)組排班問題中無(wú)初始解的情況，探索出高質(zhì)量的初始列并用啟發(fā)式搜索輸入給列生成法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)算法求解質(zhì)量的優(yōu)化。李青等［14］提出了排班問題的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并應(yīng)用改進(jìn)的基于信息熵的自適應(yīng)遺傳算法求解該模型的最優(yōu)解。邵?。?5］、王文璨等［16］、董宇楠等［17］針對(duì)機(jī)組任務(wù)配對(duì)問題，提出利用遺傳算法和啟發(fā)式搜索算法，高效產(chǎn)生可行的機(jī)組任務(wù)配對(duì)，充分考慮到機(jī)組任務(wù)配對(duì)中的排班法規(guī)和運(yùn)營(yíng)成本因素。

雖然國(guó)內(nèi)諸多學(xué)者對(duì)機(jī)組排班問題開展了一些研究，但我國(guó)民航排班問題復(fù)雜，排班工作量較大，直接應(yīng)用國(guó)外的排班軟件會(huì)與國(guó)內(nèi)的運(yùn)行規(guī)范產(chǎn)生沖突，影響機(jī)組排班效率，因此需要根據(jù)我國(guó)實(shí)際情況對(duì)機(jī)組排班問題進(jìn)行簡(jiǎn)化。為解決航班和機(jī)組人員匹配所面臨的大規(guī)模決策問題，本文考慮將航班聚合形成航班環(huán)，將與機(jī)組人員形成匹配的基本單位由航班轉(zhuǎn)變?yōu)楹桨喹h(huán)，即實(shí)現(xiàn)由航班—機(jī)組人員匹配向航班環(huán)—機(jī)組人員匹配的轉(zhuǎn)變，將問題的決策單元確定為航班環(huán)和機(jī)組的匹配，以降低問題的基本決策單元維度，縮減決策空間。研究可分為兩個(gè)階段：第一階段為航班環(huán)構(gòu)建階段，該階段以獲得可行的航班環(huán)集合為目標(biāo)，將一個(gè)可行航班計(jì)劃的生成過程轉(zhuǎn)化為滿足要求的航班環(huán)的搜索過程；第二階段為航班環(huán)—機(jī)組人員匹配階段，該階段的目標(biāo)為將現(xiàn)有駐地的飛行員與可行航班環(huán)相匹配，使得當(dāng)日計(jì)劃航班完成率最高。

1 問題描述與假設(shè)

1.1 問題描述

航空公司排班問題即對(duì)機(jī)組人員進(jìn)行航班環(huán)的指派問題，需要在滿足民航規(guī)章、公司運(yùn)行規(guī)范的前提下，為機(jī)組指派到合適的航班環(huán)，并盡可能少地取消航班及盡量減少置位的次數(shù)。由于航空公司實(shí)際運(yùn)營(yíng)管理十分復(fù)雜，本研究規(guī)定問題中機(jī)長(zhǎng)和副駕的資質(zhì)均滿足航班對(duì)機(jī)長(zhǎng)和副駕駛要求、飛機(jī)型號(hào)均滿足航班需求，且已明確航班、機(jī)組機(jī)長(zhǎng)、副駕駛數(shù)量。

1.2 問題假設(shè)

（1）每個(gè)機(jī)組人員有一個(gè)固定駐地，以所在地機(jī)場(chǎng)表示；

（2）機(jī)組人員還可以執(zhí)行置位任務(wù)，置位任務(wù)是指機(jī)組人員乘坐正常航班從一個(gè)機(jī)場(chǎng)擺渡到另一機(jī)場(chǎng)去執(zhí)行飛行任務(wù)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

主要集合、參數(shù)和變量定義如表1所示。欲建立航班環(huán)模型，將原問題簡(jiǎn)化為航班環(huán)p與機(jī)組人員k的匹配問題，簡(jiǎn)稱問題Q。問題Q的具體定義為：需要將滿足配置的機(jī)組與某天的航班環(huán)集合P中的航班環(huán)p匹配。其中航班環(huán)p由多個(gè)航班（f1，f2，…，fn）組成，每段航班為一段接續(xù)鏈條，機(jī)組配置由一名機(jī)長(zhǎng)i和一名副駕駛j組成。本文用a表示有滿足配置的機(jī)組和航班環(huán)匹配，其定義式如式（1）所示。用決策變量xa表示a是否啟用，啟用取1，否則取0。

表1 集合、參數(shù)和變量定義

其中，目標(biāo)函數(shù)需依編號(hào)次序滿足：（1）盡可能多的航班滿足機(jī)組配置；（2）盡可能少的總體置位次數(shù)。由此可知，兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)具有不一樣的優(yōu)先級(jí)，且第一優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)是使盡可能多的航班滿足機(jī)組配置。

首先針對(duì)目標(biāo)（1），運(yùn)用決策變量yf來(lái)控制不能起飛的航班，若不能起飛為1，否則取0，可用式（2）表示最小化不能起飛的航班數(shù)

其次針對(duì)目標(biāo)（2），要求盡可能少的機(jī)組置位次數(shù)，因此對(duì)所有匹配a的置位航班進(jìn)行求和，為此定義了Fa即匹配a中的航班f集合，則總置位次數(shù)最小化表達(dá)如式（3）所示

考慮到?f∈Fa，均有恒定的xa，且da fnf為常數(shù)。因此，式（2）可寫為

由于問題Q為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題，結(jié)合大M法理念［18］，為兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)添加加權(quán)系數(shù)m1＞＞m2，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題。因此問題P表達(dá)如式（5）所示

2.2 約束條件

機(jī)組排班問題主要分為空間與時(shí)間的銜接約束和航班與機(jī)組的屬性約束。

2.2.1 航班任務(wù)未完成的松弛約束

因機(jī)組排班的核心任務(wù)是完成每個(gè)航班任務(wù)，應(yīng)有約束如式（6）所示

但由于式（6）引入判斷是否滿足機(jī)組配置的yf，式（6）可以被松弛為式（7），同時(shí)與目標(biāo)函數(shù)式（5）中第一項(xiàng)協(xié)同控制，使得不能起飛的航班數(shù)最小化。

2.2.2 航班空間銜接約束

對(duì)于兩段連續(xù)的航班f，將前段到達(dá)航班索引定義為h，后段離港航班索引定義為l。此外，定義前段航班到達(dá)機(jī)場(chǎng)時(shí)間為，后段離港航班出發(fā)時(shí)間為。由于航班的空間連貫關(guān)系，前段航班到達(dá)機(jī)場(chǎng)時(shí)間必須為后段航班離港時(shí)間。因此航班的空間銜接約束定義如式（8）所示

2.2.3 航班始發(fā)與終點(diǎn)空間約束

由于每個(gè)機(jī)組人員需從初始駐地出發(fā)并最終回到初始駐地，因此，在航班環(huán)建模中，針對(duì)所有從駐地始發(fā)的航班，都需與本文構(gòu)造的虛擬起點(diǎn)相連接；同樣的，針對(duì)所有終點(diǎn)到達(dá)駐地的航班，都需與本文構(gòu)造的虛擬終點(diǎn)相連接。此外，針對(duì)機(jī)組人員的虛擬起點(diǎn)與終點(diǎn)必須是同一個(gè)機(jī)場(chǎng)。

定義一條航班環(huán)中最早的航班為f_min，最晚的航班為f_max。因此，該類約束表達(dá)如式（9）所示

2.2.4 最小過站時(shí)間約束和最長(zhǎng)過站時(shí)間約束

由于民航局對(duì)最小過站時(shí)間有所規(guī)定，在此定義該最小過站時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)為50 min）。此外，為避免飛機(jī)過站時(shí)間過長(zhǎng)造成資源浪費(fèi)，定義最長(zhǎng)過站時(shí)間=100 min）。定義前段航班的到達(dá)時(shí)間為，后段航班的離港時(shí)間為。因此，航班最小過站時(shí)間約束和最長(zhǎng)過站時(shí)間約束如式（10）和式（11）所示

2.2.5 航班—機(jī)組人員對(duì)應(yīng)唯一性約束

由于置位情況的存在，為確保航班和機(jī)組唯一確定，定義航班f在航班環(huán)集P中出現(xiàn)次數(shù)為δf，則航班f的執(zhí)飛次數(shù)用置位次數(shù)表達(dá)，如式（12）所示

因此有唯一性約束表達(dá)如式（13）所示

2.2.6 值勤時(shí)間約束

為保證航班的飛行安全，設(shè)置最大飛行值勤小時(shí)數(shù)為h值勤，飛行時(shí)間為h飛行，因此需引入約束如式（14）、（15）所示

2.2.7 航班約束

因最大航班受值勤小時(shí)數(shù)h值勤約束，因此需引入約束如式（16）所示

2.3 模型約簡(jiǎn)

綜上所述，可以將原問題Q的模型總結(jié)如式（17）所示

由于問題Q仍然是組合爆炸問題，因此，定義兩類機(jī)組人員的上限分別為εI、εII，每一個(gè)匹配a中兩類機(jī)組人員出現(xiàn)的個(gè)數(shù)分別為φI、φII，因此需引入新約束如式（18）、（19）所示

3 算例分析

3.1 算例設(shè)置

本文研究的是某民營(yíng)航空分公司機(jī)組某日的排班問題，其測(cè)試算例航班如表2所示。在本算例中，共有飛行機(jī)組人員24人，其中12人為機(jī)長(zhǎng)資質(zhì)，12人為副駕駛資質(zhì)。飛行機(jī)組駐地為A、B兩地和C、D、E 3個(gè)過站機(jī)場(chǎng)。其中A駐地共有機(jī)組人員12人，其中6人為機(jī)長(zhǎng)資質(zhì)，6人為副駕駛資質(zhì)。B駐地共有飛行機(jī)組人員12人，其中6人為機(jī)長(zhǎng)資質(zhì)，6人為副駕駛資質(zhì)。根據(jù)CCAR121手冊(cè)查詢出h值勤max=14 h，h飛行max=9 h，根據(jù)h值勤max可得pmax=4。

表2 測(cè)試算例航班

首先，為獲取航班環(huán)集合P，將提供的航班信息轉(zhuǎn)換成一個(gè)有向圖，如圖1所示，其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表不同的航班，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含有航班的起止機(jī)場(chǎng)與時(shí)間信息。每根連接線都代表節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間的合法連接，需要滿足包括時(shí)間、地點(diǎn)等的約束。如圖1所示，3個(gè)航班樹相互連接，形成了一個(gè)航班網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。航班1的可合法連接航班包括1-2、1-3、1-4以及1-5，航班2的合法連接包括2-3、2-4及2-5；航班5則能夠與航班6及航班3合法連接。通過搜索可從航班1的航班樹連接航班5的航班樹，從而派生出1-5-6和1-5-3兩個(gè)合法的任務(wù)環(huán)。其余航班樹同理。

圖1 深度優(yōu)先搜索算法網(wǎng)絡(luò)

其次，必須構(gòu)建一個(gè)啟發(fā)式函數(shù)，以評(píng)估航班環(huán)的品質(zhì)。該啟發(fā)式函數(shù)涵蓋以下考慮因素：最大值勤時(shí)間h值勤max、航班環(huán)P所包含的城市數(shù)Cp以及航班環(huán)P所包含的航班數(shù)Np。選定一個(gè)起始城市作為出發(fā)點(diǎn)。從起始城市出發(fā)，深度優(yōu)先搜索所有可能的航班路徑DFS，通過遞歸方式，針對(duì)每個(gè)可能的下一個(gè)航班進(jìn)行以下步驟：

（1）若滿足啟發(fā)式函數(shù)的品質(zhì)要求，則將當(dāng)前航班加入航班環(huán)中；

（2）遞歸嘗試下一個(gè)城市，持續(xù)搜索可能的航班。

每當(dāng)形成一個(gè)航班環(huán)（至少包含起始城市），將其儲(chǔ)存為一個(gè)可行解，并納入航班環(huán)集合P之中。若無(wú)法找到適宜的下一個(gè)航班，或已經(jīng)構(gòu)建出航班環(huán)，將回溯至前一個(gè)城市，繼續(xù)搜索其他路徑。在搜索過程中，采用不同的起始城市，通過多輪迭代以找出更多的航班環(huán)。搜索完成后，輸出所獲得的航班環(huán)集合P。

利用匿名指派法，將NP難問題進(jìn)行降維處理，根據(jù)資質(zhì)要求和駐地對(duì)φI、φII、φIII名飛行機(jī)組成員區(qū)分為nc個(gè)機(jī)組。最后由于約束條件式（16）限制，其nc個(gè)機(jī)組最多可完成pmaxnc個(gè)航班，若不采用pmax航班環(huán)，其最多完成(pmax-1)nc個(gè)航班，因此若選用pmax航班環(huán)為起始點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值大于(pmax-1)nc，則不討論選用pmax-1航班環(huán)為起始點(diǎn)的可行解。

本文選用pmax個(gè)航班的航班環(huán)為起始航班環(huán)，通過貪心算法進(jìn)行機(jī)組排班。貪心算法本質(zhì)上是一種啟發(fā)式方法，它通過局部最優(yōu)選擇來(lái)構(gòu)建解決方案。本文通過建立STn篩選算法完成模型求解，其算法流程圖如圖2所示。

圖2 STn篩選算法流程圖

STn篩選算法應(yīng)用如下：創(chuàng)建一個(gè)空集合來(lái)存儲(chǔ)已選擇的航班環(huán)，開始時(shí)為空。對(duì)于每個(gè)航班環(huán)，計(jì)算它是否與已選航班有交集。從尚未選擇的航班環(huán)中選擇無(wú)交集的最大航班數(shù)的航班環(huán)，并將其添加到已選擇航班環(huán)中，形成新的集合。以此類推直至選擇12個(gè)航班環(huán)或沒有更多航班環(huán)可供選擇為止。

3.2 計(jì)算結(jié)果

由表3機(jī)組排班結(jié)果可知，該航班有3個(gè)航班未完成，其序號(hào)為5、24、34，是由飛行時(shí)長(zhǎng)、空間和時(shí)間約束限制造成的，因此可以在做航班計(jì)劃時(shí)去掉這3個(gè)航班，滿足機(jī)組配置航班百分比為92.86%。飛行小時(shí)數(shù)總計(jì)79.08 h，飛行小時(shí)數(shù)利用率為73.22%，總飛行值勤時(shí)長(zhǎng)為107.75 h，飛行值勤時(shí)長(zhǎng)利用率為64.14%，該算例共置位一組機(jī)組從駐地A搭乘2號(hào)航班飛往駐地B完成27-20的飛行計(jì)劃。由結(jié)果可知該排班結(jié)果留有一定余度，但相對(duì)于機(jī)組每月總飛行時(shí)長(zhǎng)100 h略偏高，因此該算法更適用于航空旺季，可以合理安排機(jī)組人員使航空公司利用最大化。由于飛行機(jī)組人數(shù)不同，會(huì)引起最終航班完成程度的差異，因此進(jìn)行靈敏度分析，以該航班計(jì)劃表為例找到最優(yōu)飛行機(jī)組人數(shù)配比。

表3 貪心算法機(jī)組排班結(jié)果

3.3 實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了驗(yàn)證文中算法的可靠性和高效性，本文將遺傳算法與貪心算法進(jìn)行比較，利用遺傳算法的機(jī)組排班結(jié)果如表4所示，兩種算法比較結(jié)果如表5所示?？梢悦黠@看出，在迭代次數(shù)一定的情況下，由于貪心算法易于實(shí)現(xiàn)并且算法高效，使得它在問題規(guī)模相對(duì)較小、計(jì)算資源有限的情況下，能夠快速地找到一個(gè)可行的排班方案。并且由于貪心算法逐步地選擇最優(yōu)的步驟，因此可以在實(shí)時(shí)環(huán)境中快速地生成排班。這對(duì)于需要頻繁更新排班的場(chǎng)景，如應(yīng)對(duì)突發(fā)事件或變動(dòng)具有優(yōu)勢(shì)。由于機(jī)組排班問題可能沒有太多的約束條件或變數(shù)，使得遺傳算法在迭代次數(shù)有限的情況下，計(jì)算結(jié)果反而沒有貪心算法精確。

表4 遺傳算法機(jī)組排班結(jié)果

表5 兩種算法計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.4 靈敏度分析

靈敏度分析是研究一個(gè)模型輸出項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)敏感程度的方法，在建模中經(jīng)常利用靈敏度分析來(lái)研究原始數(shù)據(jù)發(fā)生變化時(shí)最優(yōu)解的穩(wěn)定性。此外，靈敏度分析還可以度量參數(shù)對(duì)模型的影響水平。在一次執(zhí)飛任務(wù)中，航班必須由飛行機(jī)組人員操作；換言之，機(jī)組人員數(shù)量是制約實(shí)飛航班數(shù)量的關(guān)鍵約束之一。本文選取機(jī)組人員數(shù)量作為靈敏度分析指標(biāo)，對(duì)機(jī)組排班優(yōu)化模型進(jìn)行靈敏度分析。由于本算例中機(jī)長(zhǎng)、副駕駛比例為1：1，可以最大限度提高機(jī)組作業(yè)效率，因此，在靈敏度分析實(shí)驗(yàn)中，機(jī)長(zhǎng)、副駕駛各占總?cè)藛T的50%。

結(jié)合算例情景，使機(jī)組人員總數(shù)量在［0，36］區(qū)間內(nèi)等步長(zhǎng)增加，循環(huán)調(diào)用Groubi對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化求解，輸出未滿足及滿足配置的航班數(shù)量（實(shí)飛班次數(shù)量）如表6所示。對(duì)靈敏度分析結(jié)果進(jìn)行可視化，如圖3所示。隨著機(jī)組人員總數(shù)量的增加，滿足機(jī)組配置的航班數(shù)量由0提升至41，未滿足機(jī)組配置的航班數(shù)量自42開始逐漸減少至1，之后不再變動(dòng)，滿足配置的航班數(shù)量增加呈現(xiàn)邊際效應(yīng)遞減。在圖3中標(biāo)記（1）、（2）兩處區(qū)域，滿足機(jī)組配置的航班數(shù)增長(zhǎng)曲線斜率出現(xiàn)了明顯的變化。據(jù)此可將機(jī)組人員數(shù)量增加對(duì)航班數(shù)的影響過程劃分為4個(gè)階段：

圖3 機(jī)組排班任務(wù)靈敏度分析可視化

表6 機(jī)組排班任務(wù)靈敏度計(jì)算結(jié)果

第一階段：機(jī)組人員數(shù)量從0增加到8，該階段航路基本閑置，機(jī)組人員數(shù)量是制約實(shí)飛航班數(shù)的主要因素，隨著機(jī)組人員數(shù)量的增加，實(shí)飛航班數(shù)快速增長(zhǎng)；

第二階段：機(jī)組人員數(shù)量從8增加到20，該階段部分航路開始出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)，但是由于機(jī)組人員基數(shù)較少，實(shí)飛航班數(shù)隨機(jī)組人員數(shù)量增加仍有顯著提升；

第三階段：機(jī)組人員數(shù)量從20增加至28，此時(shí)航路數(shù)量開始出現(xiàn)較多競(jìng)爭(zhēng)，實(shí)飛航班數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)明顯放緩；

第四階段：機(jī)組人員數(shù)量自28開始繼續(xù)增加。此時(shí)，航路數(shù)量取代機(jī)組人員數(shù)量，成為制約航班數(shù)的關(guān)鍵約束，機(jī)組開始出現(xiàn)一定比例的人員空閑，僅提升人員數(shù)量無(wú)法再提高實(shí)飛航班數(shù)量。

綜上，機(jī)組人員數(shù)量對(duì)實(shí)飛航路數(shù)量的增長(zhǎng)呈現(xiàn)邊際效應(yīng)遞減，而機(jī)組人員數(shù)量控制在20左右是兼顧成本與實(shí)飛航班數(shù)的較好方案。

4 結(jié)論

本文通過構(gòu)建航班環(huán)對(duì)飛行計(jì)劃和機(jī)組排班計(jì)劃進(jìn)行優(yōu)化處理，剔除不合理的航班，保證了航班計(jì)劃的可行性，同時(shí)還降低了因置位飛行員所帶來(lái)的額外成本。在滿足航班連續(xù)性的約束下完成了航班計(jì)劃與機(jī)組排班計(jì)劃。

（1） 針對(duì)航空公司的排班現(xiàn)狀及航班環(huán)選擇問題的復(fù)雜性和優(yōu)化結(jié)果不滿意等問題，提出基于航班環(huán)的指派思路，構(gòu)建優(yōu)化模型。

（2） 本文通過深度優(yōu)先搜索算法和貪心算法，得出局部最優(yōu)航班計(jì)劃。對(duì)于未完成的航班依照目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重大小進(jìn)行飛行員置位處理或放棄該飛行計(jì)劃處理，該值主要受加權(quán)系數(shù)m1、m2控制，可以通過當(dāng)日實(shí)際情況更改加權(quán)系數(shù)使其選擇不同的處理方法。

（3） 對(duì)于沒有航班環(huán)與機(jī)組匹配的航班，本文進(jìn)行受限主問題模型的松弛處理，將未完成航班加入受限主問題中再次進(jìn)行求解，如此迭代，直到無(wú)法尋找到可使目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的變量，得到松弛問題的最優(yōu)解。

（4） 本文進(jìn)行了靈敏度分析，評(píng)估了模型對(duì)輸入?yún)?shù)變化的響應(yīng)程度，了解模型未完成航班yf如何隨著機(jī)組總?cè)藬?shù)K的變化而變化，從而幫助決策者更好地理解系統(tǒng)的行為和性能，做出更準(zhǔn)確的決策。

本文將NP多目標(biāo)問題進(jìn)行降維并簡(jiǎn)化，驗(yàn)證了其合理性，極大地提高了飛行計(jì)劃和機(jī)組排班的效率。在飛行機(jī)組成員選擇上，利用靈敏度分析得出機(jī)組人數(shù)最佳方案，為后續(xù)制定最終飛行計(jì)劃做好基礎(chǔ)。