毛北行,王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院,鄭州 450046)

1 引言與預備知識

目前混沌研究已取得較多的結果[1-5],由于大多數(shù)實際系統(tǒng)均需用分數(shù)階微分描述,且分數(shù)階系統(tǒng)大量存在于工程實際中,因此隨著分數(shù)階微積分的引入,分數(shù)階系統(tǒng)的滑模同步控制已引起人們廣泛關注[6-8],其研究結果在生物、化學、醫(yī)療衛(wèi)生、通訊和物理等領域應用廣泛[9-12].滑模方法因其良好的魯棒性能,被迅速引入到混沌系統(tǒng)同步控制中[13-14],并在氣象學和天氣預測中應用廣泛.如文獻[15]研究了大氣混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)仿真及動力學行為;文獻[16]研究了分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步;文獻[17]研究了分數(shù)階不確定大氣系統(tǒng)的自適應滑模同步,但設計的滑模面及控制量形式較復雜且不易實現(xiàn).基于此,本文設計4種形式簡單的滑模面及控制輸入,得到分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)滑模同步的4個充分條件.

定義1[18-19]Caputo分數(shù)階微分定義為

分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)[16-17]可描述為

(1)

當α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26,q=0.947時,系統(tǒng)(1)的吸引子和混沌吸引子分別如圖1和圖2所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的吸引子Fig.1 Attractors of system (1)

圖2 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system (1)

定義從系統(tǒng)為

(2)

主從系統(tǒng)的同步誤差為

e1=x1-x,

e2=y1-y,

e3=z1-z,

e4=w1-w,

則有

(3)

2 主要結果

定理1構造滑模面s(t)=e3+e1,控制量u1=-βe1-α(e2-e1)-γe4,u2=xy-x1y1,則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)滑模同步.

證明: 當在滑模面上運動時,滿足s=0,即有e3=-e1.代入式(3)第3個方程可得e3→0,從而e1→0,代入式(3)第2個方程可得

xz-x1z1=(xz-x1z)+(x1z-x1z1)=-xe3-ze1→0,

從而得s(t)→0.

定理2構造滑模面s(t)=e4-e1,控制量u1=-(γ+1)e1-αe4-α(e2-e1),u2=xy-x1y1,則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)滑模同步.

xz-x1z1=-xe3-ze1→0,

從而得s(t)→0.

以式(1)為主系統(tǒng),設計從系統(tǒng)為

(4)

其中Δfi(y)為不確定項,y(t)=(x1,y1,z1,w1)T,di(t)為系統(tǒng)外部擾動,ui(t)為控制輸入,定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=w1-w,得到誤差系統(tǒng)

(5)

假設1|Δfi(y(t))|≤mi,|di(t)|≤ni(i=1,2),其中mi,ni>0為未知參數(shù).

假設2|Δf2(y)+d2(t)|≤β|e3|.

定理3在假設1和假設2成立下,構造滑模面s(t)=e3+e1,控制量

若|s|>1,構造自適應律

(6)

若0≤|s|≤1,構造自適應律

(7)

證明: 當在滑模面上運動時,滿足s=0,即有e3=-e1,代入式(5)第3個方程可得

由假設2可得e3→0,即e1→0.代入式(5)第2個方程可得

xz-x1z1=(xz-x1z)+(x1z-x1z1)=-xe3-ze1→0,

當不在滑模面上運動時,若|s|>1,其自適應律為式(6),構造

求分數(shù)階導數(shù)可得

由引理2可得s(t)→0.

若0≤|s|≤1,其自適應律為式(7),構造

求分數(shù)階導數(shù)可得

由引理2可得s(t)→0.

定理4在假設1和假設2成立下,構造滑模面s(t)=e4-e1,控制量

若|s|>1,構造自適應律

(8)

若0≤|s|≤1,構造自適應律

(9)

由引理2可得s(t)→0.

由引理2可得s(t)→0.

3 數(shù)值仿真

定理1～定理4的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖3～圖6所示.由圖3～圖6可見,初始時的曲線誤差較大,但系統(tǒng)誤差最終趨近原點.定理1～定理4的控制量曲線分別如圖7～圖10所示,4個定理中均只需設計2個控制器,而一般的滑模方法均需設計4個控制器.由圖7～圖10可見,控制量隨系統(tǒng)誤差趨近于零而逐漸穩(wěn)定在坐標原點附近,表明大氣混沌系統(tǒng)的驅動響應系統(tǒng)取得了滑模同步.在定理3和定理4中,針對滑模函數(shù)不同取值設計了不同的滑模自適應律,若不分區(qū)間設計滑模自適應律,則在仿真部分無法避免符號函數(shù)導致的抖振現(xiàn)象,分區(qū)間設計可較好避免這種現(xiàn)象,該問題的解決對了解和掌握大氣混沌運動規(guī)律及天氣氣象預報與海洋漁業(yè)捕撈均將發(fā)揮重要作用.

圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves of theorem 1

圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線Fig.4 Systematic error curves of theorem 2

圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線Fig.5 Systematic error curves of theorem 3

圖6 定理4的系統(tǒng)誤差曲線Fig.6 Systematic error curves of theorem 4

圖7 定理1的控制量曲線Fig.7 Control quantity curves of theorem 1

圖8 定理2的控制量曲線Fig.8 Control quantity curves of theorem 2

圖9 定理3的控制量曲線Fig.9 Control quantity curves of theorem 3

圖10 定理4的控制量曲線Fig.10 Control quantity curves of theorem 4

綜上,本文研究了分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的滑模同步,通過引入分數(shù)階微積分將受控系統(tǒng)建模為分數(shù)階微分方程得到大氣混沌系統(tǒng)取得滑模同步的4個充分條件,并通過MATLAB仿真程序對結論進行驗證,結果表明,分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)在一定條件下主從系統(tǒng)可取得滑模同步.