劉春輝

(赤峰學院 教育科學學院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

對各種邏輯代數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究是模糊邏輯及其應(yīng)用研究的重要方向之一.Wang等[1]基于對模糊推理基礎(chǔ)問題的深刻剖析,為模糊命題演算提出了一個形式系統(tǒng)L*,之后,又構(gòu)建了與之相對應(yīng)的R0代數(shù).Hájek[2-3]針對由連續(xù)t-范數(shù)確定的模糊邏輯結(jié)構(gòu),提出了一個稱之為基本邏輯的新的形式系統(tǒng)BL(basic logic),并提出了與之匹配的BL代數(shù).Esteva等[4]提出了一個稱之為Monoidalt-范基邏輯的形式系統(tǒng)MTL(monoidalt-norm basic logic),并提出了與之匹配的MTL代數(shù).研究表明,系統(tǒng)L*是由冪零極小t-范數(shù)確定的模糊邏輯結(jié)構(gòu)的共同形式化,系統(tǒng)BL是所有由連續(xù)t-范數(shù)確定的模糊邏輯結(jié)構(gòu)的共同形式化,而系統(tǒng)MTL是所有由左連續(xù)t-范數(shù)確定的模糊邏輯結(jié)構(gòu)的共同形式化,且系統(tǒng)L*和系統(tǒng)BL都是系統(tǒng)MTL的模式擴張.進一步地,R0代數(shù)和BL代數(shù)都是MTL代數(shù)的特殊子類[5-7].因此,對MTL代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究具有重要意義[8-9].

模糊集的概念是由美國著名控制論專家Zadeh在文獻[10]中首次提出的,如今,模糊集理論已經(jīng)在眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[11].作為對Zadeh模糊集概念的一種推廣,Atanassov[12]首次提出了直覺模糊集的概念.近年來,人們將直覺模糊集應(yīng)用于群、環(huán)、域等抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)和多種邏輯代數(shù)結(jié)構(gòu)問題的研究,獲得了一批有理論價值和應(yīng)用前景的研究成果[13-20].這些成果一方面豐富了代數(shù)理論的研究內(nèi)容,另一方面也有效拓展了直覺模糊集的應(yīng)用范圍.受這些工作的啟迪,考慮到理想概念在MTL代數(shù)結(jié)構(gòu)刻畫中的有效性,論文在MTL代數(shù)中將直覺模糊集與理想概念相結(jié)合,引入直覺模糊理想和直覺模糊素(Boolean/關(guān)聯(lián)/超/固執(zhí))理想等概念并深入討論它們的性質(zhì)、刻畫和相互關(guān)系,獲得了一些有趣且有意義的結(jié)論.

1 預備知識

為了敘述簡潔起見,該節(jié)給出關(guān)于MTL代數(shù)及直覺模糊集的一些基本概念和相關(guān)結(jié)論.

定義1[4](i) 稱代數(shù)系統(tǒng)(L,≤,∧,∨,⊙,→,0,1)為剩余格,簡稱L為剩余格,如果下列各條成立:

(RL1) (L,∧,∨,0,1)是有界格;

(RL2) (L,⊙,1)是有單位元的交換半群;

(RL3) (⊙,→)是L上的伴隨對,即(?x,y,z∈L)(z≤x→y?x⊙z≤y).

(ii) 稱剩余格L為MTL代數(shù),如果L滿足:(MTL1)(?x,y∈L)((x→y)∨(y→x)=1).

引理1[4]設(shè)L是剩余格,定義L上運算*,使得?x∈L,x*=x→0,則對任意的x,y,z∈L,有:

(RL4)x≤y?x→y=1;

(RL5) 1→x=x且y→(x→y)=1;

(RL6) 如果x≤y,那么z→x≤z→y且y→z≤x→z;

(RL7)x≤y→z?y≤x→z;

(RL8)x≤(x→y)→y且y≤(x→y)→y;

(RL9)x→(y→z)=y→(x→z)=x⊙y→z;

(RL10)z→y≤(x→z)→(x→y)且z→y≤(y→x)→(z→x);

(RL11)x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)且(y∨z)→x=(y→x)∧(z→x);

(RL12) ((x→y)→y)→y=x→y;

(RL13)x≤y?y*≤x*?x**≤y**;

(RL14)x≤x**且x***=x*,x→y≤y*→x*;

(RL15)x⊙y≤x∧y且x⊙x*=0;

(RL16) (x∨y)*=x*∧y*;

(RL17)x⊙(x→y)≤y且x≤x*→y;

(RL18) (x→y*)**=x→y*=y→x*=(x⊙y)*.

引理2[8]設(shè)L是MTL代數(shù),則對任意的x,y,z∈X,有:

(MTL2)x≤y?x⊙z≤y⊙z;

(MTL3)y→z≤x∨y→x∨z;

(MTL4) (x∧y)*=x*∨y*;

(MTL5)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x);

(MTL6) (x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)且x→(y∨z)=(x→y)∨(x→z);

(MTL7)x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z)且x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z).

定義2[9]設(shè)L是MTL代數(shù),?≠I?L.稱I是L的一個理想,如果I滿足:

(Id1) 0∈I;

(Id2) 對任意的x,y∈L,x∈I且(x*→y*)*∈I蘊涵y∈I.

定義3[9]設(shè)L是MTL代數(shù),I是L的一個理想,有:

(i) 對任意x∈L,若x∧x*∈I,則稱I是L的一個Boolean理想;

(ii) 對任意x,y∈L,若(x→(y→x)*)*∈I蘊涵x∈I,則稱I是L的一個關(guān)聯(lián)理想;

(iii) 對任意x,y∈L,若x∧y∈I蘊涵x∈I或x∈I,則稱I是L的一個素理想;

(iv) 對任意x∈L,若x∈I或x*∈I,則稱I是L的一個超理想;

(v) 對任意x,y∈L,若x?I且y?I蘊涵(x→y)*∈I且(y→x)*∈I,則稱I是L的固執(zhí)理想.

定義4[10]設(shè)X是一個非空集合,則X上的一個模糊集指的是映射f:X→[0,1]. 設(shè)f是X上的一個模糊集,對任意的t∈[0,1],稱集合ft={x∈X|f(x)≥t}為f的t-截集.

為敘述方便,對任意的a,b∈[0,1],分別用a∧b和a∨b表示min(a,b)和max(a,b).

定義5[11]設(shè)L是MTL代數(shù),f是X上的一個模糊集,如果f滿足:對任意的x,y∈X,有:

(FI1)f(0)≥f(x);

(FI2)f(y)≥f(x)∧f((x*→y*)*).

則稱f是X的一個模糊理想.

引理3[11]設(shè)L是MTL代數(shù),則X上的模糊集f是X的一個模糊理想當且僅當f滿足

(FI3) 對任意的t∈[0,1],ft≠??ft是L的理想.

定義6[12]設(shè)U是一個給定論域,則U上的一個直覺模糊集A定義為

A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈U},

其中:μA:U→[0,1]和νA:U→[0,1]是U上的兩個模糊集,分別代表A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù),且對任意的x∈U,0≤μA(x)+νA(x)≤1.集合U上的直覺模糊集的全體之集記為IFS(U).

定義7[12]設(shè)U是一個給定論域,A∈IFS(U). 稱A是U上的常值直覺模糊集,如果對任意的x∈U,μA(x)=s且νA(x)=t,s,t∈[0,1]且0≤s+t≤1.

2 MTL代數(shù)的直覺模糊理想與直覺模糊格理想

該節(jié)引入MTL代數(shù)的直覺模糊理想概念,并考察其性質(zhì)及其與直覺模糊格理想的關(guān)系.

定義8設(shè)L是MTL代數(shù),A∈IFS(L). 稱A是L的一個直覺模糊理想,如果A滿足:?x,y∈L,有:

(IFI1)μA(0)≥μA(x)且νA(0)≤νA(x);

(IFI2)μA(y)≥μA(x)∧μA((x*→y*)*)且νA(y)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*).

例1設(shè)L={0,a,b,1}且0

表1 例1中L上二元運算“→”和“⊙”的定義

且?x∈L,x*=x→0. 可以驗證(L,≤,∧,∨,⊙,→,0,1)是一個MTL代數(shù). 定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊理想.

定理1設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的一個直覺模糊理想,則下列各條成立:?x,y∈L,有:

(IFI3) (μA((x*→y*)*)=μA(0)且νA((x*→y*)*)=νA(0))?(μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y));

(IFI4)x*≤y*?(μA(x)≤μA(y)且νA(x)≥νA(y));

(IFI5)x≤y?(μA(y)≤μA(x)且νA(y)≥νA(x));

(IFI6)μA(x)=μA(x**)且νA(x)=νA(x**).

證明(1) 對任意的x,y∈L,設(shè)μA((x*→y*)*)=μA(0)且νA((x*→y*)*)=νA(0). 因為A是L的一個直覺模糊理想,所以由(IFI2)和(IFI1)得

μA(y)≥μA(x)∧μA((x*→y*)*)=μA(x)∧μA(0)=μA(x),

νA(y)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*)=νA(x)∨νA(0)=νA(x),

因此(IFI3)成立.

(2) 對任意的x,y∈L,設(shè)x*≤y*,則由(RL4)得(x*→y*)*=1*=0,所以

μA((x*→y*)*)=μA(0)且νA((x*→y*)*)=νA(0),

故由(IFI3)得μA(x)≤μA(y)且νA(x)≥νA(y),即(IFI4)成立.

(3) 對任意的x,y∈L,設(shè)x≤y,則由(RL13)得y*≤x*,由(IFI4)得μA(y)≤μA(x)且νA(y)≥νA(x),因此(IFI5)成立.

(4) 對任意的x∈L,一方面,因為x≤x**,所以由(IFI5)得μA(x**)≤μA(x)且νA(x**)≥νA(x).另一方面,由(IFI2),(RL4)和(IFI1)得

μA(x**)≥μA(x)∧μA((x*→x***)*)=

μA(x)∧μA((x*→x*)*)=μA(x)∧μA(1*)=μA(x)∧μA(0)=μA(x),

νA(x**)≤νA(x)∨νA((x*→x***)*)=

νA(x)∨νA((x*→x*)*)=νA(x)∨νA(1*)=νA(x)∨νA(0)=νA(x),

因此,綜合兩方面得μA(x)=μA(x**)且νA(x)=νA(x**),即(IFI6)成立.

定理2設(shè)L是MTL代數(shù),A∈IFS(L),則對任意的x,y,z∈L,A是L的直覺模糊理想當且僅當如下二條件之一成立:

(IFI7)z*⊙y*≤x*?(μA(x)≥μA(y)∧μA(z)且νA(x)≤νA(y)∨νA(z));

(IFI8)z*→(y*→x*)=1?(μA(x)≥μA(y)∧μA(z)且νA(x)≤νA(y)∨νA(z)).

證明設(shè)A是L的一個直覺模糊理想且對任意的x,y,z∈L,z*⊙y*≤x*,則由(RL3)和(RL18)得z*≤y*→x*=(y*→x*)**.由(IFI4)得μA(z)≤μA((y*→x*)*)且νA(z)≥νA((y*→x*)*). 由(IFI2)得μA(x)≥μA(y)∧μA((y*→x*)*)≥μA(y)∧μA(z)且νA(x)≤νA(y)∨νA((y*→x*)*)≤νA(y)∨νA(z),即(IFI7)成立.

反之,設(shè)(IFI7)成立,因為對任意的x∈L,x*⊙x*≤1=0*,所以由(IFI7)得

μA(0)≥μA(x)∧μA(x)=μA(x)且νA(0)≤νA(x)∨νA(x)=νA(x),

故A滿足(IFI1).又因為對任意的x,y∈L,由(RL18)和(RL17)得

(x*→y*)**⊙x*=x*⊙(x*→y*)≤y*,

所以由(IFI7)有μA(y)≥μA(x)∧μA((x*→y*)*)且νA(y)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*),即A亦滿足(IFI2).因此,由定義8得A是L的一個直覺模糊理想.

對任意的x,y∈L,由(RL3)和(RL4)顯然可得z*⊙y*≤x*?z*→(y*→x*)=1,從而得(IFI7)與(IFI8)等價. 定理得證.

證明“必要性”.設(shè)A是L的直覺模糊理想,則由定義5,8,顯然μA是L的模糊理想. 任取x,y∈L,因為由(IFI1)和(IFI2)知νA(0)≤νA(x)且νA(y)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*),所以

(1-νA(x))∧(1-νA((x*→y*)*))=1-νA(x)∨νA((x*→y*)*),

即νA(y)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*).因此,由定義8得A是L的直覺模糊理想.

證明由引理3和定理3立即可得.

定義9設(shè)L是MTL代數(shù),A∈IFS(L). 稱A是L的直覺模糊格理想,如果對任意的x,y∈L,A滿足(IFI5)和如下的(IFI9)

(IFI9)μA(x∨y)≥μA(x)∧μA(y)且νA(x∨y)≤νA(x)∨νA(y).

定理4設(shè)L是MTL代數(shù),則L的任一直覺模糊理想都是L的直覺模糊格理想.

證明設(shè)A是L的直覺模糊理想,則由定理1知A滿足(IFI5). 下證A滿足(IFI9).事實上,對任意的x,y∈L,因為由(RL9)和(RL5)得y*→(x*→y*)=x*→(y*→y*)=x*→1=1,所以由(RL4)得y*≤x*→y*,從而由(RL13)得(x*→y*)*≤y**,進而由(IFI5)和(IFI6)得

μA((x*→y*)*)≥μA(y**)=μA(y)且νA((x*→y*)*)≤νA(y**)=νA(y).

由 (RL16)和(RL11)得

(x*→(x∨y)*)*=(x*→(x*∧y*))*=((x*→x*)∧(x*→y*))*=

(1∧(x*→y*))*=(x*→y*)*,

所以再由(IFI2)得

μA(x∨y)≥μA(x)∧μA((x*→(x∨y)*)*)=μA(x)∧μA((x*→y*)*)≥μA(x)∧μA(y),

νA(x∨y)≤νA(x)∨νA((x*→(x∨y)*)*)≤νA(x)∨νA((x*→y*)*)≤νA(x)∨νA(y),

因此,由定義9得A是L的直覺模糊格理想.

注1定理9的逆命題一般不真,即MTL代數(shù)直覺模糊格理想不必為直覺模糊理想.

例2設(shè)L={0,a,b,c,d,1}且其Hasse圖如圖1所示,定義L上二元運算“→”和“⊙”如表2所示.

圖1 格L的Hasse圖

表2 例2中L上二元運算“→”和“⊙”的定義

且?x∈L,x*=x→0. 可以驗證(L,≤,∧,∨,⊙,→,0,1)是一個MTL代數(shù). 定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊格理想.但A不是L的一個直覺模糊理想,因為

μA(a)=0.2<0.7=μA(d)∧μA((d*→a*)*).

3 MTL代數(shù)的多種特殊類型直覺模糊理想及相互關(guān)系

該節(jié)在MTL代數(shù)中引入直覺模糊Boolean理想、直覺模糊素理想、直覺模糊超理想和直覺模糊固執(zhí)理想等多種特殊類型理想概念,并討論其性質(zhì)和相互關(guān)系.

定義10設(shè)L是MTL代數(shù),稱L的直覺模糊理想A是直覺模糊Boolean理想,若A滿足:?x∈L,有

(IFI10)μA(x∧x*)=μA(0)且νA(x∧x*)=νA(0).

例3設(shè)L={0,a,b,1}且0

表3 例3中L上二元運算“→”和“⊙”的定義

且?x∈L,x*=x→0,可以驗證(L,≤,∧,∨,⊙,→,0,1)是一個MTL代數(shù). 定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊Boolean理想.

注2MTL代數(shù)的直覺模糊理想不必是直覺模糊Boolean理想. 如例1中所給MTL代數(shù)L的直覺模糊理想A不是L的直覺模糊Boolean理想,這是因為

μA(a∧a*)=μA(a∧a)=μA(a)=0.3≠0.7=μA(0).

定理5設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的直覺模糊Boolean理想,則對任意的x∈X,如下結(jié)論成立

(IFI11)μA(x)≥μA((x→x*)*)且νA(x)≤νA((x→x*)*).

證明設(shè)A是L的直覺模糊Boolean理想,則?x∈X,μA(x∧x*)=μA(0)且νA(x∧x*)=νA(0). 因為

((x∧x*)*→x*)*=(x→(x∧x*)**)*=(x→(x*∨x**)*)*=(x→(x**∧x***))*=

((x→x**)∧(x→x***))*=(1∧(x→x*))*=(x→x*)*,

所以由(IFI1)和(IFI2),得

μA(x)≥μA(x∧x*)∧μA(((x∧x*)*→x*)*)μA(0)∧μA((x→x*)*)=μA((x→x*)*),

νA(x)≤νA(x∧x*)∨νA(((x∧x*)*→x*)*)=νA(0)∨νA((x→x*)*)=νA((x→x*)*),

因此,A滿足(IFI11).

定義11設(shè)L是MTL代數(shù),稱L的直覺模糊理想A是直覺模糊關(guān)聯(lián)理想,若A滿足:?x,y∈L,有

(IFI12)μA(x)≥μA((x→(y→x)*)*)且νA(x)≤νA((x→(y→x)*)*).

定理6設(shè)L是MTL代數(shù),A∈IFS(L),則A是L的直覺模糊Boolean理想當且僅當A是L的直覺模糊關(guān)聯(lián)理想.

證明“必要性”.設(shè)A是L的直覺模糊Boolean理想. 對任意的x,y∈L,因為

((x→(y→x)*)**→(x→x*)**)*=((x→x*)*→(x→(y→x)*)***)*=

((x→x*)*→(x→(y→x)*)*)*≤((x→(y→x)*)→(x→x*))*≤

((y→x)*→x*)*≤(x→(y→x))*=1*=0,

所以((x→(y→x)*)**→(x→x*)**)*=0. 故由(IFI11),(IFI1)和(IFI2),得

μA(x)≥μA((x→x*)*)≥μA((x→(y→x)*)*)∧

μA(((x→(y→x)*)**→(x→x*)**)*)=

μA((x→(y→x)*)*)∧μA(0)=μA((x→(y→x)*)*),

νA(x)≤νA((x→x*)*)≤νA((x→(y→x)*)*)∨

νA(((x→(y→x)*)**→(x→x*)**)*)=

νA((x→(y→x)*)*)∨νA(0)=νA((x→(y→x)*)*),

即A滿足(IFI12).因此,由定義11知A是L的直覺模糊Boolean理想.

“充分性”.設(shè)A是L的直覺模糊關(guān)聯(lián)理想,對任意的x∈L,因為

((x∧x*)→(1→(x∧x*))*)*=((x∧x*)→(x∧x*)*)*=

((x∧x*)→(x*∨x**))*=(((x∧x*)→x*)∨((x∧x*)→x**))*=

(1∨((x∧x*)→x**))*=1*=0,

所以再由(IFI12),得

μA(x∧x*)≥μA(((x∧x*)→(1→(x∧x*))*)*)=μA(0),

νA(x∧x*)≤νA(((x∧x*)→(1→(x∧x*))*)*)=νA(0),

又由(IFI1)得μA(x∧x*)≤μA(0)且νA(x∧x*)≥νA(0),所以,得

μA(x∧x*)=μA(0)且νA(x∧x*)=νA(0),

即A滿足(IFI10).因此,由定義10知A是L的直覺模糊Boolean理想.

定義12設(shè)L是MTL代數(shù),稱L的非常值直覺模糊理想A是直覺模糊素理想,若A滿足:?x,y∈L,有

(IFI13)μA(x∧y)≤μA(x)∨μA(y)且νA(x∧y)≥νA(x)∧νA(y).

例4(i) 設(shè)L是例3中所給MTL代數(shù),定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊素理想.

(ii) 設(shè)L={0,a,b,1}且其Hasse圖如圖2所示,定義L上二元運算“→”和“⊙”如表4所示.

圖2 格L的Hasse圖

表4 例4中L上二元運算“→”和“⊙”的定義

且?x∈L,x*=x→0, 可以驗證(L,≤,∧,∨,⊙,→,0,1)是一個MTL代數(shù). 定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊理想.但A不是L的一個直覺模糊素理想,因為

μA(a∧b)=0.9>0.2=μA(a)∨μA(b).

定理7設(shè)L是MTL代數(shù),則L的非常值直覺模糊理想A是直覺模糊素理想當且僅當A滿足:?x,y∈L,有

(IFI14) (μA(x∧y)=μA(0)且νA(x∧y)=νA(0))?((μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0))或(μA(y)=μA(0),νA(y)=νA(0))).

證明“必要性”.設(shè)A是L的直覺模糊素理想,對任意的x,y∈X,μA(x∧y)=μA(0)且νA(x∧y)=νA(0),則由(IFI13)得μA(0)=μA(x∧y)≤μA(x)∨μA(y)且νA(0)=νA(x∧y)≥νA(x)∧νA(y),而由(IFI1)得μA(x∧y)≤μA(0)且νA(x∧y)≥νA(0),故μA(x∧y)=μA(0)且νA(x∧y)=νA(0).注意到A是直覺模糊理想,得μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0)或μA(y)=μA(0),νA(y)=νA(0),即(IFI14)成立.

“充分性”.設(shè)A是L的非常值直覺模糊理想且滿足(IFI14). 假設(shè)A不滿足(IFI13),則存在x0,y0∈L,使得μA(x0∧y0)>μA(x0)∨μA(y0)或νA(x0∧y0)<νA(x0)∧νA(y0). 此時,若μA(x0∧y0)=μA(0)且νA(x0∧y0)=νA(0),則μA(0)>μA(x0)∨μA(y0)或νA(0)<νA(x0)∧νA(y0),從而μA(x0)<μA(0)且μA(y0)<μA(0),或νA(x0)>νA(0)且νA(y0)>νA(0),這與(IFI14)矛盾,因此,A滿足(IFI13),即A是L的直覺模糊素理想.

定理8設(shè)L是MTL代數(shù),則L的非常值直覺模糊理想A是直覺模糊素理想當且僅當A滿足:?x,y∈L,有

(IFI15) (μA((x→y)*)=μA(0),νA((x→y)*)=νA(0)),

或

(μA((y→x)*)=μA(0),νA((y→x)*)=νA(0)).

證明“必要性”.設(shè)A是L的直覺模糊素理想,對任意的x,y∈L,由(RL16)和(MTL1),得

(x→y)*∧(y→x)*=((x→y)∨(y→x))*=1*=0,

所以μA((x→y)*∧(y→x)*)=μA(0)且νA((x→y)*∧(y→x)*)=νA(0),從而由(IFI14),得

μA((x→y)*)=μA(0),νA((x→y)*)=νA(0)或

μA((y→x)*)=μA(0),νA((y→x)*)=νA(0),

即A滿足(IFI15).

“充分性”.設(shè)A是L的非常值直覺模糊理想且滿足(IFI15). 對任意的x,y∈L,有

μA((x→y)*)=μA(0),νA((x→y)*)=νA(0),

或

μA((y→x)*)=μA(0),νA((y→x)*)=νA(0),

如果μA((x→y)*)=μA(0),νA((x→y)*)=νA(0),因為

((x∧y)*→x*)*=((x*∨y*)→x*)*=((x*→x*)∧(y*→x*))*=

(1∧(y*→x*))*=(y*→x*)*≤(x→y)*,

所以由(IFI5)得μA(((x∧y)*→x*)*)≥μA((x→y)*)且νA(((x∧y)*→x*)*)≤νA((x→y)*),有

μA(x)≥μA(x∧y)∧μA(((x∧y)*→x*)*)≥μA(x∧y)∧μA((x→y)*)=

μA(x∧y)∧μA(0)=μA(x∧y),

νA(x)≤νA(x∧y)∨νA(((x∧y)*→x*)*)=νA(x∧y)∨νA((x→y)*)=

νA(x∧y)∨νA(0)=νA(x∧y).

如果μA((y→x)*)=μA(0),νA((y→x)*)=νA(0),類似可證μA(y)≥μA(x∧y)且νA(x)≤νA(x∧y).綜合得μA(x∧y)≤μA(x)∨μA(y)且νA(x∧y)≥νA(x)∧νA(y),即A滿足(IFI13),從而由定義12得A是L的直覺模糊素理想.

定義13設(shè)L是MTL代數(shù),稱L的非常值直覺模糊理想A是直覺模糊超理想,若A滿足:?x∈L,有

(IFI16) (μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0))或(μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0)).

例5(i) 設(shè)L是例2中所給MTL代數(shù),定義A∈IFS(L)滿足

則A是L的一個直覺模糊超理想.

(ii) 例4(ii)中所給MTL代數(shù)L的直覺模糊理想A也不是L的直覺模糊超理想.

定理9設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的非常值直覺模糊集,則A是L的直覺模糊超理想當且僅當A既是直覺模糊素理想又是直覺模糊Boolean理想.

證明“必要性”.設(shè)A是L的直覺模糊超理想,則對任意的x∈L,μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0)或μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0). 首先,證明A是L的直覺模糊素理想.事實上,對任意的x,y∈L,設(shè)μA(x∧y)=μA(0)且νA(x∧y)=νA(0),如果μA(x)≠μA(0)且νA(x)≠νA(0),則由假設(shè)和(IFI16)得μA(x*)=μA(0)且νA(x*)=νA(0). 因為

((x∧y)*→y*)*=((x*∨y*)→y*)*=((x*→y*)∧(y*→y*))*=

((y*→x*)∧1)*=(y*→x*)*≤(x→y)*≤x*,

所以由(IFI5)得μA(((x∧y)*→y*)*)≥μA(x*)=μA(0)且νA(((x∧y)*→y*)*)≤νA(x*)=νA(0),從而由(IFI1)得μA(((x∧y)*→y*)*)=μA(0)且νA(((x∧y)*→y*)*)=νA(0). 故由(IFI1)和(IFI2),得

μA(0)≥μA(y)≥μA(x∧y)∧μA(((x∧y)*→y*)*)=μA(0)∧μA(0)=μA(0),

νA(0)≤νA(y)≤νA(x∧y)∨νA(((x∧y)*→y*)*)=νA(0)∨νA(0)=νA(0),

故由定理7得A是L的直覺模糊素理想. 其次,證明A是L的直覺模糊Boolean理想. 事實上,對任意的x∈L,因為x∧x*≤x且x∧x*≤x*,所以由(IFI5)得μA(x∧x*)≥μA(x),νA(x∧x*)≤νA(x)且μA(x∧x*)≥μA(x*),νA(x∧x*)≤νA(x*). 由假設(shè)及(IFI16)知μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0)或μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0),所以μA(x∧x*)≥μA(0)且νA(x∧x*)≤νA(0),故再結(jié)合(IFI1)得μA(x∧x*)=μA(0)且νA(x∧x*)=νA(0),即A滿足(IFI10),故A是L的直覺模糊Boolean理想.

“充分性”.設(shè)A既是L的直覺模糊素理想又是直覺模糊Boolean理想.對任意的x∈X,由A是L的直覺模糊Boolean理想及(IFI10)得μA(x∧x*)=μA(0)且νA(x∧x*)=νA(0),從而再由A是L的直覺模糊素理想及(IFI14)得μA(x)=μA(0),νA(x)=νA(0)或μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0),即A滿足(IFI16).因此,A是L的直覺模糊超理想.

定理10設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的非常值直覺模糊集,則A是L的直覺模糊超理想當且僅當A既是直覺模糊素理想又是直覺模糊關(guān)聯(lián)理想.

證明由定理6,9立即可得.

定義14設(shè)L是MTL代數(shù),稱L的非常值直覺模糊理想A是L的直覺模糊固執(zhí)理想,如果A滿足:?x,y∈L,有

(IFI17) (μA(x)≠μA(0),νA(x)≠νA(0)且μA(y)≠μA(0),νA(y)≠νA(0))?

(μA((x→y)*)=μA(0),νA((x→y)*)=νA(0),

μA((y→x)*)=μA(0),νA((y→x)*)=νA(0)).

定理11設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的非常值直覺模糊集,則A是L的直覺模糊超理想當且僅當A是L的直覺模糊固執(zhí)理想.

證明設(shè)A是L的直覺模糊超理想.對任意的x,y∈L,設(shè)μA(x)≠μA(0),νA(x)≠νA(0)且μA(y)≠μA(0),νA(y)≠νA(0),則由(IFI16)得μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0)且μA(y*)=μA(0),νA(y*)=νA(0). 因為

(x**→(y→x)**)*=((y→x)*→x***)*=((y→x)*→x*)*=

(x→(y→x))*=1*=0,

所以(x**→(y→x)**)*=0,從而μA((x**→(y→x)**)*)=μA(0)且νA((x**→(y→x)**)*)=νA(0).故由(IFI2)及μA(x*)=μA(0),νA(x*)=νA(0),得

μA((y→x)*)≥μA(x*)∧μA((x**→(y→x)**)*)=μA(0)∧μA(0)=μA(0),

νA((y→x)*)≤νA(x*)∨νA((x**→(y→x)**)*)=νA(0)∨νA(0)=νA(0).

結(jié)合(IFI1),得μA((y→x)*)=μA(0)且νA((y→x)*)=νA(0). 類似地,由μA(y*)=μA(0),νA(y*)=νA(0)可證μA((x→y)*)=μA(0)且νA((x→y)*)=νA(0),故A滿足(IFI17),因此A是L的直覺模糊固執(zhí)理想.

反之,設(shè)A是L的直覺模糊固執(zhí)理想,且對任意的x∈L,μA(x)≠μA(0)且νA(x)≠νA(0).因為A是L的非常值直覺模糊集,所以μA(1)≠μA(0)且νA(1)≠νA(0),故由(IFI17)得

μA(x*)=μA(1→x*)=μA(0)且νA(x*)=νA(1→x*)=νA(0),

即A滿足(IFI16),因此,A是L的直覺模糊超理想.

定理12設(shè)L是MTL代數(shù),A是L的非常值直覺模糊集,則A是L的直覺模糊固執(zhí)理想當且僅當A既是直覺模糊素理想又是直覺模糊Boolean(關(guān)聯(lián))理想.

證明由定理9,10,11立即可得.

4 結(jié)論與展望

論文在MTL代數(shù)框架下,將理想與直覺模糊集概念相結(jié)合,引入直覺模糊理想的概念并深入討論了多種特殊類型的直覺模糊理想的性質(zhì)和相互關(guān)系,這些工作有助于進一步深入理解和把握MTL代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,為在非對合邏輯代數(shù)框架下開展針對理想及其相關(guān)問題的研究提供思想和方法上的借鑒.最后,為直觀起見,作者將MTL代數(shù)的上述多種特殊類型直覺模糊理想間的相互關(guān)系總結(jié)如圖3所示.

圖3 多種特殊類型直覺模糊理想間的相互關(guān)系