王學(xué)先 鄧印升

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）明確提出課程內(nèi)容組織的重點是“對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑”.單元教學(xué)設(shè)計在促進學(xué)生理解和整合知識、建構(gòu)完善知識體系、發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力等方面都有重要作用.學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在教學(xué)過程中借助教學(xué)設(shè)計逐漸培養(yǎng)出來的，因此基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計也應(yīng)被重視.筆者以“雞兔同籠”的單元教學(xué)設(shè)計（章節(jié)起始課）為例，闡述在教學(xué)中如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課選自人教版數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第八章.

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課內(nèi)容是以“雞兔同籠”經(jīng)典問題為背景，把算術(shù)法、一元一次方程、二元一次方程三者進行有機結(jié)合，形成系統(tǒng)的單元結(jié)構(gòu)化的教學(xué)內(nèi)容.通過分析問題中的數(shù)量關(guān)系、讓學(xué)生腦洞大開，從不同的角度去思考“雞兔同籠”問題，用逆向思維列出算式去解決問題，通過設(shè)未知數(shù)，建立方程模型，從正向思維的角度去解決實際問題.建立方程模型是數(shù)學(xué)常用的一種思想，從實際問題中提取有效信息進行整合，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進行求解，再將數(shù)學(xué)問題的解進行適當(dāng)整理來解答實際問題，這是數(shù)學(xué)上很經(jīng)典的建模思想，具有很強的應(yīng)用價值.所以本節(jié)課的教學(xué)重點：結(jié)合實際問題背景構(gòu)建二元一次方程組，并能正確地解方程組.

二、教學(xué)目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能夠由實際問題列出二元一次方程組，并正確地解答.

（2）會從算術(shù)法中對應(yīng)遷移出解二元一次方程組的不同方法，悟出解二元一次方程組的核心思想是“消元”，從而體會化歸的思想.

（3）初步認識用方程解決實際問題的基本架構(gòu)，體會利用二元一次方程組解決實際問題的優(yōu)越性.

2.目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：學(xué)生能夠從實際問題中提取有效信息，找到已知量和未知量，能正確處理等量關(guān)系，并根據(jù)等量關(guān)系建立方程組，用“消元”的思想來解方程組.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：學(xué)生由“算術(shù)法”的啟發(fā)，得出解二元一次方程組的多種方法，這些方法的核心思想是“消元”，通過轉(zhuǎn)化的方法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程進行求解.

達成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：學(xué)生知曉用二元一次方程組解決實際問題的過程，能在腦海中初步形成本章知識的基本結(jié)構(gòu)，體會用二元一次方程組解決實際問題的優(yōu)越性，感知數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活.

三、學(xué)情分析

“雞兔同籠”問題，學(xué)生在小學(xué)的時候就已經(jīng)有所接觸了.小學(xué)主要是通過算術(shù)的方法去解決該問題的，且七年級上學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程，學(xué)生已經(jīng)會用一元一次方程去解決這個問題，而建立二元一次方程組去解決這個問題，是學(xué)生之前沒有接觸過的內(nèi)容.本節(jié)課就是將學(xué)生已有的知識經(jīng)驗巧妙地遷移到即將學(xué)習(xí)的二元一次方程組中去，特別是將算術(shù)法中的解題經(jīng)驗遷移到解二元一次方程組中去.所以，本節(jié)課的教學(xué)難點是通過不同的“算術(shù)法”對應(yīng)遷移出解二元一次方程組的幾種方法，并掌握解二元一次方程組的思想是“消元”.

四、教學(xué)設(shè)計過程

環(huán)節(jié)1：情境引入，提出問題

《孫子算經(jīng)》是我國古代一部較為普及的算書，許多問題淺顯有趣，其中下卷第31題“雉兔同籠”流傳尤為廣泛.“雉”是外形像雞的一種鳥，通稱野雞，“雉兔同籠”后也稱“雞兔同籠”.“雞兔同籠”是中國古代的數(shù)學(xué)名題之一.“雞兔同籠”原題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

設(shè)計意圖：教師以中國經(jīng)典的“雞兔同籠”問題引入課題，為“算術(shù)法”和二元一次方程組之間的微妙關(guān)系埋下伏筆.同時，這樣的設(shè)計可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強學(xué)生的文化自信.

問題1：你能用自己的話說出“上有三十五頭”和“下有九十四足”是什么意思嗎？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生進行思考，并分析題目.此問題是本節(jié)課的第一個問題，問題設(shè)置相對簡單，學(xué)生不難回答.由淺入深的設(shè)問可提升學(xué)生回答問題的積極性，從而以高度集中、自信的狀態(tài)進入課堂.

環(huán)節(jié)2：善用假設(shè)，思考發(fā)現(xiàn)

問題2：如何求雞兔各有幾只？你能想到幾種算術(shù)方法可以來解決這個問題呢？

（1）最帥的方法——“耍兔法”.給這群小動物喊口令：雞不動，兔子，?？?！

兔子就全體起立了（兔子兩只腳站立）！

兔子起立后腳的總數(shù)量：2×35=70（腳）

抬起的兔腳的數(shù)量：94-70=24（腳）

兔的數(shù)量：24÷2=12（只）

雞的數(shù)量：35-12=23（只）

（2）最神奇的方法——“添腳法”.變變變，把雞的翅膀變成腳！

腳和雞翅膀的總數(shù)量：35×4=140（只）

雞翅膀的數(shù)量：140-94=46（只）

雞的數(shù)量：46÷2=23（只）

兔的數(shù)量：35-23=12（只）

（3）最酷的方法——“金雞獨立法”.讓每只雞都一只腳站立著，每只兔都用兩只后腳站立著.

站立后腳的總數(shù)量：94÷2=47（只）

兔的數(shù)量：47-35=12（只）

雞的數(shù)量：35-12=23（只）

（4）最逗的方法——“吹哨法”.吹一聲哨，抬起一只腳，再吹一聲哨，又抬起一只腳，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還有兩只腳立著.

第一聲哨后腳的總數(shù)量：94-35=59（只）

第二聲哨后腳的總數(shù)量：59-35=24（只）

兔的數(shù)量：24÷2=12（只）

雞的數(shù)量：35-12=23（只）

（5）人見人愛的——“列表法”，如表1.

兔的數(shù)量：12只；雞的數(shù)量：23只.

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去思考問題，得到不同的方法去解決問題，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.這幾種不同的算術(shù)方法也為后續(xù)用加減消元法解二元一次方程組作鋪墊.

環(huán)節(jié)3：自主探究，數(shù)學(xué)建模

問題3：如果設(shè)雞有x只，如何解決這個問題？

等量關(guān)系：雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=35，雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=94.

由表2，得到一元一次方程：2x+4（35-x）=94.

設(shè)計意圖：學(xué)生在用算式解決問題之后，對“雞兔同籠”問題的數(shù)量關(guān)系有了一定的理解.教師引導(dǎo)學(xué)生運用一元一次方程去解決問題，讓學(xué)生充分感受算術(shù)方法與一元一次方程的異同，也為后面的二元一次方程組進行類比，比較兩種方法的優(yōu)劣.

問題4：如果設(shè)兔有x只，怎樣解答這個問題？

設(shè)計意圖：教師從一元一次方程的角度，另設(shè)未知數(shù)，得到另一種新的方法解決問題，發(fā)散學(xué)生的思維.

問題5：如果設(shè)雞有x只，兔有y只，怎樣列出二元一次方程組？

等量關(guān)系：雞頭數(shù)+兔頭數(shù)=35，雞腳數(shù)+兔腳數(shù)=94.

設(shè)計意圖：由一元一次方程自然過渡到本節(jié)課的新知，教師引導(dǎo)學(xué)生設(shè)兩個未知數(shù)，建立新的方程模型，從二元一次方程組的角度去分析問題、解決問題，引出本節(jié)課的新知——二元一次方程組.

問題6：怎樣解這個二元一次方程組？

由①得x=35-y③，

把③代入②得2（35-y）+4y=94，y=12.

把y=12代入③得x=23.

答：雞有23只，兔有12只.

設(shè)計意圖：教師在解方程組的過程中運用了代入消元法，讓學(xué)生感知解決二元一次方程組的思想是“消元”——消去其中一個未知數(shù)，將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”進行求解.

環(huán)節(jié)四：思考問題，整合知識

問題7：根據(jù)“耍兔法”，怎樣解這個二元一次方程組呢？

由①×2得2x+2y=70③.

②-③得（2x+4y）-（2x+2y）=94-70，

化簡得2y=24，即y=12.

把y=12代入①得x=23.

答：雞有23只，兔有12只.

設(shè)計意圖：受“耍兔法”的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)方法的思想遷移到解二元一次方程組中——擴大①式未知數(shù)x的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)x的系數(shù)相同，兩式相減消去x，將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”進行求解.

問題8：根據(jù)“添腳法”，怎樣解這個二元一次方程組呢？

由①×4得4x+4y=140③.

③-②得（4x+4y）-（2x+4y）=140-94，

化簡得2x=46，x=23.

把x=23代入①得y=12.

答：雞有23只，兔有12只.

設(shè)計意圖：受“添腳法”的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)方法的思想遷移到解二元一次方程組中——擴大①式未知數(shù)y的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)y的系數(shù)相同，兩式相減消去y，同樣也可以將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”進行求解.

問題9：根據(jù)“金雞獨立法”，怎樣解這個二元一次方程組呢？

由②÷2得x+2y=47③.

③-①得（x+2y）-（x+y）=47-35，

化簡得y=12.

把y=12代入①得x=23.

答：雞有23只，兔有12只.

設(shè)計意圖：受“金雞獨立法”的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)方法的思想遷移到解二元一次方程組中——利用等式的性質(zhì)縮?、谑街形粗獢?shù)x的系數(shù)，使得兩式中未知數(shù)x的系數(shù)相同，兩式相減消去x，同樣也可以達到“消元”的目的.

問題10：根據(jù)“吹哨法”，怎樣解這個二元一次方程組呢？

由②-①得x+3y=59③

③-①得（x+3y）-（x+y）=59-35，

化簡得y=12，

把y=12代入①得x=23.

答：雞有23只，兔有12只.

設(shè)計意圖：受“吹哨法”的啟發(fā)，教師引導(dǎo)學(xué)生將該算術(shù)方法的思想遷移到解二元一次方程組中，兩次相減也可達到消元的目的來解二元一次方程組.

環(huán)節(jié)五：理解方法，內(nèi)化知識

①算術(shù)法：計算簡單，分析有難度.

②一元一次方程：容易理解，計算相對簡單.

③二元一次方程組：比一元一次方程還容易理解，能更清晰、直接地表示等量關(guān)系.

設(shè)計意圖：通過師生共同探究，教師讓學(xué)生比較三類解決“雞兔同籠”問題方法的優(yōu)點和缺點，讓學(xué)生進一步體會這三種方法各自的特點.

環(huán)節(jié)六：學(xué)以致用，鞏固新知

練習(xí)1：有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

練習(xí)2：1個停車場一共停了15輛車，有三輪車和轎車，共有52個輪子，求三輪車和轎車各有多少輛？

提示：（1）算術(shù)法可以用“添輪法”“減輪法”或“獨輪法”等；（2）方程建模，萬能解題.

設(shè)計意圖：通過不同類型的練習(xí)，教師帶領(lǐng)學(xué)生鞏固本節(jié)課的內(nèi)容和基本思想，抓住該類問題的本質(zhì)特征來解決實際問題.

環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)，分享收獲

（1）從知識點的角度談?wù)勀阌心男┦斋@？

（2）從數(shù)學(xué)思想的角度談?wù)勀阌心男┦斋@？

設(shè)計意圖：教師讓學(xué)生從不同的角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，增強學(xué)生對實際問題的應(yīng)用意識，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高，形成系統(tǒng)的單元結(jié)構(gòu)化的知識框架.

五、基于單元教學(xué)設(shè)計提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾點思考

1.確定核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)過程有著很強的指導(dǎo)作用，整個教學(xué)內(nèi)容應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)來進行設(shè)計，所以確定核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)就顯得尤為重要.確定核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)時，教師應(yīng)確保對每一個單元課時內(nèi)容的關(guān)聯(lián)及層次性有更清晰的認識，要站在整體知識結(jié)構(gòu)化的視角上來考慮數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達成來制定符合學(xué)生學(xué)情的單元整體目標(biāo)，再依據(jù)單元整體目標(biāo)制定具體的課時目標(biāo)，并且確保制定出來的教學(xué)目標(biāo)是結(jié)構(gòu)化的、能操作的、可評價的.教師應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生核心素養(yǎng)的落實來精心設(shè)計教學(xué)，加強學(xué)生知識的連續(xù)性和結(jié)構(gòu)化，從而提高課堂效率.

2.將教學(xué)內(nèi)容進行有效整合

單元教學(xué)設(shè)計既要關(guān)注知識的整體性，又要關(guān)注不同部分的關(guān)聯(lián)性；本節(jié)課以解決實際問題為主線，將算術(shù)法、一元一次方程與二元一次方程組進行有機結(jié)合，同時將四種算術(shù)方法分別巧妙地遷移到二元一次方程組的解法上去，用不同的方法均可達到“消元”的目的，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程來進行求解.這樣的教學(xué)設(shè)計將本章的知識進行合理整合，形成了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，避免了將碎片化的知識呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生形成對本章內(nèi)容相對整體的認知結(jié)構(gòu).

3.用“問題驅(qū)動”的方式推動教學(xué)

用問題串的形式來進行教學(xué)是常用的一種教學(xué)方式，能引起學(xué)生的注意和思考，可以充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，所以教師要在問題的設(shè)置上下功夫.問題設(shè)置要圍繞本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和想要落實的核心素養(yǎng)循序漸進地進行.同時，問題串的設(shè)置還應(yīng)該簡潔明了，指向性要強，由淺入深，達到讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)和深度參與的教學(xué)目的.本節(jié)課用了10個設(shè)問，將學(xué)生已有的知識經(jīng)驗與新課內(nèi)容緊密結(jié)合，用層層遞進的方式，驅(qū)動學(xué)生去分析問題和解決問題，引導(dǎo)學(xué)生對知識點進行分析、歸納，感受數(shù)學(xué)思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

4.始終“以學(xué)生為中心”設(shè)計教學(xué)

學(xué)生始終是學(xué)習(xí)的主人，教師在進行教學(xué)設(shè)計時要圍繞學(xué)生進行合理設(shè)計，要能充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性；根據(jù)教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系實際生活，巧妙設(shè)計教學(xué)情境，營造一種相對融洽的教學(xué)氛圍引起學(xué)生的情感共鳴，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時，教師應(yīng)采用多種教學(xué)方式，讓每一個學(xué)生都能深度參與到課堂中去，從“學(xué)會”到“會學(xué)”，教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言去表達現(xiàn)實世界.

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升需要教師用心設(shè)計好每一節(jié)課，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂上潤物細無聲地落地.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇