沈進(jìn)中，朱洪波，李學(xué)洋

（安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

文獻(xiàn)［1］第166-167頁例4.25“設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制其根軌跡并判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。”結(jié)論是該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一個(gè)圓周；文獻(xiàn)［2］第189頁習(xí)題4～6，證明一個(gè)二階系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一個(gè)圓周。基于以上二階系統(tǒng)根軌跡與圓周的聯(lián)系，筆者經(jīng)過細(xì)致的分析、嚴(yán)格的推導(dǎo)，最終解決所有二階系統(tǒng)根軌跡的精確繪制問題，并以數(shù)學(xué)定理的形式展現(xiàn)出來，以便讀者理解與運(yùn)用。

1 二階系統(tǒng)的根軌跡

二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式有且只有如下3種數(shù)學(xué)形式。

式中：K∈[0，∞)，為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。

定理1二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

中，b、c同時(shí)為實(shí)數(shù)或?yàn)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)，那么

（1） 如果b、c同時(shí)是實(shí)數(shù)，且b≠c，則系統(tǒng)根軌跡如圖1所示；

圖1 b、c不相等Fig. 1 b and c are not equal

（2） 如果b、c同時(shí)是實(shí)數(shù)，且b=c，則系統(tǒng)根軌跡如圖2所示；

圖2 b、c相等Fig. 2 b and c are equal

（3） 如果b、c為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，則系統(tǒng)根軌跡如圖3所示。

圖3 b、c為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)Fig. 3 b and c are a pair of conjugate complex numbers

證明：由開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程的關(guān)系，可得閉環(huán)特征方程

它的兩個(gè)閉環(huán)特征根分別為：

容易得出如下結(jié)論。

（1） 如果b、c均為實(shí)數(shù)，且b≠c，那么系統(tǒng)的根軌跡起始于b和c；隨著K= 0 →∞，系統(tǒng)的根軌跡如圖1所示。

（2） 如果b、c均為實(shí)數(shù)，且b=c，那么系統(tǒng)的根軌跡起始于b和c，此時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)s1=b+；隨著K= 0 →∞，系統(tǒng)的根軌跡如圖2所示。

（3） 如果b、c為一堆共軛復(fù)數(shù)，那么系統(tǒng)的根軌跡起始于b和c，此時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為：

隨著K= 0 →∞，系統(tǒng)的根軌跡如圖3所示。

證畢！

定理2二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

中，a為實(shí)數(shù)，b和c同時(shí)為實(shí)數(shù)或?yàn)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù)，那么

（1） 如果b、c同時(shí)是實(shí)數(shù)，且b≠c、a不在b和c之間，則系統(tǒng)根軌跡如圖4 所示，根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一個(gè)圓周，圓心坐標(biāo)為（a，0）、半徑為；

圖4 a不在b、c之間Fig. 4 a is not between b and c

（2） 如果b、c同時(shí)是實(shí)數(shù)，且b≠c、a在b和c之間，則系統(tǒng)根軌跡如圖5 所示，根軌跡都在實(shí)軸上；

圖5 a在b、c之間Fig. 5 a is between b and c

（3） 如果b、c同時(shí)是實(shí)數(shù)，且b=c，則系統(tǒng)根軌跡如圖6所示，根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一個(gè)圓周，圓心坐標(biāo)為（a，0）、半徑為；

圖6 b=cFig. 6 b=c

（4） 如果b、c為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，則系統(tǒng)根軌跡如圖7所示，根軌跡的復(fù)數(shù)部分是圓周的一部分，圓心坐標(biāo)為（a，0）、半徑為。

圖7 b、c為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)Fig. 7 b and c are a pair of conjugate complex numbers

證明：不論b、c為何種情形，只要b+c為實(shí)數(shù)，b·c必為實(shí)數(shù)。由開環(huán)傳遞函數(shù)的形式，可寫出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程

化簡可得

將復(fù)數(shù)s寫成代數(shù)式s=x+ jy（y≠0），并代入式(1)，得

化簡得

根據(jù)實(shí)部和虛部均為零，得：

由于y≠0，從而有

根據(jù)式（2）、式（4），消去K得

整理得

進(jìn)一步整理得

因此，當(dāng)

（1）b、c均為實(shí)數(shù)，且b≠c、a不在b與c之間時(shí)，(a-b) ·(a-c) ＞0。顯然s=x+ jy(y≠0)是圓周上的點(diǎn)，且圓周的圓心為（a，0）、半徑r=。

根軌跡的實(shí)數(shù)分離點(diǎn)d滿足方程

化簡可得

顯然，分離點(diǎn)d也是圓周(x-a)2+y2=(a-b)(a-c)上的點(diǎn)。因此，分離點(diǎn)d到開環(huán)零點(diǎn)的距離就是該圓周的半徑。

（2）b、c均為實(shí)數(shù)，且b≠c、a在b與c之間時(shí)，(a-b) ·(a-c) ＜0。顯然，s=x+ jy(y≠0)不是圓周上的點(diǎn)。此時(shí)系統(tǒng)根軌跡全落在實(shí)數(shù)軸上，沒有除了實(shí)數(shù)軸以外的復(fù)數(shù)部分。

（3）b、c均為實(shí)數(shù)，且b=c，此時(shí)式（5）退化為(x-a)2+y2=(a-b)2＞0（分子分母沒有零極點(diǎn)相消），可見根軌跡的復(fù)數(shù)部分是(x-a)2+y2=(a-b)2＞0的圓周。

（4）b、c為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即b=σ+ jω、c=σ- jω(ω≠0)，則式（5）變?yōu)?x-a)2+y2=a2+bc-a(b+c) =(a-σ)2+ω2＞0，可見根軌跡的復(fù)數(shù)部分是這個(gè)圓周的一部分圓?。ú皇钦麄€(gè)圓周）。

定理3設(shè)二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（不出現(xiàn)零極點(diǎn)相消），其中a和d同時(shí)為實(shí)數(shù)或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，b和c同時(shí)為實(shí)數(shù)或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，那么系統(tǒng)的根軌跡有如下特點(diǎn)。

（1） 如果b+c≠a+d，那么根軌跡要么全在實(shí)數(shù)軸上，要么有一部分在實(shí)數(shù)軸以外，且實(shí)數(shù)軸以外部分的根軌跡是圓周的一部分或者是整個(gè)圓周，如圖8所示。

圖8 b+c≠a+dFig. 8 b+c≠a+d

（2） 如果b+c=a+d，那么根軌跡要么全在實(shí)數(shù)軸上，要么有一部分在實(shí)數(shù)軸以外，且實(shí)數(shù)軸以外部分的根軌跡是直線x=(a+d)/2 的一部分（非整條直線），如圖9所示。

圖9 b+c=a+dFig. 9 b+c=a+d

證明：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與特征方程的關(guān)系，可得閉環(huán)特征方程

經(jīng)過化簡，得

將s寫成復(fù)數(shù)的形式s=x+ jy（y≠0），并帶入式（6），再根據(jù)復(fù)數(shù)等于零的等價(jià)條件，即復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均為零，可得：

由于y≠0，可見s是根軌跡復(fù)數(shù)部分上的點(diǎn)。

從式（8）可得

將式（9）代入式（7），得

顯然，如果

（1）b+c≠a+d，則式（10）表示一個(gè)圓周；

（2）b+c=a+d，由式（8）可得K= -1 或者x=(a+d)/2。

將K= -1代入式（7），可得bc=ad，可見集合{b，c}={a，d}。此時(shí)，該二階系統(tǒng)出現(xiàn)零極點(diǎn)相消，與題設(shè)相矛盾，因此K≠-1，從而有x=(a+d)/2。此時(shí)系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是直線x=(a+d)/2上的一個(gè)部分（不是整個(gè)直線）。

證畢！

2 仿真實(shí)例

例1 文獻(xiàn)［1］第166-167 頁的例4.25：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試?yán)L制其根軌跡并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：根據(jù)定理2 的結(jié)論（1），可知該系統(tǒng)根軌跡在復(fù)平面的部分是一個(gè)圓周，圓心為（-1，0）、半徑為 0.45。采用MATLAB 軟件繪制該系統(tǒng)根軌跡，如圖10 所示。由圖10 可見，系統(tǒng)根軌跡都在s平面的左半平面。因此，只要Kg＞0，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。

圖10 例1中系統(tǒng)的根軌跡Fig.10 The root locus of the system in Example 1

例2 文獻(xiàn)［2］第189 頁習(xí)題4～6：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試從數(shù)學(xué)上證明復(fù)數(shù)根軌跡部分是以（-2，0）為圓心、為半徑的圓。

證明：分析得知開環(huán)極點(diǎn)分別為0和-1、開環(huán)零點(diǎn)為-2，由定理2 中的結(jié)論（1）可知，該系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是一個(gè)圓，圓心為開環(huán)零點(diǎn)（-2，0）、半徑為。該系統(tǒng)根軌跡如圖11所示。

圖11 例2中系統(tǒng)的根軌跡Fig.11 The root locus of the system in Example 2

例3 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s) =，試?yán)L制其根軌跡。

解：這是一個(gè)含有兩個(gè)零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，顯然b+c= 2，a+d= -7，b+c≠a+d。由定理3可知，系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是圓周，在實(shí)軸上的分布為[-5，- 2]、[-1，3]。采用MATLAB 軟件繪制該系統(tǒng)根軌跡，如圖12 所示。由圖12 可知，與定理3的結(jié)論完全吻合。

圖12 例3中系統(tǒng)的根軌跡Fig. 12 The root locus of the system in Example 3

3 結(jié)束語

本文從二階系統(tǒng)根軌跡的個(gè)例出發(fā)，通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，給出了所有二階系統(tǒng)根軌跡的精確形狀。簡單地說，就是二階系統(tǒng)根軌跡的復(fù)數(shù)部分（如果存在的話），一定是一個(gè)完整的圓周或圓周的一部分。

文獻(xiàn)［2］第161 頁雖然有文字表述定理2 的內(nèi)容，但并無具體傳遞函數(shù)的表述，也沒有任何數(shù)學(xué)證明，想要準(zhǔn)確理解其中的含義比較困難。文獻(xiàn)［1-4］分析系統(tǒng)的根軌跡是用相角條件的，繪制的根軌跡都是概略根軌跡，本文則是直接從根軌跡方程出發(fā)，得出二階系統(tǒng)根軌跡的精確形狀，處理問題的思路更為直接。對(duì)于三階乃至更高階的開環(huán)傳遞函數(shù)，對(duì)應(yīng)的根軌跡是否有特殊形狀，需要將來慢慢探索。