張 俊,劉天宋

(江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學院 常州劉國鈞分院,江蘇 常州 213000)

0 引言

等截面四點接觸球軸承是先進制造業(yè)中的重要零件,起到兩部件之間旋轉(zhuǎn)和傳遞載荷的作用,由滾動體、內(nèi)圈、外圈和保持架等部件組成 ,可同時承受軸向力、徑向力、傾覆力矩的綜合載荷,廣泛用于精密儀器、機床、工程機械、工業(yè)機械人等領(lǐng)域。隨著先進制造業(yè)的高速發(fā)展,各行各業(yè)對等截面四點接觸球軸承的承載能力和可靠性提出了更高的要求[1-2]。

在等截面四點接觸球軸承承載能力研究方面,國內(nèi)外學者通過對一些條件進行簡化設(shè)置,建立靜力學模型,計算結(jié)果與實際情況存在一些誤差,但可用于等截面四點接觸球軸承承載能力研究。軸承靜力學分析是以Hertz接觸理論作為基礎(chǔ)理論,為軸承的設(shè)計和分析提供理論支撐。軸承解析計算通常將內(nèi)圈和外圈假設(shè)成剛性體,變形僅發(fā)生在滾動體與滾道接觸區(qū)域,運用赫茲接觸理論求解接觸區(qū)域的力學特性分析[3]。當赫茲接觸理論假設(shè)不滿足時,解析解應用的范圍和精度受較大影響,理論結(jié)果與實際工程情況存在誤差,例如:球式軸承滾球與滾道半徑相差小,不滿足非協(xié)調(diào)性接觸假設(shè)等。

數(shù)值計算模型能夠有效解決赫茲接觸理論帶來的誤差,而且可以考慮更多的影響因素,計算精度和效率高,但是數(shù)值計算模型不同,參數(shù)設(shè)置、網(wǎng)格大小、算法等對計算結(jié)果影響不同,需要進行模型驗證。羅繼偉等[4]運用赫茲接觸理論求解圓錐滾子軸承滾子與滾道接觸區(qū)域的接觸應力。吳飛科等[5]建立數(shù)值模型分析不同滾道曲率系數(shù)對點接觸類型滾動軸承的影響。Houpert[6]對不同軸承受力模型進行分析,提出滾動體計算的新方法,但對深溝球軸承及內(nèi)圈和外圈不重合的球軸承無法使用。尚振國等[7]建立軸承有限元模型,材料設(shè)置為彈性和彈塑性兩種,研究不同材料參數(shù)的滾動體與滾道接觸受載后的變形情況。Khonsari等[8]建立滾球與平板接觸有限元模型,將接觸區(qū)域應力分布與赫茲接觸理論結(jié)果進行對比,計算結(jié)果對比顯示兩者誤差小。Pandiyarajan等[9]建立大直徑球軸承接觸有限元模型,分析滾球與滾道接觸區(qū)域的應力分布和變形。

解析計算方法和數(shù)值計算方法對等截面四點接觸球軸承承載能力計算結(jié)果不同,計算結(jié)果誤差大。本文根據(jù)赫茲接觸理論提出一種數(shù)值模型驗證方法,排除數(shù)值模型設(shè)置對計算結(jié)果的干擾,提高數(shù)值模型精度。運用驗證過的數(shù)值模型進行等截面四點接觸球軸承承載能力分析,提高等截面四點接觸球軸承承載能力計算的精度和效率,對等截面四點接觸球軸承設(shè)計人員結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化設(shè)計提供重要參考,對工程實際應用具有重要意義。

1 等截面四點接觸球軸承承載能力理論計算

1.1 等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸

本文以等截面四點接觸球軸承作分析,單個滾球與內(nèi)圈和外圈有四個接觸點,如圖1所示,虛線為滾球與滾道接觸點連線,而且外徑與內(nèi)徑比值小,滾球直徑小且數(shù)量多,橫截面和重量一般約為相同內(nèi)徑的標準軸承的20%和5%,可同時承受軸向力、徑向力和傾覆力矩的聯(lián)合作用,整體結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。等截面四點接觸球軸承的滾球、內(nèi)圈和外圈材料均為GCr15軸承鋼,其彈性模量為207000 MPa,泊松比0.3。等截面四點接觸球軸承與深溝球軸承裝配方式相同,滾球個數(shù)z的約束函數(shù)[10]:

表1 等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸

圖1 等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)圖

(1)

式中:Dw-滾球直徑,Dwp-滾道直徑,φmin-最小填球角,φmax-最大填球角。

軸承滾球個數(shù)z一般為基數(shù),根據(jù)公式(1)和等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù),本文選擇滾球個數(shù)z為45。

當軸向力單獨作用在等截面四點接觸球軸承滾球與滾道時,各滾球受載相同,如圖2(a)所示,每個滾球與滾道的接觸載荷Pa為:

(2)

在圓周上徑向力對滾動體產(chǎn)生最大接觸載荷Q0的角度位置設(shè)為φ0=0,如圖2(b)所示。處于φ角度位置滾球承受徑向接觸載荷可表示為:

Fr=[Q0+2∑(Pφcosφ)]·cosα,其中φ≤π/2

(3)

處于φ角度位置滾柱承受徑向接觸載荷可表示為:

Fr=Q0+2∑(Qφcosφ),其中φ≤π/2

(4)

(5)

(6)

滾球徑向載荷表示為:

(7)

當傾覆力矩單獨作用在等截面四點接觸球軸承滾球與滾道時,如圖2(c)所示,忽略接觸角影響,假定接觸變形只發(fā)生在滾球的豎直方向。傾覆力矩單獨作用下滾動體豎直方向最大變形量為δmax,則δφ=δmaxcosφ,正壓力的豎直分量對Y坐標產(chǎn)生的力矩為:

(8)

(9)

在角度φ處單位弧長上的載荷PM為:

(10)

當?shù)冉孛嫠狞c接觸球軸承同時承受軸向力和傾覆力矩作用時,運用載荷疊加法獲得等截面四點接觸球軸承滾球與滾道受載后最大接觸載荷Qmax為[11]:

(11)

根據(jù)表1中等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及公式(11),獲得滾球與滾道最大接觸載荷為1769 N,后續(xù)將用于滾球與滾道局部有限元模型中。

1.2 等截面四點接觸球軸承承載能力理論計算

軸承求解力學性能的經(jīng)典方法是赫茲接觸理論,赫茲接觸理論做了以下假設(shè):滾球垂直作用于滾道,接觸區(qū)域僅發(fā)生彈性變形,忽略滾球與滾道間摩擦[12-14]。赫茲接觸理論計算滾球與滾道接觸長短半軸和最大接觸應力如下[15-16]:

(12)

(13)

(14)

式中:a-接觸區(qū)域長半軸長,a*-赫茲接觸系數(shù),b-接觸區(qū)域短半軸長,b*-赫茲接觸系數(shù),E-彈性模量,Q-接觸載荷,u-泊松比,∑ρ-曲率和。

根據(jù)表1中等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)及式(11)、式(12)、式(13)和式(14),查《球軸承的設(shè)計計算》[17]表獲得滾球與滾道最大接觸應力為4005.2 MPa,接觸區(qū)域長半軸長0.58306 mm,短半軸長0.36187 mm。

2 等截面四點接觸球軸承局部承載能力數(shù)值計算

2.1 等截面四點接觸球軸承數(shù)值模型驗證

為了驗證等截面四點接觸球軸承有限元模型精度,在保證模型計算精度的情況下減少有限元模型的網(wǎng)格數(shù)量,選取1/4滾球和滾道模型,如圖3所示,截取部分滾球和滾道。滾道底面約束全部自由度,滾球保留X方向平移自由度和Y方向平移自由度,其他自由度被約束。在實際工況中,當?shù)冉孛嫠狞c接觸球軸承受載后,滾球往滾道邊緣移動,接觸角發(fā)生變化,滾球上的載荷不垂直于滾道,不滿足赫茲接觸理論中載荷垂直施加在接觸表面的假設(shè),因此,赫茲接觸理論不能直接驗證等截面四點接觸球軸承局部接觸有限元模型的計算結(jié)果。為了解決上述問題,在滾球上施加與初始接觸角方向相同的載荷F,保證滾球與滾道之間始終垂直接觸,如圖4所示,這樣等截面四點接觸球軸承局部接觸有限元模型滿足赫茲接觸理論假設(shè),驗證滾球與滾道局部接觸有限元模型的有效性。

圖3 滾球與滾道接觸局部有限元模型

圖4 滾球與滾道接觸局部有限元驗證模型

為了驗證滾球與滾道接觸局部有限元模型的有效性,對赫茲接觸理論計算結(jié)果和滾球與滾道接觸局部有限元驗證模型結(jié)果進行對比,以赫茲接觸理論為基準,采用圖4中載荷施加方式,使?jié)L球載荷垂直于滾道,滿足赫茲接觸理論假設(shè)。選擇滾球與滾道接觸區(qū)域的不同有限元網(wǎng)格尺寸,MS 0.04(網(wǎng)格尺寸0.04 mm)、MS 0.06(網(wǎng)格尺寸0.06 mm)、MS 0.08(網(wǎng)格尺寸0.08 mm)、MS 0.10(網(wǎng)格尺寸0.10 mm)、MS 0.12(網(wǎng)格尺寸0.12 mm)。如圖5(a)所示,當有限元網(wǎng)格尺寸由大變小過程中,滾道上的等效應力逐漸變大。如圖5(b)所示,當有限元網(wǎng)格尺寸由大變小過程中,最大接觸應力的波動由劇烈變平緩,與赫茲接觸理論獲得的最大接觸應力值誤差逐漸變小,當有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm模型的誤差為3.201%。如圖5(c)所示,對比接觸區(qū)域面積,當有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm模型的誤差為5.702%,誤差在可接受范圍[18],有限元模型中網(wǎng)格尺寸為0.04 mm時對有限元計算結(jié)果的影響較小,所以最終滾球與滾道接觸區(qū)域有限元網(wǎng)格尺寸為0.04 mm,用于后續(xù)承載能力分析,選取有限元網(wǎng)格尺寸大小與王大力等[19]和Satyanarayana等[20]的研究分析相吻合。

圖5 滾球與滾道接觸局部有限元驗證模型結(jié)果

2.2 等截面四點接觸球軸承局部承載能力數(shù)值計算

當?shù)冉孛嫠狞c接觸球軸承正常工作時,滾球與滾道載荷施加形式如圖3所示。如圖6(a)所示,滾球與滾道局部接觸區(qū)域的最大等效應力為2133 MPa,最大等效應力位置位于滾球與滾道接觸區(qū)域的表面下方。如圖6(b)所示,在滾球與滾道接觸有限元模型中,滾道表面接觸應力最大值為3443 MPa,接觸區(qū)域形狀類似于橢圓形,而在2.2節(jié)中,通過赫茲接觸理論計算的滾球與滾道最大接觸應力為4005.2 MPa,兩者誤差為14.04%。影響等截面四點接觸球軸承承載性能的重要參數(shù)之一是接觸角,從滾道圓弧中點到滾道最大等效應力點連線,與水平夾角為接觸角,當空載時滾道與滾動體之間屬于點接觸,隨著載荷的增加,滾道與滾球接觸區(qū)域變?yōu)槊娼佑|時,等效應力最大的地方發(fā)生變化。如圖6(c)所示,滾球與滾道接觸模型受載后接觸角為45.52°,與初始接觸角45°不同,所以,對于等截面四點接觸球軸承不滿足赫茲接觸理論假設(shè),不能直接通過赫茲接觸理論對數(shù)值模型進行驗證。

圖6 滾球與滾道接觸局部有限元模型結(jié)果

3 等截面四點接觸球軸承整體承載能力數(shù)值分析

3.1 等截面四點接觸球軸承整體有限元

等截面四點接觸球軸承尺寸大,滾動體數(shù)目多,整體有限元模型不僅花費大量建模時間,而且計算時間長,接觸對數(shù)量多,計算收斂難度大,對計算設(shè)備要求高。使用非線性結(jié)構(gòu)代替滾動體,模擬滾道與滾球之間的接觸行為,可大幅縮小等截面四點接觸球軸承有限元模型的規(guī)模和計算時間,降低計算難度。根據(jù)赫茲接觸理論,等截面四點接觸球軸承中滾球與滾道載荷-變形可描述為:

(15)

式中:K-剛度系數(shù),Q-接觸載荷,δ-變形量。

K的數(shù)值由等截面四點接觸球軸承滾道直徑、滾球直徑、滾道曲率半徑和材料特性確定,根據(jù)參考文獻[17]所提供的計算方法以及相關(guān)參數(shù),K取值446961 N/mm。根據(jù)圖1和表1的結(jié)構(gòu)和參數(shù)在ABAQUS/CAE中建立等截面四點接觸球軸承數(shù)值模型。采用Partition功能菜單,對內(nèi)外圈進行分區(qū)切割,滾道上網(wǎng)格尺寸為0.05 mm,單元形狀為Hex六面體單元,結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格,網(wǎng)格劃分算法為Medial Axis中性軸算法,單元類型選擇C3D8I,如圖7(a)所示。等截面四點接觸球軸承內(nèi)圈全固定,外圈上表面與參考點RP-1運動耦合(Kinematic coupling),約束X軸和Y軸方向的移動及X軸和Y軸方向的轉(zhuǎn)動,表1中的載荷施加在參考點RP-1,如圖7(b)所示。在Interaction接觸功能模塊中,彈簧/阻尼器菜單中選取兩點連接方式創(chuàng)建線性彈簧,彈簧的連接端點對應滾球與滾道的接觸點,利用非線性彈簧代替滾球,兩對非線性彈簧表示一個滾球,如圖7(c)所示。

圖7 等截面四點接觸球軸承整體有限元模型結(jié)果

3.2 等截面四點接觸球軸承整體承載能力數(shù)值計算

將圖2(b)中角度φ根據(jù)滾球個數(shù)等分獲得不同滾球所處位置,代入公式(3)獲得各滾球所受的傾覆力矩,與公式(2)軸向力疊加,獲得每個滾球所受的載荷,如圖8所示。這個結(jié)果為解析結(jié)果,內(nèi)外圈假設(shè)為剛體,僅滾球與滾道接觸區(qū)域發(fā)生變形。提取等截面四點接觸球軸承整體有限元模型中彈簧上的載荷,獲得各滾球所受載荷。滾球受壓,所以載荷為負值。如圖8所示,等截面四點接觸球軸承解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的載荷分布趨勢相同,數(shù)值結(jié)果大于解析結(jié)果,這是由于數(shù)值模型中的內(nèi)外圈為彈性體,受載后發(fā)生變形。如表2所示,如果以解析結(jié)果為基礎(chǔ),數(shù)值結(jié)果對比的誤差為15%,在允許誤差范圍內(nèi)[18]。等截面四點接觸球軸承整體有限元模型變形如圖9所示,在內(nèi)圈固定的情況下,載荷施加在外圈上端面,所以變形發(fā)生在外圈。根據(jù)公式(2)和公式(3)及表1的數(shù)據(jù)可知,各滾子所受的軸向力遠大于傾覆力矩,所以外圈各處未出現(xiàn)明顯扭轉(zhuǎn)。

表2 各模型求解最大接觸載荷對比

圖8 等截面四點接觸球軸承整體有限元模型結(jié)果與解析結(jié)果對比

圖9 等截面四點接觸球軸承整體有限元模型變形圖

等截面四點接觸球軸承結(jié)構(gòu)尺寸大,套圈的抗變形能力不易保證,部分學者認為許用接觸應力應取低一些,國際上軸承廠家基本上取萬分之一滾動體直徑變形時的接觸應力為最大接觸應力,ISO國際標準和ANSI美國國家標準[21]給出不同類型軸承滾動體直徑萬分之一永久變形的接觸應力,點接觸形式最大接觸應力為4200 MPa。滾道靜承載能力以滾動體允許的最大變形時接觸應力與許用接觸應力的比值來衡量,因此,用靜態(tài)安全系數(shù)來衡量等截面四點接觸球軸承滾道靜承載能力。等截面四點接觸球軸承安全系數(shù)計算公式為:

(16)

式中:fs-安全系數(shù),σmax-滾球與滾道接觸應力,[σmax]-滾球與滾道許用接觸應力。

等截面四點接觸球軸承靜載荷安全系數(shù)fs一般大于1.5,根據(jù)滾球與滾道接觸強度的安全系數(shù)為1.82,說明在最大載荷條件下,其強度可以保證等截面四點接觸球軸承主機的使用性能要求。

4 結(jié)論

本文通過對等截面四點接觸球軸承承載能力進行分析,建立接觸滾球與滾道有限元驗證模型,與赫茲接觸理論通過最大接觸應力和接觸面積對比分析,運用驗證過的滾球與滾道接觸有限元模型進行承載能力分析,結(jié)論如下:軸承局部接觸有限元模型中,大尺寸有限元網(wǎng)格尺寸模型計算結(jié)果遠遠大于小尺寸有限元網(wǎng)格模型,對等截面四點接觸球軸承承載能力分析影響大。在等截面四點接觸球軸承正常工況時,由于滾球與滾道之間接觸角發(fā)生較大變化,不滿足赫茲接觸理論中載荷垂直施加在滾道上的假設(shè),不能用于局部接觸有限元結(jié)果驗證。等截面四點接觸球軸承整體數(shù)值模型內(nèi)外圈設(shè)置為彈性體,所以計算結(jié)果大于解析結(jié)果。通過對等截面四點接觸球軸承承載能力的研究,一方面提高等截面四點接觸球軸承承載能力的計算精度和有效性,另一方面有利于降低等截面四點接觸球軸承有限元模型的規(guī)模,提高等截面四點接觸球軸承計算分析的效率,為等截面四點接觸球軸承設(shè)計人員計算校核承載能力和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供重要參考。