楊 曉

(四川省廣漢市職業(yè)中專學(xué)校,四川 廣漢 618300)

0 引言

在機(jī)械加工和裝配過程中,機(jī)構(gòu)的尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙是不可避免,這將導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)和理想運(yùn)動(dòng)存在一定的偏差。對(duì)于精密設(shè)備而言,這些偏差可能導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)精度下降、可靠性降低以及使用壽命縮短。平面機(jī)構(gòu)廣泛運(yùn)用于工業(yè)設(shè)備中,很多設(shè)備的基本運(yùn)行原理都可以簡(jiǎn)化為平面機(jī)構(gòu)的組合,如:牛頭刨床中可以簡(jiǎn)化為曲柄搖桿機(jī)構(gòu),往復(fù)式活塞發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為曲柄滑塊機(jī)構(gòu)等。

近年來, 眾多學(xué)者提出了不同的方法和模型對(duì)平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[1,2,3]采用赫茲碰撞理論對(duì)運(yùn)動(dòng)副間隙接觸進(jìn)行建模,在此基礎(chǔ)上建立平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程從而分析執(zhí)行部件的可靠性。基于接觸理論進(jìn)行建模較為復(fù)雜,很多參數(shù)難以直接測(cè)量,在實(shí)際工程中應(yīng)用較為困難。文獻(xiàn)[4,5,6]分析了具有桿長(zhǎng)誤差的平面運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)可靠性并開展了優(yōu)化設(shè)計(jì),這些研究中忽略了運(yùn)動(dòng)副間隙的影響。

為了綜合分析桿長(zhǎng)誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)于平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性的影響,本文將以曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,根據(jù)概率方法對(duì)桿長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)副誤差建模,在此基礎(chǔ)上建立曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并采用蒙特卡洛方法對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性進(jìn)行分析,為精密機(jī)械的可靠性設(shè)計(jì)和研究提供技術(shù)支撐。

1 平面機(jī)構(gòu)建模

本文的研究主要圍繞平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)展開,根據(jù)理想剛體假設(shè)忽略了桿件及運(yùn)動(dòng)副的變形和磨損等因素,僅考慮桿長(zhǎng)誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠性的影響。

1.1 機(jī)構(gòu)組成

以典型的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)為例,在曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中包含兩個(gè)桿件L1和L2,包含3個(gè)運(yùn)動(dòng)副C1、C2和C3,運(yùn)動(dòng)副與桿的連接關(guān)系如圖1所示。其中L1為曲柄,繞運(yùn)動(dòng)副C1旋轉(zhuǎn),其轉(zhuǎn)動(dòng)角與水平方向的夾角為α。曲柄L1與連桿L2通過運(yùn)動(dòng)副C2連接,L2與水平方向的夾角為β。連桿L2與滑塊通過運(yùn)動(dòng)副C3連接,滑塊與運(yùn)動(dòng)副C1的距離為s。

圖1 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖

1.2 桿長(zhǎng)誤差建模

對(duì)于大量生產(chǎn)的同一型號(hào)的連桿而言,其實(shí)際尺寸受到多重因素的共同作用,因此可以假設(shè)其實(shí)際分布符合正態(tài)分布。因此曲柄和連桿的長(zhǎng)度可以表示為:

(1)

其中,μi、σi分別為第i個(gè)桿件的長(zhǎng)度的期望和標(biāo)準(zhǔn)差。

1.3 運(yùn)動(dòng)副間隙誤差建模

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中的運(yùn)動(dòng)副主要包括轉(zhuǎn)動(dòng)副和滑動(dòng)副。曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸出的主要運(yùn)動(dòng)為往復(fù)直線運(yùn)動(dòng),并且實(shí)際使用中單個(gè)滑動(dòng)副的誤差極小,因此本文主要考慮多個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副引起的運(yùn)動(dòng)誤差。

對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副而言,可簡(jiǎn)化為軸套和軸頸的工作模型。在運(yùn)動(dòng)過程中,轉(zhuǎn)動(dòng)副存在自由間隙(圖2(a))、理想接觸(圖2(b))、碰撞擠壓(圖2(c))三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖2 運(yùn)動(dòng)副間隙的不同形式

以軸套圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,軸頸圓心的坐標(biāo)可以表示為(XCi,YCi),那么在任意時(shí)刻軸頸圓心與原點(diǎn)的距離eCi可以表示為:

(2)

在理想接觸下,內(nèi)切于軸套的軸頸圓心與原點(diǎn)的距離為rCi,此時(shí)eCi-rCi=0。在自由間隙的情況下,軸頸在軸套內(nèi)自由移動(dòng),可以表示為eCi-rCi<0。當(dāng)軸頸和軸套相互擠壓,軸頸和軸套發(fā)生彈性變形eCi-rCi>0。因此含間隙的轉(zhuǎn)動(dòng)副Ci(i=1,2,3)的運(yùn)動(dòng)模式可以表示為:

(3)

由于軸承和軸頸剛度一般都比較大,碰撞擠壓運(yùn)動(dòng)時(shí)變形量較小,因此將軸承和軸頸視為剛體,碰撞擠壓運(yùn)動(dòng)模式就轉(zhuǎn)化為了理想接觸。假設(shè)軸頸中心位置在軸套內(nèi)部的所有可能位置分布為均勻分布,則軸頸中心的概率密度函數(shù)可以表示為:

(4)

其中,xCi和yCi為軸頸中心位置坐標(biāo)的隨機(jī)變量。

1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

根據(jù)桿長(zhǎng)誤差、運(yùn)動(dòng)副間隙和運(yùn)動(dòng)約束的限制,如圖1所示的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的閉環(huán)方程可以表示為:

(5)

消去方程中的角度β,滑塊的實(shí)際位置可以表示為:

s(α)=f(α|L,X,Y)

(6)

其中,L為桿長(zhǎng)向量,L={L1,L2};X和Y分別為各軸頸圓心的坐標(biāo)向量,X={XC1,XC2,XC3},Y={YC1,YC2,YC3};f(α|L,X,Y)是桿長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)副誤差條件下的滑塊位置函數(shù)。

在理想情況下,曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中的桿長(zhǎng)為一個(gè)確定值,并且不含有運(yùn)動(dòng)副間隙誤差,滑塊運(yùn)動(dòng)的理想位置sidea(α)可以表示為:

(7)

根據(jù)式(6)和式(7),得到滑塊實(shí)際位置與理想位置的誤差E(α),可以表示為:

E(α)=|s(α)-sidea(α)|

(8)

設(shè)允許的運(yùn)動(dòng)誤差為ε,則系統(tǒng)的可靠度R(α)可以表示為:

R(α)=Pr{E(α)≤ε}

=Pr{-ε≤E(α)≤ε}

(9)

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差的求解方法

式(9)中存在多個(gè)隨機(jī)變量,采用蒙塔卡洛方法計(jì)算系統(tǒng)的可靠度,計(jì)算步驟如下:

Step1.分別生成m組曲柄和連桿桿長(zhǎng)的隨機(jī)向量L1={l11,l12,…,l1m}和L2={l21,l22,…,l2m};

Step2.分別生成m組運(yùn)動(dòng)副Ci(i=1,2,3)的間隙誤差(XCi,YCi)={{xi1,yi1};{xi2,yi2};…;{xim,yim}}(i=1,2,3);

Step3.將曲柄轉(zhuǎn)角離散為n個(gè)點(diǎn),離散后轉(zhuǎn)角的向量為α={α1,α2,…,αn}。

Step4.將得到的隨機(jī)向量L1,L2,XCi,YCi(i=1,2,3)以及α帶入式(6)中,計(jì)算相應(yīng)的滑塊的位移sm×n;

Step5.不計(jì)桿長(zhǎng)誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙的情況下,根據(jù)式(7)計(jì)算不同轉(zhuǎn)角α下的滑塊位置sidea,1×n

Setp6.對(duì)于任意角度αj(j=1,2,…,n),計(jì)算相應(yīng)位置|sm×j-sidea,j|≤ε內(nèi)的個(gè)數(shù)為pj個(gè),則對(duì)應(yīng)時(shí)刻的可靠度為:

(10)

3 數(shù)值研究

在曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中曲柄和連桿的桿長(zhǎng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ1=60 mm,σ1=0.025 mm,μ1=120 mm,σ2=0.025 mm。各運(yùn)動(dòng)副中內(nèi)切于軸套的軸頸圓心與原點(diǎn)的距離均為rCi=0.05 mm,曲柄的轉(zhuǎn)角范圍為[0,2π],轉(zhuǎn)角離散點(diǎn)數(shù)為n=1000。為了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,生成的隨機(jī)變量m=1×106,在整個(gè)運(yùn)行周期中,滑塊的最大允許誤差為ε=0.1 mm。

在不考慮曲柄、連桿和運(yùn)動(dòng)副誤差的情況下,滑塊的理想運(yùn)動(dòng)曲線如圖3所示。

圖3 理想情況下曲柄轉(zhuǎn)角與滑塊位移關(guān)系

3.1 桿長(zhǎng)方差對(duì)于可靠度的影響

當(dāng)桿長(zhǎng)均值固定,不考慮運(yùn)動(dòng)副間隙時(shí),曲柄和連桿長(zhǎng)度的方差分別為σ=0.02 mm,0.025 mm,0.03 mm的條件下,滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度如圖4所示。

圖4 桿長(zhǎng)方差變化下的可靠度

隨著方差的增大,滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度整體呈下降的趨勢(shì)。在方差為0.02 mm,0.025 mm和0.03mm下,滑塊位置的最小可靠度R(α)分別為0.9997,0.9972和0.9895?；瑝K運(yùn)動(dòng)可靠度最小時(shí)對(duì)應(yīng)的曲柄轉(zhuǎn)角α∈(π/2π)∪(π,3π/2),隨著方差的增大,最小可靠度的位置也在逐漸向α=π的位置靠近。

3.2 桿長(zhǎng)均值對(duì)于可靠性的影響

當(dāng)桿長(zhǎng)的方差和連桿的均值不變時(shí),曲柄均值分別為μ1=40 mm,60 mm,80 mm的條件下(桿長(zhǎng)均值比μ1/μ2=0.33,0.50,0.67),滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度如圖5所示。當(dāng)桿長(zhǎng)的方差和曲柄的均值不變時(shí),連桿均值分別為μ2=90 mm,120 mm,180 mm的條件下(桿長(zhǎng)均值比μ1/μ2=0.67,0.50,0.33),滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度如圖6所示。

圖5 不同曲柄均值下的可靠度

圖6 不同連桿均值下的可靠度

從圖5和圖6可以看出,在相同的桿長(zhǎng)均值比μ1/μ2的條件下,滑塊運(yùn)動(dòng)可靠度相同。不同桿長(zhǎng)比下,曲柄轉(zhuǎn)角α=0和α=π時(shí)滑塊運(yùn)動(dòng)可靠度相等,其中R(0)=R(π)=0.9976。較小的桿長(zhǎng)均值比μ1/μ2的條件下,滑塊運(yùn)動(dòng)可靠度較高,因此在機(jī)構(gòu)綜合考慮過程中,可以通過該方法提高機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的可靠度。

3.3 運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)于可靠性的影響

當(dāng)桿長(zhǎng)是一個(gè)定值時(shí),運(yùn)動(dòng)副間隙分別為rCi=0.045 mm,0.05 mm,0.055 mm,滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度如圖7所示。

圖7 不同運(yùn)動(dòng)副間隙下的可靠度

如圖7所示,滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠度隨著運(yùn)動(dòng)副間隙的增加而降低。在α=π/2和α=3π/2位置時(shí),由于運(yùn)動(dòng)副間隙誤差導(dǎo)致的滑塊運(yùn)動(dòng)可靠度最低;在α=0和α=π時(shí),運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)的可靠性影響最小。

3.4 綜合影響下的可靠性

當(dāng)桿長(zhǎng)均值一定時(shí),由桿長(zhǎng)方差、運(yùn)動(dòng)副間隙和兩者共同作用下的滑塊運(yùn)動(dòng)可靠性如圖8所示。相比于單一模式下,由于運(yùn)動(dòng)副間隙和桿長(zhǎng)方差所主導(dǎo)的滑塊運(yùn)動(dòng)誤差在不同轉(zhuǎn)角α下達(dá)到最大值,因此兩種誤差共同作用下的可靠度在不同轉(zhuǎn)角下的變化得到抑制。同時(shí)由于誤差累加的影響,在考慮兩種誤差共同作用下,滑塊總體的運(yùn)動(dòng)可靠度快速下降:僅考慮桿長(zhǎng)方差或者運(yùn)動(dòng)副間隙單一作用下,滑塊在整個(gè)周期中的最小運(yùn)動(dòng)可靠度為0.9967,當(dāng)考慮共同誤差作用時(shí),整個(gè)運(yùn)行周期中的最大可靠度為0.9862。

圖8 單一誤差和綜合誤差下的可靠度

4 結(jié)論

在考慮平面機(jī)構(gòu)的桿件誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙的基礎(chǔ)上,建立了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的概率運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并采用數(shù)值方法對(duì)模型進(jìn)行求解和分析。數(shù)值研究表明:

(1)桿長(zhǎng)誤差會(huì)導(dǎo)致曲柄轉(zhuǎn)角在α∈(π/2,π)∪(π,3π/2)范圍內(nèi)出現(xiàn)最大的失效概率;桿長(zhǎng)方差和桿長(zhǎng)比相同的情況下機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)失效概率一致。

(2)曲柄轉(zhuǎn)角為α=π/2和3π/2時(shí),運(yùn)動(dòng)副間隙導(dǎo)致的失效概率最高;在曲柄轉(zhuǎn)角為α=0和α=π時(shí),運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)可靠性影響最小。

(3)在運(yùn)動(dòng)副間隙和桿長(zhǎng)誤差共同作用下機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)可靠度將快速下降。