夏玉杰 崔建華 高 雅

(洛陽師范學院 物理與電子信息學院,洛陽 471934)

隨著計算機技術的應用和信號處理技術的迅速發(fā)展,傅里葉變換已成為信號分析與系統(tǒng)設計不可缺少的重要工具[1]。傅里葉變換在信號處理課程群中處于核心作用,建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜”間的變換關系,是連接時域與頻域的重要分析方法[2]。但是,傅里葉變換的數(shù)學分析多且公式復雜,學生學習中存在較多困惑和疑難問題[3-6],且運用傅里葉變換解決信號處理領域中復雜工程問題的能力普遍不足[7-9]。

為幫助學生理解并掌握傅里葉變換及其應用,本文首先梳理了傅里葉變換在自變量“時間”或“頻率”取值連續(xù)或離散的四種形式,然后設計了基于傅里葉變換的雙音多頻(Dual Tone Multiple Frequency,DTMF)音頻信號按鍵值識別綜合實驗。該實驗以錄制的電話撥號DTMF音頻信號為對象,通過信號分段濾波、頻譜分析、特征頻率提取和判斷識別等環(huán)節(jié),帶領學生學習利用傅里葉變換識別DTMF音頻信號中的按鍵值;通過該實驗的研究性拓展設計,培養(yǎng)學生對傅里葉變換的運用能力和創(chuàng)新探索能力。

1 傅里葉變換關系分析

在信號處理類課程教學中,信號在時域上分為連續(xù)時間信號和離散時間信號,頻譜分為連續(xù)譜和離散譜。連續(xù)時間非周期信號和離散時間非周期信號的頻譜分析分別為連續(xù)時間傅里葉變換(Continuous Time Fourier Transform,CTFT)和離散時間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform,DTFT),連續(xù)時間周期信號和離散時間周期信號的頻譜分析分別為傅里葉級數(shù)(Fourier Series,FS)和離散傅里葉級數(shù)(Discrete Fourier Series,DFS)。四種信號的頻譜特征如表1所示。

表1 信號傅里葉變換形式表

抽樣定理是聯(lián)系連續(xù)時間信號和離散時間信號的橋梁,離散時間信號的DTFT頻譜是連續(xù)的,而實際數(shù)字處理系統(tǒng)要求信號在時域和頻域均是離散且有限長的。時域和頻域均為有限長序列的頻譜分析方法為離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)。

在時域,以Ts為間隔對連續(xù)時間非周期信號x(n)進行時域抽樣,形成離散時間非周期序列x(n),再加窗截斷后得到N點有限長序列xN(n);在頻域,連續(xù)時間非周期信號x(t)的頻譜X(Ω)以Ωs=2π/Ts為周期延拓形成序列x(n)的連續(xù)周期頻譜X(ejω),在[0,2π)內(nèi)以2π/N為間隔對X(ejω)進行頻域抽樣,得到序列xN(n)的N點離散頻譜xN(k),信號頻譜分析的傅里葉變換關系如圖1所示。

圖1 信號頻譜分析的傅里葉變換關系

2 DTMF信號識別實驗設計

信號的頻譜分析和特征頻率提取是信號處理領域中的熱點問題,傅里葉變換作為信號頻譜分析的重要手段,在信號處理領域中應用廣泛[8-11]。為幫助學生更好地理解傅里葉變換的應用,設計了基于傅里葉分析的DTMF音頻信號按鍵值識別實驗。

2.1 DTMF原理

DTMF信號是將兩個特定的單音頻信號進行組合來表示特定數(shù)字信號的編碼方式,廣泛應用于電話撥號和交互式控制系統(tǒng)[10-12]。DTMF信號由低頻群和高頻群兩組不同頻率組成,按鍵0～9和DTMF信號的頻率組合對應關系如表2所示[13-14]。

表2 DTMF信號頻率與按鍵數(shù)字對應表

2.2 實驗內(nèi)容

利用電腦自帶的錄音機,錄制一段手機鍵盤撥號的音頻文件(M4A格式),例如“1326547890”。該音頻信號的時間長度為6.5 s,采樣率fs=44100 Hz。利用Matlab讀取該音頻文件數(shù)據(jù),通過信號分段濾波和DFT頻譜分析提取信號的特征頻率,利用表2判斷識別相應的按鍵值。

2.3 實驗設計

DTMF信號的最高頻率為1477 Hz,錄制撥號音頻信號的采樣率fs=44100 Hz,滿足抽樣定理。音頻信號是離散時間非周期序列,由DTFT分析可知其頻譜是連續(xù)的。為了便于數(shù)字系統(tǒng)處理,在時域?qū)σ纛l信號加矩形窗進行分段處理,分段長度為N=4096點,由DFT分析知其頻譜離散。

由于每個按鍵信號是由兩個特定的單音頻信號疊加組合,因此對分段的撥號音頻信號利用DFT的快速傅里葉變換算法(Fast Fourier Transform,FFT)提取其特征頻率,在合理的誤差范圍內(nèi)對照表2即可正確識別對應的按鍵值。DTMF信號識別實驗的設計流程如圖2所示。

圖2 DTMF信號識別實驗設計流程

(1)讀取錄制的撥號音頻數(shù)據(jù):調(diào)用[x_sig,fs]=audioread(filename)函數(shù)讀取音頻數(shù)據(jù),返回值x_sig為filename文件數(shù)據(jù),fs為采樣率44100Hz。

(2)分割有效的撥號信號段:利用[x_i,fs]=audioread(filename,samples)函數(shù)對音頻中10個DTMF撥號信號分段,其中samples是filename文件的數(shù)據(jù)范圍,各信號段均取N=4096個采樣點。

(3)設計通帶為697～941 Hz的低頻群帶通濾波器和1209～1477 Hz的高頻群帶通濾波器:利用bandpass(Fstop1,Fpass1,Fpass2,Fstop2,Astop1,Apass,Astop2)函數(shù)設計帶通濾波器,其中Fstop1和Fstop2為阻帶左右邊界頻率,Fpass1和Fpass2為通帶左右邊界頻率,Apass為通帶最大衰減,Astop1和Astop2為左右兩側(cè)過渡帶最小衰減。

低頻群帶通濾波器BPF_low參數(shù)選取:Fstop1=500 Hz,Fpass1=697 Hz,Fpass2=941 Hz,Fstop2=1000 Hz,Astop1=30 dB,Apass=1 dB,Astop2=30 dB。

高頻群帶通濾波器BPF_high參數(shù)選取:Fstop1=1000 Hz,Fpass1=1209 Hz,Fpass2=1477 Hz,Fstop2=1600 Hz,Astop1=30 dB,Apass=1 dB,Astop2=30 dB。

(4)對第i段分段數(shù)據(jù)段分別通過低頻群帶通濾波器x_low_i=filter(BPF_low,x_i)和高頻群帶通濾波器x_high_i=filter(BPF_high,x_i)濾波。

(5)分析第i段數(shù)據(jù)濾波后信號頻譜:利用DFT的快速傅里葉變換算法FFT(x_low_i)和FFT(x_high_i)提取信號特征頻率,獲得第i段數(shù)據(jù)的低頻群最高頻率fl_i和高頻群最高頻率fh_i。

(6)通過DTMF頻率表和特征頻率(fl_i,fh_i)在設定頻率誤差門限內(nèi)比較,判斷識別對應鍵值。

2.4 實驗結(jié)果與分析

錄制的音頻信號時域和頻域波形分別如圖3(a)和圖3(b)所示。圖3(a)可見,由于不同按鍵值撥號的持續(xù)時間不同,各按鍵對應信號段的時域波形也不同。圖3(b)表明,音頻信號頻率集中在約650～950 Hz和1200～1500 Hz,這與DTMF信號發(fā)送頻率基本一致。由于存在背景噪聲,其他頻率上也存在較小的頻率分量。

(a) 音頻信號的時域波形

低頻群和高頻群帶通濾波器輸出的分段信號時域波形(以第1個信號段為例)如圖4所示。其中,圖4(a)為第1個信號段濾波前的時域波形,圖4(b)為第1個信號段通過低頻群帶通濾波器的輸出時域波形,圖4(c)為第1個信號段通過高頻群帶通濾波器的輸出時域波形?？梢钥闯?低頻群帶通濾波器和高頻群帶通濾波器輸出的信號頻率不同。這是由于低頻群和高頻群帶通濾波器的通帶頻率不一致,這兩個帶通濾波器的目的是保證對應頻帶信號順利通過,從而消除其它頻率干擾。

(a) 第1個信號段濾波前時域波形

分段信號的特征頻率提取和按鍵值識別結(jié)果如圖5所示?？梢钥吹?基于DFT的快速傅里葉變換能夠有效提取各段信號的特征頻率,并可正確識別出按鍵值“1326547890”。以第1段信號段的DFT分析為例,低頻群帶通濾波器的輸出信號最高頻率fl_i=699 Hz,高頻群帶通濾波器的輸出信號最高頻率fh_i=1205 Hz,則第1段信號的特征頻率為(699 Hz,1205 Hz)。DFT頻率分辨率為10.8 Hz,提取的特征頻率(699 Hz,1205 Hz)和數(shù)值“1”的DTMF頻率(697 Hz,1209 Hz)存在較小誤差。設定頻率誤差門限為22 Hz,則第1個信號段的按鍵值識別結(jié)果為“1”。

圖5 分段信號的特征頻率提取和按鍵值識別結(jié)果

3 研究性實驗拓展

為了培養(yǎng)學生的研究思維和創(chuàng)新能力,本實驗設計還可從以下幾個方面進行開放性拓展研究:

(1)探討分段信號長度N對特征頻率提取精度的影響;

(2)分析低頻群和高頻群帶通濾波器參數(shù)選取對信號濾波的影響;

(3)分析提取的特征頻率與實際DTMF頻率不完全一致的原因;

(4)探討特征頻率提取的誤差門限設定對按鍵值識別的影響。

上述開放研究性實驗拓展不僅能夠提高學生對傅里葉分析基本原理的認知,加深學生對抽象理論的理解,而且能夠激發(fā)學生的科研活動興趣,驅(qū)動創(chuàng)新思維發(fā)展,提升學生解決復雜工程問題的多維分析能力和實踐創(chuàng)新素質(zhì),形成傅里葉分析在信號處理中知識、能力、素養(yǎng)的有機融合。

4 結(jié)語

針對傅里葉變換的學習難點梳理和分析了傅里葉變換四種形式和關系,重點設計了DTMF電話撥號音頻信號的按鍵值識別綜合應用實驗。該實驗將音頻信號的DFT頻譜分析和特征頻率提取引入教學,利用Matlab仿真工具進行程序設計和功能驗證,有助于加強學生對傅里葉變換原理和工程應用的理解,培養(yǎng)學生利用信號處理的基本理論解決復雜工程問題的科學素養(yǎng)和實踐技能。