孫述鵬，王鋒會，馮維明，郭 超，張茂鋒

（1.山東大學(xué)土建與水利學(xué)院，山東 濟南 250061；2.山東省共同體工程機械有限公司，山東 濟寧 272073）

引言

振動壓路機作為一種道路施工機械，被廣泛用于高等級公路、鐵路、機場跑道、大壩、體育場等大型工程項目的填方壓實作業(yè)。振動壓路機的壓實作業(yè)是壓路機鋼輪與路基填筑體相互作用的過程，研究鋼輪在此相互作用過程中的動態(tài)響應(yīng)，無論是對路基壓實質(zhì)量的控制還是壓路機本身的設(shè)計，都具有重要的意義［1-4］。然而，由于壓路機鋼輪（剛體）與路基填筑體（彈塑性體）接觸問題的復(fù)雜性，以及碾壓過程的動態(tài)性，對壓實過程中振動壓路機鋼輪動態(tài)響應(yīng)的研究一直是工程界面臨的難題。

長期以來，由于車-路/橋相互作用既影響到行車安全與駕駛舒適性，又牽涉到路/橋等結(jié)構(gòu)物的維護保養(yǎng)，因此在汽車、軌道交通、道橋工程等領(lǐng)域，開展了大量關(guān)于車-路/橋耦合動力學(xué)的研究［5-9］。相比之下，振動壓路機作為一種相對特殊的道路施工車輛，關(guān)于振動壓路機-路基耦合動力學(xué)的研究則較少。Anderegg 等［10］建立了一個單自由度的振動壓路機-路基耦合動力學(xué)模型，通過仿真計算，發(fā)現(xiàn)了鋼輪在壓實作業(yè)后期的混沌運動。van Susante等［11］采用集總參數(shù)建模，對于鋼輪在壓實過程的非線性耦合動力學(xué)行為進行了分析。Paulmichl 等［12］提出了一種鋼輪-路基相互作用的模型，利用其捕捉到了工程現(xiàn)場觀測到的鋼輪-路基相互作用系統(tǒng)的基本特征。管迪等［13］利用諧波線性化方法將滯回非線性力線性化為等效阻尼和等效剛度，建立了土壤非線性力學(xué)模型，通過數(shù)值仿真分析了鋼輪的動力學(xué)特性。Shen 等［14］利用由Bouc-Wen 微分方程導(dǎo)出的非對稱滯回模型，研究了不同壓路機參數(shù)引起的鋼輪的動態(tài)響應(yīng)，提出了避免混沌振動的方法。上述關(guān)于鋼輪動態(tài)響應(yīng)的研究中，路基多采用彈性路基模型或非對稱滯回模型來表征，然而考慮到路基在壓實過程中會經(jīng)歷大塑性變形-小塑性變形-近彈性變形的演化過程，彈性路基模型可以用于鋼輪在壓實末期（路基近彈性階段）的動態(tài)響應(yīng)分析，但是并不能很好地反映前期彈塑性階段路基的特性；而非對稱滯回模型能較好地刻畫鋼輪與路基的非線性相互作用，但不能直接反映被壓實材料的塑性變形，故而無法直接評判壓實效果。

為盡可能真實地反映整個壓實過程中路基的力學(xué)特性，Pietzsch 等［15］考慮路基的塑性變形，提出了黏彈塑性振動壓實模型，并對壓實過程中鋼輪動態(tài)響應(yīng)進行簡單的研究，但該模型較復(fù)雜，應(yīng)用起來比較困難。Kordestani［16］簡化了黏彈塑性路基模型，并基于該模型對鋼輪動態(tài)響應(yīng)進行了初步分析，但未對鋼輪隨壓實作業(yè)的進行，路基碾壓狀態(tài)發(fā)生變化時的動力學(xué)行為演化規(guī)律進行深入研究。

本文考慮路基在壓實作業(yè)過程中力學(xué)特性的演變，引入狀態(tài)向量σ來描述鋼輪與路基之間的相互作用，引入塑性參數(shù)ε來描述路基的彈塑性狀態(tài)，建立了描述振動壓路機鋼輪運動狀態(tài)的機-路耦合動力學(xué)模型，系統(tǒng)地研究了壓實作業(yè)各個階段振動壓路機鋼輪動力學(xué)響應(yīng)及其演化規(guī)律，詳細分析了鋼輪在不同壓實階段的運動狀態(tài)。

1 壓路機-彈塑性路基耦合動力學(xué)模型

根據(jù)壓路機的機械結(jié)構(gòu)特征以及工作特點，對模型做如下假設(shè)：（1）將振動壓路機的鋼輪視作剛性體，簡化為集中質(zhì)量；（2）忽略壓路機車架慣性力的影響，建模中只考慮其質(zhì)量；（3）將振動壓路機和路基模型簡化為二維模型；（4）振動壓路機鋼輪上產(chǎn)生的激振力可以分為水平方向和豎直方向的分力，由于對路基起主要壓實作用的是豎直方向的力，為了簡化模型，只考慮壓路機鋼輪豎直方向上的運動。

圖1 所示為壓路機-彈塑性路基耦合動力學(xué)模型，分為上下兩部分，分別為振動壓路機的模型和路基的模型。對于振動壓路機，將鋼輪等效為一個內(nèi)部有偏心質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)的剛體，將機架等效為一個集中質(zhì)量；對于路基，考慮了路基的彈塑性特性，通過加入塑性元件來表示在壓實過程中路基產(chǎn)生的塑性變形。其中，模型的主要參數(shù)為：xd為鋼輪豎向位移，xe為路基的彈性變形，xp為路基的塑性變形，kp為路基的塑性剛度，ke為路基的彈性剛度，ce為路基的黏彈性阻尼，md為鋼輪質(zhì)量，mf為車架的等效質(zhì)量，me為鋼輪內(nèi)部偏心質(zhì)量塊質(zhì)量，re為偏心質(zhì)量塊偏心距離，Ω為偏心質(zhì)量塊旋轉(zhuǎn)角速度，其中Ω=2πf，f為質(zhì)量塊的旋轉(zhuǎn)頻率也是鋼輪壓實的激振頻率。

圖1 振動壓路機-路基耦合模型Fig.1 Vibratory roller-subgrade coupling model

本模型以路基靜平衡位置為坐標原點，方向豎直向下為正，對振動壓路機鋼輪進行豎直方向的受力分析，由牛頓第二定律，可得其動力學(xué)方程：

式中A0為名義振幅，A0=mere/md；t為時間；Fs為路基的動態(tài)作用力，F(xiàn)s=FT-(md+mf)g，其中FT為路基與鋼輪之間的接觸力。

路基的動態(tài)作用力Fs可分別根據(jù)路基的塑性變形和彈性變形得出：

模型的靜平衡位移us為：

引入塑性參數(shù)ε描述路基彈塑性特性：

該參數(shù)可以反映路基的壓實程度，在路基壓實過程中，塑性參數(shù)ε隨著壓實遍數(shù)的增加逐漸增大，從0 逐漸趨近于1，具體數(shù)值根據(jù)試驗確定。

將方程式（3）等式兩端均乘以ε，結(jié)合式（5）整理可得鋼輪位移xd與路基彈性變形xe的關(guān)系：

如圖2所示，根據(jù)路基與鋼輪之間的接觸力和鋼輪速度方向，將鋼輪的一個壓實周期的運動狀態(tài)歸為三類：

圖2 三種壓實狀態(tài)Fig.2 Three compaction status

（a）加載狀態(tài)：鋼輪向下壓實路基，位移速度方向向下，此時鋼輪與路基持續(xù)接觸，路基產(chǎn)生彈塑性變形，直到鋼輪速度為0，如圖2（a）所示。

將式（2）代入式（1）可得：

式（7）兩端均乘以ε，并求導(dǎo)，結(jié)合式（5）整理可得：

將方程（7）和（8）等式兩端分別相加，結(jié)合式（6），消去xe和相關(guān)項，整理可得關(guān)于xd及其導(dǎo)數(shù)的運動方程：

（b）卸載狀態(tài)：鋼輪由最大彈塑性變形位置向上運動，位移速度方向向上，路基在加載狀態(tài)時產(chǎn)生的塑性變形不可恢復(fù)，路基只恢復(fù)彈性變形，直到路基完全恢復(fù)其彈性變形，同時鋼輪保持與路基的接觸，如圖2（b）所示。將式（2）代入式（1），可得系統(tǒng)動力學(xué)方程：

（c）脫離狀態(tài)：分為兩種工況，一種為鋼輪與路基的實際表面失去接觸，但是鋼輪位移未超過未被壓實的路基表面，此時鋼輪與路基之間是周期性失去接觸的狀態(tài)；另一種工況則是鋼輪位移超過未被壓實的路基表面，為跳振狀態(tài)。狀態(tài)示意圖如圖2（c）所示。脫離狀態(tài)路基與鋼輪之間的接觸力FT=0，由式（1）可得：

為了更加簡明地描述振動壓實過程中振動壓路機鋼輪的運動狀態(tài)，引入狀態(tài)向量σ=（σ0，σ1，σ2，σ3，σ4，σ5）來表征鋼輪與路基相互作用狀態(tài)，取值如表 1所示。其中σ0為狀態(tài)標識，σ1，σ2，σ3，σ4，σ5對應(yīng)狀態(tài)量。進而，鋼輪的動力學(xué)方程可統(tǒng)一表示為：

為便于數(shù)值求解，進一步可將三階常微分方程（12）寫成狀態(tài)空間方程的形式：

表1 狀態(tài)向量數(shù)值Tab.1 State vector values

圖3 表示出了文中的鋼輪壓實位置關(guān)系，其中“路基的實際表面”為壓實過程中任意時刻路基與鋼輪接觸的位置；而“未被壓實的路基表面”則是路基還未被鋼輪壓實、處于自然狀態(tài)下的表面位置。

圖3 壓實位置關(guān)系Fig.3 Compacting position relationships

2 數(shù)值仿真

針對某型號振動壓路機進行仿真，壓路機參數(shù)如表2所示。仿真中塑性參數(shù)ε與壓實遍數(shù)之間的關(guān)系參考文獻［16］，如圖4所示，工程中具體可根據(jù)試驗確定。在振動壓路機壓實過程中，隨著壓實遍數(shù)的增多，路基塑性參數(shù)在不斷增大，壓路機鋼輪在不同塑性參數(shù)路基的情況下，動力學(xué)響應(yīng)特征也存在差異。選取壓實第1，4，7和12遍時的路基參數(shù)來研究振動壓實過程中鋼輪的動力學(xué)響應(yīng)，路基參數(shù)的選取如表3 所示，其中的路基剛度以及路基阻尼都是根據(jù)壓路機施工現(xiàn)場歷史數(shù)據(jù)所得。

表2 壓路機仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters of the vibratory roller

表3 彈塑性路基仿真參數(shù)（ce=130 kN·s/m）Tab.3 Simulation parameters of elastoplastic subgrade（ce=130 kN·s/m）

圖4 塑性參數(shù)與壓實遍數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between plastic parameters and compacting times

壓實初期第1 遍壓實，塑性參數(shù)ε=0.34，此時鋼輪的動態(tài)響應(yīng)如圖5 所示，可以從時間歷程的圖像中看到路基顯著的彈塑性變形，頻譜圖中只有一個主頻存在，其中0 頻率成分對應(yīng)鋼輪壓實時的靜變形，Poincaré 截面圖中只存在一個孤立相點。由圖6 可知，壓實力FT是連續(xù)的曲線，說明鋼輪在壓實過程中一直與路基保持接觸，鋼輪運動是處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）不斷交替的狀態(tài)。

圖5 塑性參數(shù)ε=0.34Fig.5 Plasticity parameter ε=0.34

圖6 塑性參數(shù)ε=0.34Fig.6 Plasticity parameter ε=0.34

壓實中期第4 遍壓實，塑性參數(shù)ε=0.72，此時鋼輪的動態(tài)響應(yīng)如圖7 所示，從時間歷程上可以看出鋼輪仍然是在未被壓實路基表面以下運動，但是在圖8 中FT隨時間變化會出現(xiàn)周期性為零的情況，即在壓實過程中鋼輪出現(xiàn)周期性脫離路基的運動。因此壓實中期階段振動壓實處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）-脫離（σ0=3）不斷切換的狀態(tài)。盡管有脫離地面振動的情況，但是鋼輪的運動沒有超出未被壓實路基表面，因此不會對路基產(chǎn)生有害壓實。

圖7 塑性參數(shù)ε=0.72Fig.7 Plasticity parameter ε=0.72

圖8 塑性參數(shù)ε=0.72Fig.8 Plasticity parameter ε=0.72

壓實后期第7 遍壓實，塑性參數(shù)ε=0.87，鋼輪的動態(tài)響應(yīng)如圖9 所示，此時路基被壓實到一定程度，塑性剛度很大，處于倍周期運動的狀態(tài)，頻譜中出現(xiàn)次諧波成分，鋼輪出現(xiàn)明顯的“雙跳”現(xiàn)象。據(jù)圖10 可知，此時振動壓實處于加載（σ0=1）-卸載（σ0=2）-脫離（σ0=3）不斷切換的狀態(tài)，且鋼輪運動會超出未被壓實路基表面，會對路基產(chǎn)生有害壓實。

圖9 塑性參數(shù)ε=0.87Fig.9 Plasticity parameter ε=0.87

壓實末期第12 遍壓實，塑性參數(shù)ε=0.93，鋼輪動態(tài)響應(yīng)如圖11 所示，從時間歷程、相圖中可以看出，鋼輪運動無規(guī)則，頻譜圖有一條連續(xù)的譜線，并且Poincaré 截面中存在吸引子，說明鋼輪已經(jīng)進入混沌運動狀態(tài)。從圖12 中可以清楚地看到，此時鋼輪與路基之間的接觸力FT的變化也是無序的，易造成壓實不均的情況，對路基產(chǎn)生有害壓實。

圖12 塑性參數(shù)ε=0.93Fig.12 Plasticity parameter ε=0.93

為了研究鋼輪在路基接近彈性狀態(tài)時的動態(tài)響應(yīng)，取ε=0.93 繪制以路基彈性剛度ke為參數(shù)的分岔圖，范圍為70～90 MN/m，路基阻 尼ce=130 kN·s/m，如圖 13 所示。從圖13 中可以看出，路基剛度范圍為70～75.3 MN/m 之間時，鋼輪在進行單周期運動，而在75.3～85.1 MN/m 之間時，鋼輪處于多周期運動窗口，在路基剛度大于85.1 MN/m 之后，鋼輪的運動通過倍周期分岔進入混沌。

圖13 ε=0.93 時以剛度為分岔參數(shù)的分岔圖Fig.13 The bifurcation diagram with stiffness as bifurcation parameter ε=0.93

圖13 分析了路基參數(shù)對鋼輪動響應(yīng)的影響，由于在ε=0.93 時，路基彈性剛度達到一定程度，鋼輪容易發(fā)生“跳振”工況，圖 14 進一步研究了壓路機參數(shù)對鋼輪動響應(yīng)的影響。圖14中給出了由九幅分岔圖（L1～L9）組成的三維圖像，這些分岔圖以激振頻率為分岔參數(shù)，激振頻率的變化區(qū)間為10～35 Hz，名義振幅的取值區(qū)間為0.5～2 mm，繪制時路基剛度和阻尼分別設(shè)定為70 MN/m 和130 kN·s/m。如圖14 所示，當名義振幅在0.5～1.25mm的時候，在圖示頻率范圍內(nèi)，鋼輪運動通常呈現(xiàn)單周期運動的狀態(tài)；當名義振幅在1.5～2.5mm時，隨著激振頻率的增加，鋼輪的動態(tài)響應(yīng)由單周期轉(zhuǎn)向多周期，甚至進入混沌狀態(tài)，最終又會恢復(fù)到單周期運動。另外，隨著名義振幅的增加，出現(xiàn)“跳振”時的激振頻率數(shù)值逐漸變小。

圖14 不同名義振幅下以激振頻率f 為分岔參數(shù)的分岔圖Fig.14 Bifurcation diagrams with excitation frequency f as bifurcation parameter under different nominal amplitudes

3 結(jié)論

本文引入狀態(tài)向量σ來描述鋼輪與路基之間的相互作用，引入塑性參數(shù)ε來描述路基的彈塑性狀態(tài)，建立了描述振動壓路機鋼輪運動狀態(tài)的壓路機-路基耦合動力學(xué)模型。基于該模型，采用數(shù)值積分的方法，對壓實各個階段壓路機鋼輪的響應(yīng)特征進行了分析。主要結(jié)論如下：

（1）本文通過引入描述鋼輪與路基之間的相互作用的狀態(tài)向量σ和塑性參數(shù)ε，建立了壓路機-路基耦合動力學(xué)模型，考慮了振動壓實過程中路基力學(xué)特性的變化，可以用于分析振動壓實作業(yè)各階段壓路機鋼輪的動響應(yīng)。

（2）隨著壓實作業(yè)的進行，振動壓路機鋼輪會經(jīng)歷“單周期運動-倍周期運動-混沌運動”的動力學(xué)演化，在單周期運動時存在與路基持續(xù)接觸和周期性失去接觸的工況，在倍周期以及混沌運動時出現(xiàn)“跳振”現(xiàn)象。

（3）在壓實作業(yè)的初期和中期，振動壓路機鋼輪運動呈現(xiàn)單周期運動的特點，盡管也有脫離路基的情況，但鋼輪運動始終在未被壓實路基表面以下，不會出現(xiàn)有害壓實；而在壓實的后期，無論是倍周期還是混沌運動，鋼輪均會出現(xiàn)超出未壓實路基表面的情況，對路基產(chǎn)生有害壓實，應(yīng)在現(xiàn)場施工時盡量規(guī)避。

（4）在路基接近彈性的情況下，隨著路基剛度的增加，振動壓路機鋼輪呈現(xiàn)“單周期運動-倍周期運動-混沌運動”的運動響應(yīng)特征，與采用彈塑性路基模型分析的結(jié)果類似。