劉建利

（遼寧省交通高等?？茖W校， 遼寧 沈陽 110122）

1 Auto CAD 圖解法計算緩和曲線坐標概述

采用Auto CAD 圖解法計算緩和曲線坐標，首先需建立合理的直角坐標系， 并設(shè)置好距離、角度單位及顯示精度； 然后依據(jù)工程設(shè)計提供的各項要素數(shù)據(jù)， 正確繪制出道路平面曲線路線圖， 最后通過Auto CAD 的圖形屬性查詢工具，獲得施工測量所需的各項坐標數(shù)據(jù)及曲線要素數(shù)據(jù)。 由于緩和曲線是用Auto CAD 中多段較短直線擬合形成的， 為確保所繪緩和曲線各擬合點的坐標具有較高的精度， 根據(jù)緩和曲線長度和曲率半徑， 選擇合理的步長來擬合緩和曲線。

2 緩和曲線及基本計算公式

緩和曲線是在直線與圓曲線之間或兩條相同轉(zhuǎn)向的不同半徑圓曲線之間起緩和與過渡作用的曲線。 為了保證行車的安全與平順， 要求不同線型曲線連接處必須平穩(wěn)地過渡， 以緩和曲線連接直線和圓曲線為例， 在HY、 YH 點處必須滿足緩和曲線的半徑和圓曲線的半徑相等， 并且緩和曲線和圓曲線在HY、 YH 點的切線也必須重合。

目前我國公路和鐵路系統(tǒng)中， 一般多采用回旋線作為緩和曲線。 回旋線是曲率半徑隨曲線長度的增大而成反比均勻減小的曲線， 即回旋線上任一點的曲率半徑與曲線的長度的乘積為定值。以公式（1） 表示：

式中：l為回旋線上某點到回旋線起點 （r=∞） 的曲線長；R為緩和曲線某點的曲率半徑；A為緩和曲線參數(shù)， 表示緩和曲線曲率變化的緩急程度。

直角坐標系下的緩和曲線坐標如圖1 所示，以緩和曲線起點 （x=∞） 為坐標原點， 以緩和曲線起點（x=∞） 切線方向為X 軸方向， 通過原點的緩和曲線半徑方向為Y 軸方向， 緩和曲線直角坐標公式實際上是無窮級數(shù)的展開式， 其中A越小， 緩和曲線l越長， 要求取位就越多。 實際工程中X 坐標一般取前四項， Y 坐標取前三項即能滿足精度要求。

圖1 緩和曲線直角坐標

式中：x為緩和曲線橫坐標；y為緩和曲線縱坐標。

緩和曲線上任意一點P的切線與X軸的夾角β 稱為該點的切線角， 該角值與P點至緩和曲線起點ZH （HZ） 的曲線長所對的中心角相等。

式中： β 為緩和曲線切線角。

3 緩和曲線圖解法計算坐標實例

如圖2 所示已知某道路曲線第一切線上控制點ZD1 （x=4637516.318， y=542398.463） 和JD1（x=4637998.246， y=542001.178）， 該曲線設(shè)計半徑R=1200m， 緩和曲線長L=110m， JD1 里程為K1+500， 轉(zhuǎn)向角=30°32′18″。 計算出道路曲線主點ZH、 HY、 QZ、 YH、 HZ 點坐標， 及第一緩和曲線和圓曲線上的中樁點 （K1+220、 K1+250）坐標。

圖2 緩和曲線線路圖

3.1 利用Excel 計算出緩和曲線直角坐標

Excel 中單元格的引用分為絕對引用、 相對引用， 絕對引用和相對引用的區(qū)別在于拖動單元格復制公式時處理的數(shù)據(jù)是原來的數(shù)據(jù)還是新的數(shù)據(jù)， 在默認狀態(tài)下， Excel 進行數(shù)據(jù)處理時都是相對引用， 相對引用公式中的每個相對引用單元格在公式被沿列或跨行復制時都自動改變； 要采用絕對引用需在單元格前面加 “＄”， 絕對引用公式中的每個相對引用單元格在公式被沿列或跨行復制時都不會改變。

由于Auto CAD 中沒有緩和曲線的繪制工具，一般可以采用直線擬合出緩和曲線， 這樣首先需要選擇合適的步長， 然后分段計算出緩和曲線的直角坐標。 計算緩和曲線坐標可以利用Excel 的公式復制功能， 在Excel 中首行輸入緩和曲線直角坐標計算公式， 在設(shè)置好單元格的相對引用或絕對引用后， 再用鼠標向下拖拽單元格即可計算出其他行坐標。 如下表1 所示： 緩和曲線步長為4 米， 分段計算出緩和曲線的直角坐標， 為了驗證直線擬合緩和曲線的精度， 需要計算出每段直線的長度之和， 再同緩和曲線的設(shè)計長度進行比較。 通過Excel 計算出的所有直線段長度和為109.999984 米， 緩和曲線的設(shè)計長度為110 米，兩者差值僅為0.016 毫米， 可以滿足工程的精度要求。

表1 緩和曲線直角坐標計算

表2 緩和曲線成果表

直線擬合總長度滿足要求后， 還需要計算出緩和曲線點的最大擬合偏差， 由于采用了直線擬合緩和曲線， 曲率半徑越小， 則曲線與直線的偏差就越大， 緩和曲線的曲率半徑隨著曲線的長度增大， 而越來越小， 所以可以采用本緩和曲線的最小處的曲率半徑來進行計算。 如下圖3 所示計算出D 的距離， D=1.67 毫米。 直線擬合最大偏差為1.67 毫米， 一般可以滿足工程精度要求。

圖3 直線擬合曲線精度分析圖

3.2 建立測量坐標系與繪制擬合的緩和曲線

Auto CAD 中包括兩種坐標系統(tǒng)， 世界坐標系和用戶坐標系。 世界坐標系是Auto CAD 默認的坐標系中， 水平向右為X 軸正方向， 豎直向上是Y 軸正方向， 垂直屏幕指向用戶方向為Z 軸正方向。 用戶坐標系可以自定義原點的位置和X、Y 軸的指向， 本文定義的用戶坐標系如圖4 所示。

圖4 建立緩和曲線直角坐標系

如圖4 所示首先在Auto CAD 中給制出ZD1和JD1 兩個點， 繪制時需注意先輸入橫坐標 （Y坐標）、 后輸入縱坐標 （X 坐標）， 然后將此兩點連接成一條直線。

為了實現(xiàn)測量Auto CAD 坐標系與緩和曲線坐標系的一致性， 需要利用Auto CAD 中的自定義坐標系功能定義新的用戶坐標系。 自定義用戶坐標系建立要求如圖4 所示： ZD1 為坐標原點；切線方為X 軸正方向， X 軸順時針旋轉(zhuǎn)90°為Y軸正方向。 坐標系定義完之后， 可以把如表1 所示的緩和曲線直角坐標復制粘貼到記事本上， 格式為： “X 坐標” “逗號” “Y 坐標”， 然后執(zhí)行Auto CAD 中的 “多段線” 命令， 在命令窗口粘貼上所有的緩和曲線直角坐標， 如圖5 所示即可繪制出擬合的緩和曲線。

圖5 繪制緩和曲線

3.3 繪制圓曲線圓心與輔助線

緩和曲線繪制完成后， 需繪制出HY 點的切線， 首先根據(jù)公式4 計算出HY 點的切線角（2°37′33.8″）， 利用旋轉(zhuǎn)和平移工具， 繪出過HY的切線。 切線完成繪制后， 需繪制出圓曲線， 其步驟如下：

（1） 在HY 點處繪制出同切線的相垂直的直線

（2） 沿垂線方向量取距離1200 米， 繪制出圓心O 點

（3） 可通過 “圓心、 起點、 角度” 工具， 繪制出如圖6 所示的圓曲線， 圓曲線可以繪制的較長一些， 即圓心角可以取值大一些

圖6 繪制圓曲線

圓曲線繪制完成后， 需繪制出切線方向的角平分線， 如圖7 所示過JD1 繪制出兩條切線的角平分線， 然后過O 點繪制出第一切線 （ZD1—JD1） 的平行線， 與角平分線 （JD1—P 方向） 相交于P 點。

圖7 繪制輔助線

3.4 平移曲線

依據(jù)道路曲線特性可知， 如圖8 所示圓曲線的圓心點一定在切線角的角平分線上（JD1—P 方向）， 所以需沿切線方向移動曲線， 這時只要圓曲線圓心在角平分線上即可， 然后繪制出完整的曲線， 其步驟如下：

圖8 平移曲線

（1） 利用平移工具將曲線進行平移， 平移時基點選擇O 點， 移動點拾取p 點即可。

（2） 然后利用修剪工具進行修剪， （保留ZH—HY—QZ 曲線部分）， 其余部分刪除。

（3） 最后用鏡像工具繪制出YH—HZ 部分。最終的緩和曲線如圖9 所示。

圖9 鏡像曲線

3.5 驗證平移曲線的正確性與坐標查詢

在圖解完成緩和曲線后， 需驗證下曲線的正確性與精度， 一般可以先在圖面上查詢出曲線長（749.593）、 切線長 （382.700）、 外距 （44.346）等曲線要素， 然后再依據(jù)相關(guān)計算公式計算出這些要素， 進行比較， 一般小于1 毫米即可。

在完成上述工作后， 需要將Auto CAD 的坐標系統(tǒng)恢復成默認的坐標系統(tǒng)， 即世界坐標系，然后通過查詢工具可以查詢出5 個主點 （ZH、HY、 QZ、 YH、 HZ） 坐標， 注意查詢出的橫坐標是Y 坐標， 縱坐標是X 坐標， 即是將Auto CAD 直接查詢出的X、 Y 坐標需要相互調(diào)換下。

查詢K1+220 及K1＋250 坐標方法如下：

（1） 將圓曲線及緩和曲線通過多段線連接工具將其連接成一條整體的多段線（ZHUKOV）

（2） 根據(jù)JD1 的里程 （K1+500） 和切線長（382.700）， 計算出ZH 點里程（K1+ 117.300）

（3） 計算出K1＋220、 K1＋250 到ZH 點的曲線長度

（4） 通過Auto CAD 定距等分繪點， 輸入距離（K1＋220、 K1＋250 到ZH 的曲線長度），

鼠標拾取曲線的靠近ZH 點附近， 繪制出最近的點即為K1＋220 （K1＋250）。

（5） 通過查詢工具查詢點的坐標。

4 結(jié)束語

Auto CAD 圖解法可以應用于工程中的坐標計算工作， 根據(jù)給定的坐標、 角度、 距離、 線切、 垂直等幾何關(guān)系繪制出工程圖， 然后可以直觀地看出各個測量點的關(guān)系與實際是否相符， 在具體操作過程中， 要注意正確使用Auto CAD 精確捕捉的功能， 否則查詢的坐標會有誤差， 同時需要注意Auto CAD 坐標系和測量坐標系的定義不同， 需要將測量坐標系中的橫、 縱坐標互換（或定義用戶坐標系） 后再進行圖解計算， 否則圖解出的圖形， 同實際圖形之間的相對位置關(guān)系將不正確， 從而容易導致判斷錯誤。