薛 海，杜 文，尹懷彥，胡李軍

(蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅，蘭州 730070)

實(shí)測的應(yīng)力-時間歷程綜合反映了結(jié)構(gòu)在實(shí)際服役條件下所受的載荷和環(huán)境信息，但由于其隨機(jī)交變性，不宜直接用于結(jié)構(gòu)的疲勞壽命評估或疲勞試驗[1-2]，需采用計數(shù)方法對應(yīng)力-時間歷程進(jìn)行應(yīng)力循環(huán)統(tǒng)計處理，編制能真實(shí)反映應(yīng)力信息的應(yīng)力譜，獲得各級應(yīng)力大小與其出現(xiàn)次數(shù)的關(guān)系[3-4]。

分級是應(yīng)力譜編制中需要解決的關(guān)鍵問題之一，若級數(shù)過少，過大的應(yīng)力區(qū)間改變了應(yīng)力循環(huán)特征，導(dǎo)致分組后每個新的應(yīng)力循環(huán)產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)疲勞損傷與實(shí)際結(jié)果產(chǎn)生的疲勞損傷存在差異；級數(shù)過多，一方面不宜應(yīng)力譜的工程化應(yīng)用，另一方面在中高應(yīng)力區(qū)出現(xiàn)次數(shù)為零的應(yīng)力級使得總體統(tǒng)計特性較差。傳統(tǒng)方法是基于樣本直方圖進(jìn)行分級，如Moore 公式、Sturges 公式、Doane公式等，僅僅是從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行考慮，忽略了應(yīng)力作用于結(jié)構(gòu)所造成的疲勞損傷，缺失工程邊界條件的考慮。目前在工程應(yīng)用中，國內(nèi)外的分級方法主要基于等間隔和非等間隔兩種方法開展研究和應(yīng)用。在等間隔分級方面，高延杰等[5]根據(jù)載荷-時間歷程采用雨流計數(shù)法得到所有的載荷循環(huán)，并對每個循環(huán)的均值和幅值進(jìn)行統(tǒng)計分析，編制了等間隔16 級載荷譜；ZHANG 等[6]通過統(tǒng)計應(yīng)力幅值和均值的分布特性，建立了幅值等間隔的8 級譜；孫晶晶等[7]基于提速客車轉(zhuǎn)向架構(gòu)架實(shí)測載荷-時間歷程，應(yīng)用雨流計數(shù)法編制構(gòu)架等間隔8 級載荷譜。非等間隔分級中，劉永臣等[8]通過雨流計數(shù)獲得輪式裝載機(jī)載荷的均值頻次和幅值頻次分別服從正態(tài)分布和威布爾分布的擬合數(shù)學(xué)模型，編制了非等間隔8 級載荷譜；PRATUMNOPHARAT等[9]采用短時傅里葉變換和小波變換的方法，根據(jù)分解信號的累積功率譜密度提取造成結(jié)構(gòu)疲勞損傷貢獻(xiàn)大的部分，在此基礎(chǔ)上編制了非等間隔8 級載荷譜；高云飛等[10]基于雨流計數(shù)法，通過假設(shè)檢驗確定應(yīng)力分布數(shù)學(xué)模型，編制了非等間隔8 級齒輪程序應(yīng)力譜。但上述等間隔方法未考慮編譜前后造成的損傷誤差，且級數(shù)的確定科學(xué)依據(jù)性欠佳，而非等間隔分級均采用固定比例系數(shù)編譜，得到的疲勞損傷與實(shí)際差異較大，且在編譜中分級數(shù)沒有明確的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。同時，載荷譜編制中也有機(jī)器學(xué)習(xí)算法應(yīng)用，但機(jī)器學(xué)習(xí)算法主要用在載荷樣本數(shù)據(jù)較小、不能全面反映結(jié)構(gòu)受載特性的情況下進(jìn)行載荷譜的外推或預(yù)測，如楊博文等[11]和霍軍周等[12]通過采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，建立載荷譜預(yù)測模型，有效模擬了實(shí)測或仿真過程中未表征的載荷信號，提高了載荷譜的精度。

針對上述存在的問題，本文根據(jù)實(shí)測的應(yīng)力-時間歷程建立疲勞損傷與應(yīng)力譜分級數(shù)的數(shù)學(xué)模型，以損傷相對誤差和分級準(zhǔn)確率為分級依據(jù)，采用聚類分析和支持向量機(jī)進(jìn)行應(yīng)力譜編制，并與目前常用的等間隔和非等間隔應(yīng)力譜編制方法所造成的疲勞損傷進(jìn)行比較，驗證該方法編制應(yīng)力譜的可行性。

1 基于疲勞損傷的分級模型

應(yīng)力譜主要用于承載結(jié)構(gòu)的疲勞損傷分析，為此，在應(yīng)力譜的編制過程中，分級數(shù)的確定要盡可能體現(xiàn)應(yīng)力循環(huán)所造成的疲勞效應(yīng)，使編制的應(yīng)力譜在便于應(yīng)用的情況下盡可能降低與實(shí)際疲勞損傷的誤差。

由于以雙參數(shù)為基礎(chǔ)的雨流計數(shù)法是基于材料的應(yīng)力-應(yīng)變遲滯回線進(jìn)行應(yīng)力統(tǒng)計，較好反映了材料的疲勞損傷特性[13]。為此，采用雨流計數(shù)法得到每個應(yīng)力循環(huán)的均值和幅值，根據(jù)材料的S-N曲線和線性累積損傷理論，推導(dǎo)得到每個應(yīng)力循環(huán)所造成的損傷Di為：

式中： σi為每個循環(huán)的等效應(yīng)力；ni為 σi對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；m、c為材料相關(guān)參數(shù)。

為了根據(jù)有限的級數(shù)盡可能準(zhǔn)確地反映應(yīng)力分布特性，且減小所編制應(yīng)力譜造成的疲勞損傷與實(shí)際損傷差異，建立疲勞損傷和應(yīng)力譜分級數(shù)的數(shù)學(xué)模型。對比不同分級數(shù)編制的應(yīng)力譜所造成的損傷與實(shí)際損傷，選取最接近實(shí)際損傷的分級數(shù)可有效降低因應(yīng)力譜分級數(shù)選取不合理導(dǎo)致的誤差。目前非等間隔應(yīng)力譜分級方法采用8 級進(jìn)行描述，其各級應(yīng)力按最大應(yīng)力σmax的1 倍、0.95 倍、0.85 倍、0.725 倍、0.575 倍、0.425 倍、0.275 倍、0.125 倍進(jìn)行階梯劃分[14-15]，但在實(shí)際分級中，8 級不一定為最佳分級數(shù)，故為了更準(zhǔn)確對實(shí)測應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行非等間隔分級，引入各級應(yīng)力自適應(yīng)比值系數(shù) βj進(jìn)行各級等效應(yīng)力 σej的確定。

若對雨流計數(shù)得到的每個應(yīng)力循環(huán)不進(jìn)行分級處理，則保留了每個應(yīng)力循環(huán)的特征，能真實(shí)反映實(shí)際應(yīng)力所造成的損傷。為此，根據(jù)每個應(yīng)力循環(huán)所造成的損傷Di表達(dá)式(1)和各級應(yīng)力與最大應(yīng)力的關(guān)系表達(dá)式(2)，推導(dǎo)得到不進(jìn)行分級的應(yīng)力循環(huán)所造成的總損傷D1和非等間隔分級造成的總損傷D2分別為：

式中：n0為應(yīng)力循環(huán)總次數(shù)；s為非等間隔分級數(shù)；nj為第j級對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。

當(dāng)實(shí)際總損傷D1和非等間隔分級造成的損傷D2相等或相對誤差較小時，說明所確定的分級數(shù)是合理的。由于應(yīng)力的分級歸類改變了應(yīng)力循環(huán)特征，所編制的應(yīng)力譜與實(shí)際應(yīng)力循環(huán)所造成的損傷存在誤差，故采用相對誤差τ進(jìn)行最佳分級數(shù)的確定。

2 應(yīng)力循環(huán)聚類分析

經(jīng)雨流計數(shù)后，每個應(yīng)力循環(huán)不同于原始應(yīng)力-時間歷程，由連續(xù)信號變?yōu)殡x散應(yīng)力循環(huán)。采用目前等間隔分級方法歸類時，由于提取的應(yīng)力循環(huán)分散性，容易出現(xiàn)次數(shù)為零的應(yīng)力級，且應(yīng)力譜編制方法缺少根據(jù)應(yīng)力本身的屬性特征進(jìn)行分級，導(dǎo)致產(chǎn)生的損傷與實(shí)際結(jié)果差異較大，與實(shí)際不符。聚類分析方法是根據(jù)樣本本身的屬性特征進(jìn)行歸類，很大程度保留了樣本原來的特性[16]。故采用聚類分析法，以每個應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力為指標(biāo)特征，對所有的應(yīng)力循環(huán)進(jìn)行聚類。

通過計算每兩個應(yīng)力循環(huán)間的距離度量其相似程度，各應(yīng)力循環(huán)間的距離為：

對于各類之間的合并，采用離差平方和法，該方法適用于多因素、多指標(biāo)的分類和特征識別，能依據(jù)每個循環(huán)等效應(yīng)力的特征進(jìn)行分類，以體現(xiàn)每個應(yīng)力循環(huán)之間的綜合差異。

若應(yīng)力譜分級數(shù)為s，將n0個應(yīng)力循環(huán)分成s類，分別記為G1,G2,···,Gs，采用Cti表示第t類Gt中的第i個應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力，nt表示該類包含的應(yīng)力循環(huán)數(shù)，表示Gt的均值，則Gt類的離差平方和St為[17]：

對于任意兩類Gα、Gβ，對應(yīng)的離差平方和分別為Sα和Sβ，合并為一類，記為Gr，則Gα與Gβ之間的平方距離為：

合并后的Gr對應(yīng)的離差平方和Sr滿足式(10)～式(12)。

通過對合并后的Gr依據(jù)式(10)～式(12)進(jìn)行推導(dǎo)，得出：

從而由式(8)得兩類間的平方距離為：

對所有類依次進(jìn)行合并，并循環(huán)計算，直至所有應(yīng)力循環(huán)合并為一類，從而得到任意一類Gξ與合并后的Gr的離差平方和距離遞推表達(dá)式為[18]：

通過上述步驟將所有應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力進(jìn)行聚類，從而實(shí)現(xiàn)所有應(yīng)力循環(huán)不同類別的歸類。在實(shí)際應(yīng)力譜編制中，分級數(shù)基本選取4 級、8 級、16 級、32 級、64 級等[19]。因此，將所有循環(huán)聚成4～64 類，得到不同分類數(shù)下各類的應(yīng)力循環(huán)數(shù)。

3 分類效果評估

由于聚類分析是無監(jiān)督分類方法，缺少明確的理論依據(jù)判斷分類結(jié)果的準(zhǔn)確性，而支持向量機(jī)在多分類判別中具有優(yōu)良的性能，相對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最鄰近等分類算法，能比較準(zhǔn)確反映不同類別的分類效果[20]。因此，采用支持向量機(jī)的多分類預(yù)測得到的分類準(zhǔn)確率評價聚類分析中不同類別下的聚類效果。

假設(shè)選定部分應(yīng)力循環(huán) {σ1,σ2,···,σn'}為訓(xùn)練集，其中類別數(shù)為yi={1,2,···,s}，共s類，通過訓(xùn)練后決策函數(shù)f(x)對剩下的應(yīng)力循環(huán)進(jìn)行分類，得到訓(xùn)練集和預(yù)測集的分類準(zhǔn)確率。

每兩個不同類別應(yīng)力循環(huán)構(gòu)成一個分類器，對于任意第i類和第j類應(yīng)力循環(huán)，其最優(yōu)分類面為[21]：

為了在任意兩類之間構(gòu)造一個分類器，求解其二次規(guī)劃問題，約束條件為：

式中：ω為行向量； φ表示輸入空間到特征空間的非線性映射； ξ為松弛變量；P是懲罰系數(shù)。

由于變換 φ的核函數(shù)為K(σi,σj)，則式(15)～式(16)的對偶問題轉(zhuǎn)化為求解目標(biāo)函數(shù)的最小值[22]：

添加其約束條件為：

采用Lagrange 乘子最優(yōu)化方法將函數(shù)f(α)在支持向量上展開，求得最優(yōu)解選取 α*中的一個分量，可得分類閾值b為：

構(gòu)造第i類和第j類應(yīng)力循環(huán)的支持向量機(jī)決策函數(shù)為：

采用高斯徑向基核函數(shù)K(σi,σj)進(jìn)行支持向量機(jī)分類，其表達(dá)式為：

式中： δ為尺度參數(shù)； α為Lagrange 乘子。

根據(jù)決策函數(shù)判別訓(xùn)練集應(yīng)力循環(huán)是屬于i類還是j類，并將屬于類別i的數(shù)據(jù)標(biāo)記為正，屬于類別j的數(shù)據(jù)標(biāo)記為負(fù)。通過該算法不斷循環(huán)對所有測試集應(yīng)力循環(huán)的等效應(yīng)力經(jīng)支持向量機(jī)投票決策，采用式(23)計算不同分類結(jié)果下的分類準(zhǔn)確率η：

式中：n1為訓(xùn)練集樣本訓(xùn)練結(jié)果與實(shí)際類別一致的樣本數(shù)量；n2為測試集樣本預(yù)測結(jié)果與實(shí)際類別一致的樣本數(shù)量；n0為總的樣本數(shù)量。

分類準(zhǔn)確率越接近100%，說明聚類效果越好，故通過分類準(zhǔn)確率大小進(jìn)行聚類效果的評價。

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 應(yīng)力譜編制

根據(jù)上述方法，對某型地鐵焊接構(gòu)架電機(jī)吊座根部實(shí)測應(yīng)力-時間歷程數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)力譜編制，取焊接構(gòu)架疲勞性能參數(shù)m值為3.5[23]。為避免頻混導(dǎo)致采樣信號的失真，根據(jù)信號采集相關(guān)理論和構(gòu)架隨車振動頻率，設(shè)置采樣頻率為2000 Hz。

由于小應(yīng)力在疲勞損傷計算時基本不產(chǎn)生損傷，故對實(shí)測信號中的小應(yīng)力進(jìn)行處理，通過MATLAB 小波工具箱，選用haar 小波，進(jìn)行信號5 層小波分解，取應(yīng)力幅值變程的5%作為小波處理閾值[24]，剔除不產(chǎn)生損傷的大量小幅值信號，在保留了應(yīng)力整體趨勢的基礎(chǔ)上，提高了應(yīng)力循環(huán)統(tǒng)計效率。小波處理前后對比如圖1 所示。

圖1 應(yīng)力-時間歷程處理前后對比Fig.1 Comparison of stress-time history before and after processing

通過聚類分析，將所有的載荷循環(huán)樣本分成4～64 類，以聚為16 類為例，取各類樣本的應(yīng)力平均值為等效應(yīng)力，則對應(yīng)的各類樣本循環(huán)數(shù)如表1 所示。

表1 聚類分析分為16 類時各類樣本數(shù)Table 1 The number of samples of each type when cluster analysis is divided into 16 categories

雨流計數(shù)得到的應(yīng)力循環(huán)經(jīng)聚類分析，通過建立的疲勞損傷數(shù)學(xué)模型表達(dá)式(5)進(jìn)行計算，得到不同分級數(shù)對應(yīng)的損傷相對誤差，并將聚類分析所得分類的應(yīng)力循環(huán)50%作為訓(xùn)練集，剩下50%的作為測試集，進(jìn)行支持向量機(jī)多分類判別，獲得應(yīng)力譜在不同分級數(shù)下的分級準(zhǔn)確率與損傷相對誤差，結(jié)果如圖2 所示。

圖2 分級數(shù)-準(zhǔn)確率/相對誤差關(guān)系Fig.2 Classification numbers-accuracy/relative error relationship

從圖2 可得出：

1)隨著分級數(shù)的增加，應(yīng)力造成的損傷相對誤差逐漸減小，相對每個應(yīng)力循環(huán)所造成的損傷總和，分為16 級時損傷相對誤差為2.22%，大于16 級時損傷相對誤差基本小于2.00%。

2)隨著分類數(shù)增加，聚為16 類時分類準(zhǔn)確率為98.67%，大于16 類時分類準(zhǔn)確率基本低于97.00%，其主要原因是隨著分級數(shù)的增多，更能保留應(yīng)力循環(huán)的特性，使得所得的疲勞損傷更接近實(shí)際值，而級數(shù)過多使得支持向量機(jī)分類判別的波動性和分散性增大，導(dǎo)致分類準(zhǔn)確率降低。

綜合考慮分類準(zhǔn)確率和損傷相對誤差，為便于疲勞損傷計算，取編制應(yīng)力譜的分級數(shù)為16 級，用支持向量機(jī)訓(xùn)練得到的模型預(yù)測測試集的分類類別，獲得了16 級下的分類預(yù)測圖，如圖3 所示。

圖3 支持向量機(jī)分類預(yù)測圖Fig.3 Support vector machine classification prediction map

從圖3 可以得出：分級數(shù)為16 級時，應(yīng)力的測試集分類預(yù)測與聚類分析的得到的分類結(jié)果吻合度達(dá)到98.00%以上，表明在該分類數(shù)下聚類效果較好。

通過式(2)計算應(yīng)力譜非等間隔分級數(shù)為16 級時各級應(yīng)力對應(yīng)的自適應(yīng)比值系數(shù) β，得到圖4 所示的應(yīng)力-比值系數(shù)-循環(huán)次數(shù)關(guān)系，自適應(yīng)比值系數(shù)從小到大依次為0.007、0.050 、0.116、0.173、0.226、 0.292、 0.359 、 0.429、 0.512、 0.562、0.613、0.687、0.758、0.863、0.931、1.000。采用上述方法所得的結(jié)果與目前等間隔編譜所得的損傷進(jìn)行對比，結(jié)果如表2 所示。

表2 不同分級方式下16 級應(yīng)力譜損傷比較Table 2 Comparison of 16-level stress spectrum damage under different grading methods

圖4 應(yīng)力-比值系數(shù)-循環(huán)次數(shù)Fig.4 Stress-ratio coefficient-cycle number

從圖4 和表2 可得出：

1)通過聚類分析和支持向量機(jī)得到的各級應(yīng)力及比值系數(shù)是基于疲勞損傷模型，與目前應(yīng)力譜編制方法差別較大。

2)該方法進(jìn)行編譜是根據(jù)應(yīng)力本身特性和造成的疲勞損傷進(jìn)行分級編制，與目前等間隔分為16 級進(jìn)行編譜比較，損傷相對誤差降低了7.43%，有效降低了實(shí)測應(yīng)力信號由于隨機(jī)性和分散性造成的編譜偏差。

4.2 應(yīng)力譜有效性驗證

由于目前編譜采用的非等間隔固定比值系數(shù)法只有8 級譜，且等間隔常用8 級譜進(jìn)行結(jié)構(gòu)應(yīng)力譜的編制，故為了驗證本文所采用方法編制的應(yīng)力譜有效性，取分級數(shù)為8 級所編制的應(yīng)力譜與目前等間隔和非等間隔編譜方法進(jìn)行對比驗證。

采用目前非等間隔固定比值系數(shù)法進(jìn)行應(yīng)力譜編制時，參考文獻(xiàn)[25 - 26]對各級頻次計算方法，取最大應(yīng)力對應(yīng)次數(shù)為1，其他各級頻次ΔN=Nj-Nj-1(j=2, 3, …, 8)，由于通過該方法編制應(yīng)力譜時，最小應(yīng)力級為最大應(yīng)力的0.125 倍，使得低于最小應(yīng)力的大部分小幅值應(yīng)力被舍棄，獲得的應(yīng)力譜在進(jìn)行疲勞問題分析時提高了計算效率和實(shí)用性。為了便于對比分析，采用其他分級編譜方法前對小載荷的處理方法與目前非等間隔小載荷的舍棄保持一致，得到不同分級方法下分級數(shù)為8 級的結(jié)果，如表3 所示。

表3 目前分級方法與本文編譜方法分析比較Table 3 Comparison of the current grading method and the proposed compiling method

從表3 得出：采用常用的8 級譜進(jìn)行編譜時，本文采用的編譜方法得到的疲勞損傷相對誤差為4.10%，相對于目前等間隔和非等間隔編譜，損傷誤差分別降低了0.36%和3.70%；相對于目前等間隔分級方法，該方法保留了實(shí)測數(shù)據(jù)的最大應(yīng)力，得到最大應(yīng)力級為15.28 MPa，目前等間隔最大應(yīng)力級為14.45 MPa。

通過比較驗證，表明本文所采用的編譜方法不僅很大程度上保留了應(yīng)力的分布規(guī)律，且能比較準(zhǔn)確的反映應(yīng)力疲勞特性。

5 結(jié)論

本文通過采用聚類分析和支持向量機(jī)方法，引入自適應(yīng)比值系數(shù)，提出了一種基于疲勞損傷的非等間隔應(yīng)力譜編制方法。以某型地鐵焊接構(gòu)架電機(jī)吊座根部實(shí)測應(yīng)力-時間歷程數(shù)據(jù)為例，根據(jù)本文應(yīng)力譜編譜方法和傳統(tǒng)分級方法進(jìn)行比較，驗證了本文編譜方法的可行性，并得出以下結(jié)論：

(1)考慮不同分級數(shù)和分級方式對疲勞損傷的影響，根據(jù)損傷一致原則，引入各級應(yīng)力自適應(yīng)比值系數(shù)，建立應(yīng)力譜非等間隔分級數(shù)學(xué)模型，確保了應(yīng)力級數(shù)確定的科學(xué)性；

(2)通過聚類分析對所有應(yīng)力循環(huán)進(jìn)行判別歸類，可得出各循環(huán)等效應(yīng)力間的分布規(guī)律是影響聚類效果最主要的因素，且隨著分類數(shù)的增多，特征相近的應(yīng)力可歸為一類；

(3)隨著分類數(shù)的增加，支持向量機(jī)構(gòu)造的分類器增多，類別預(yù)測效率降低，自成一類的大幅值應(yīng)力循環(huán)增多，導(dǎo)致其分類準(zhǔn)確率減小；

(4)通過引入自適應(yīng)比值系數(shù)，采用聚類分析和支持向量機(jī)，提出的基于疲勞損傷的非等間隔分級方法，提高了所編制應(yīng)力譜的準(zhǔn)確性，可為載荷、加速度、位移等其它信號的編譜過程提供參考，以此提高結(jié)構(gòu)疲勞設(shè)計和評估的準(zhǔn)確度。