袁春元，王興宸，陶振興，朱愛鑫

(江蘇科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江,212000)

0 引言

半主動(dòng)空氣懸架具有彈性剛度可變的特性,能夠較好地吸收外界的振動(dòng)能量,并且重量較輕、噪聲較小[1]。近年來,對(duì)半主動(dòng)空氣懸架進(jìn)行了廣泛的研究,主要是PID控制、模糊控制、遺傳算法控制等方法[2-5]。

本文所用控制策略為自適應(yīng)反步遞推控制,它是通過選擇合適的Lyapunov函數(shù)和反推控制相結(jié)合,考慮模型中的參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)進(jìn)而保證系統(tǒng)的性能要求。在此過程中,自適應(yīng)反步遞推控制產(chǎn)生了兩種不同的設(shè)計(jì)方法,分別為QLF(Quadratic Lyapunov Function)方法和BLF(Barrier Lyapunov Function)方法。如Pang等[6]針對(duì)主動(dòng)懸架的參數(shù)不確定性和安全約束問題提出一種基于約束的自適應(yīng)反步遞推的跟蹤控制器,并通過仿真驗(yàn)證效果。Goyal等[7]使用遺傳算法對(duì)自適應(yīng)反步遞推主動(dòng)懸架進(jìn)行優(yōu)化,對(duì)車輛的垂直位移進(jìn)行比較研究。此外,Wang等[8]基于模糊控制和滑模反步遞推控制相結(jié)合的方法,對(duì)空氣懸架進(jìn)行仿真分析。同時(shí),由于控制器中的參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)所選取的數(shù)值,所以本文提出粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)進(jìn)行數(shù)據(jù)尋優(yōu),該算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)、效率高、全局尋優(yōu)能力強(qiáng)[9]。

為進(jìn)一步提高車輛的行駛平順性,本文以半主動(dòng)空氣懸架為控制目標(biāo),考慮系統(tǒng)參數(shù)的不確定性,建立基于非緊急制動(dòng)工況下的半主動(dòng)空氣懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,引入虛擬控制和參考軌跡設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù),構(gòu)造自適應(yīng)控制律,使得系統(tǒng)能夠快速跟蹤,滿足系統(tǒng)的安全約束。分析零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,保證約束有界。對(duì)基于自適應(yīng)反步遞推的控制策略使用粒子群算法對(duì)增益參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,在滿足原定要求的情況下使系統(tǒng)的性能進(jìn)一步提高。最后對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真驗(yàn)證與分析。

1 非緊急制動(dòng)空氣懸架系統(tǒng)建模

為了簡(jiǎn)化研究過程,假設(shè)所研究的車輛及其行駛道路左右兩側(cè)是完全對(duì)稱的,以其半側(cè)作為研究對(duì)象具有代表性,建立如圖1所示的1/2半主動(dòng)空氣懸架車輛系統(tǒng)模型。

圖1 1/2半主動(dòng)空氣懸架車輛系統(tǒng)模型

圖1中ms為懸掛質(zhì)量,其中msf、msr為ms作用于前、后懸架的等效質(zhì)量;Isy為ms繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;mwf、mwr為作用于前、后車輪的非懸掛質(zhì)量;a、b和L為車身質(zhì)心至前、后軸距離和軸距;Kwf、Kwr為前、后輪胎剛度系數(shù);φ為車身俯仰角度;qf、qr為汽車前、后輪道路激勵(lì)位移;zwf、zwr為前、后軸非懸掛質(zhì)量的垂向位移;zsf、zsr為前、后懸架等效質(zhì)量的垂向位移;zs為車身質(zhì)心處的垂向位移;Ff、Fr為前、后空氣彈簧的可變作用力;Fsf、Fsr為前后懸架定剛度力;Fcf、Fcr為前后懸架定阻尼力。

在車輛行駛中會(huì)出現(xiàn)制動(dòng)減速工況,分為緊急和非緊急。非緊急制動(dòng)的減加速度較小,約0.2～0.4 g。在汽車制動(dòng)時(shí),一般只考慮縱向運(yùn)動(dòng),沒有驅(qū)動(dòng)力,并且忽略其空氣阻力以及滾動(dòng)摩擦力[10]。簡(jiǎn)化制動(dòng)模型,將制動(dòng)力矩轉(zhuǎn)化為定值,等效為道路對(duì)車輪的滑動(dòng)摩擦力。車輛的縱向運(yùn)動(dòng)的模型如圖2所示。

圖2 車輛的縱向運(yùn)動(dòng)模型

汽車在縱向制動(dòng)的表達(dá)式為

(1)

前、后車輪繞各自車軸運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為

(2)

汽車前、后輪的地面制動(dòng)力

(3)

式中:m——半車總質(zhì)量,kg;

u——汽車速度,m/s;

wf、wr——前、后車輪轉(zhuǎn)速;

Fxf、Fxr——前、后車輪地面制動(dòng)力,N;

Iwf、Iwr——前、后車輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,kg·m2;

Fzf、Fzr——前、后車輪胎地面支持力,N;

Tf、Tr——作用在前、后車輪的制動(dòng)力矩,N·m;

μf、μr——前、后輪胎路面附著系數(shù)。

因?yàn)閼壹艿拇怪蔽灰埔约拜喬サ牡孛娌黄蕉瓤珊雎圆挥?jì),因此

(4)

根據(jù)牛頓第二定律,建立車身垂向運(yùn)動(dòng)微分方程

(5)

車身俯仰運(yùn)動(dòng)的微分方程

(6)

式中:Fsf、Fsr——前、后懸架定剛度力Ksf(zsf-zwf)、Ksr(zsr-zwr),N;

Fcf、Fcr——前、后懸架定阻尼力

Ksf、Ksr——前、后懸架剛度系數(shù),N/m;

Csf、Csr——前、后懸架阻尼系數(shù),Ns/m。

當(dāng)俯仰角較小時(shí),前、后空氣懸架的動(dòng)態(tài)垂直位移

(7)

以前、后非懸掛質(zhì)量為對(duì)象,由垂直方向力的平衡得

(8)

定義狀態(tài)變量

x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]

則可將其寫成如下形式

(9)

由于ms因車輛重量或人員的變化而變化,從而導(dǎo)致Isy也變化,因此ms和Isy為不確定的參數(shù),對(duì)于半車空氣彈簧半主動(dòng)懸架系統(tǒng)公式,假設(shè)系統(tǒng)中不確定參數(shù)ms和Isy存在已知上下界,即滿足

(10)

為了滿足空氣懸架系統(tǒng)具有足夠的動(dòng)態(tài)性能和安全約束,確定空氣懸架系統(tǒng)以車輛的駕駛平順性以及安全約束性能為控制目標(biāo)。

2 自適應(yīng)反推控制的設(shè)計(jì)及優(yōu)化

通過反步遞推和Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)自適應(yīng)反步遞推控制器,并對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行粒子群算法尋優(yōu)。所設(shè)計(jì)的控制器可以在處理不確定的參數(shù)和外部干擾時(shí),確保懸架系統(tǒng)的垂直和俯仰運(yùn)動(dòng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性,并且滿足安全約束性能。本文設(shè)計(jì)了兩個(gè)控制器,第一個(gè)控制器基于BLF方法,第二個(gè)控制器基于QLF方法,并進(jìn)行了對(duì)比仿真。

2.1 基于BLF的控制器設(shè)計(jì)

在文獻(xiàn)[11]中,介紹了對(duì)基于BLF自適應(yīng)反步遞推控制器的設(shè)計(jì)過程。對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)而言,定義跟蹤誤差e1=x1-x1d,e2=x2-x2d,e3=x3-x3d,e4=x4-x4d,其中x1d、x3d為參考軌跡,x2d、x4d為設(shè)計(jì)的虛擬控制函數(shù)。

1) 基于BLF的控制器的初始條件,考慮半正定Lyapunov候選函數(shù)

(11)

為了使誤差e1、e2在預(yù)定時(shí)間內(nèi)收斂為零,則設(shè)計(jì)合適的虛擬控制函數(shù)x2d、x4d如式(12)所示。

(12)

則V1(e1)、V3(e3)的導(dǎo)數(shù)

(13)

顯然當(dāng)e2=e4=0時(shí),

選擇半正定Lyapunov候選函數(shù)

(14)

式中:

估計(jì)值

與真實(shí)值θ1、θ2的 誤差,且θ1=1/ms、θ2=1/Isy。

(15)

式中:r1——正常數(shù)。

τ1=Ff+Fr-Fsf-Fsr-Fcf-Fcr

(16)

式中:r2——正常數(shù)。

τ2=a(Fsf+Fcf)-b(Fsr+Fcr)-aFf+bFr+msghφ+Mp

為了實(shí)現(xiàn)垂直和俯仰角加速度的漸近穩(wěn)定性,自適應(yīng)反步遞推控制輸出律

(17)

式中:m1、m2、k1、k2、k3、k4——正常數(shù)。

因此,

由此可得前、后輪的空氣彈簧可變力Ff、Fr,實(shí)現(xiàn)對(duì)懸架系統(tǒng)的控制。

2) 對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析,因?yàn)閷?shí)際的系統(tǒng)為八階,所以零動(dòng)態(tài)由四個(gè)狀態(tài)組成。令x1=0,x3=0,即

(18)

將式(18)代入式(9)得零動(dòng)力學(xué)方程

(19)

其中,x=[x5x6x7x8]T

q=[qfqr]T

對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣分別為

由于矩陣A、B、C滿足赫爾維茨準(zhǔn)則,因此零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是穩(wěn)定的存在。

2.2 基于QLF的控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)中QLF使用的表達(dá)式和符號(hào)與基于BLF的控制器設(shè)計(jì)中所述的定義相同[13]。因此,定義跟蹤誤差e1=x1-x1d,e2=x2-x2d,e3=x3-x3d,e4=x4-x4d,則虛擬控制函數(shù)x2d、x4d如式(20)所示。

(20)

則V1(e1)、V3(e3)的導(dǎo)數(shù)

(21)

顯然當(dāng)e2=e4=0時(shí),

的投影算子和上文投影算子相同。

因此,自適應(yīng)反步遞推控制輸出律

(22)

顯然,此時(shí)

零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析同BLF相同。

2.3 粒子群算法設(shè)計(jì)

當(dāng)汽車進(jìn)行直線非緊急制動(dòng)時(shí),其主要目標(biāo)為降低車輛的俯仰角保證其姿態(tài),其次降低車輛的車身垂向加速度、俯仰角加速度保證車輛的平順性,因此對(duì)空氣懸架系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,其適應(yīng)度函數(shù)

(23)

式中:Ffy、Ffy0——有無控制車身俯仰角均方根值;

Fczj、Fczj0——有無控制車身垂向加速度均方根值;

Ffyj、Ffyj0——有無控制車身俯仰角加速度均方根值;

Fqdn、Fqdn0——有無控制前懸架動(dòng)撓度均方根值;

Fhdn、Fhdn0——有無控制后懸架動(dòng)撓度均方根值。

粒子群算法的參數(shù)如表1所示。

表1 粒子群算法參數(shù)

2.4 路面及初始條件的設(shè)定

2.4.1 隨機(jī)路面

路面激勵(lì)通常是由隨機(jī)振動(dòng)模擬,國(guó)標(biāo)中關(guān)于車輛振動(dòng)路面輸入給出了具體的參考標(biāo)準(zhǔn)[14]。

因此,隨機(jī)路面輸入

(24)

式中:u——車輛行駛速度,m/s;

f0——空間下截止頻率,Hz;

w(t)——高斯白噪聲,dB。

針對(duì)建立的半車懸架模型,需要對(duì)前、后輪進(jìn)行路面仿真,僅需考慮前、后輪經(jīng)過同一路面的時(shí)滯性。選取B級(jí)路面,路面不平度系數(shù)Gq(n0)=6.4×10-5m3,汽車行駛速度為u=30 m/s,車輛減加速度設(shè)定為3 m/s2,系統(tǒng)仿真時(shí)間設(shè)定為5 s。

2.4.2 顛簸路面

通過凸塊信號(hào)作為路面干擾輸入對(duì)空氣懸架系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性測(cè)試。凸塊信號(hào)

(25)

式中:h——道路高度,0.05 m。

汽車行駛初速度為u=30 m/s,對(duì)前輪進(jìn)行L/u延遲即為后輪路面。

2.4.3 初始條件設(shè)定

考慮具有不同初始值的兩種條件。

條件1:設(shè)定初值x1(0)=0 m,x3(0)=0 rad,θ1(0)=1/350,θ3(0)=1/1 000。參考軌跡設(shè)置為x1d=0,x3d=0。

條件2:設(shè)定初值x1(0)=0.06 m,x3(0)=0.06 rad,θ1(0)=1/350,θ3(0)=1/1 000。參考軌跡為一個(gè)衰減的多項(xiàng)式,使車身的垂向運(yùn)動(dòng)在Td時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,從而提高車輛平順性。具體設(shè)計(jì)如下

(26)

式中:Td——預(yù)設(shè)時(shí)間,2 s;

a0、a1、a2、a3、a4——參考軌跡公式系數(shù),分別為0.06、0、-0.09、0.06、-0.001 125。

3 仿真與優(yōu)化結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所提出的基于粒子群算法的自適應(yīng)反步遞推控制策略的效果,對(duì)懸架系統(tǒng)進(jìn)行了基于MATLAB/Simulink的仿真分析。半車空氣懸架系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。

表2 半車空氣懸架系統(tǒng)參數(shù)

在懸架系統(tǒng)受到外界干擾時(shí),調(diào)節(jié)k1、k2等參數(shù)增益能更好地使懸架系統(tǒng)快速收斂,使得車輛垂直加速度和車身俯仰角加速度趨于零。為此,使用粒子群算法對(duì)參數(shù)增益進(jìn)行優(yōu)化調(diào)節(jié),使得在不同路面情況下,控制器具有良好的控制效果。

3.1 控制器參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

設(shè)KBLF=[k1,k2,k3,k4,m1,m3,r1,r2],KQLF=[k1,k2,k3,k4,r1,r2],其優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 半車空氣懸架系統(tǒng)參數(shù)

3.2 條件1下的隨機(jī)路面仿真結(jié)果分析

圖3為條件1下的車身俯仰角對(duì)比,圖4為條件1下的車身垂向加速度和俯仰角加速度對(duì)比。與無控制懸架系統(tǒng)相比,可以看出兩種控制器都能明顯提高車身俯仰角、車身垂向加速度和俯仰角加速度,并且實(shí)現(xiàn)車身的快速穩(wěn)定。同時(shí)可以看出條件1下,兩種控制器具有幾乎相同的控制效果,這意味著兩種控制器在零初始條件下具有相同的保守性。

圖3 車身俯仰角對(duì)比

(a) 車身垂向加速度對(duì)比

3.3 條件2下的隨機(jī)路面仿真結(jié)果分析

圖5為條件2下的車身垂向位移和俯仰角的對(duì)比,圖6為條件2下的車身垂向加速度和俯仰角加速度對(duì)比。從圖中得出,對(duì)軌跡曲線的跟蹤兩種控制器都具有良好的效果。并且表4所示,面對(duì)外部輸入干擾都顯著地改善了懸架系統(tǒng)的垂向加速度和俯仰角加速度,垂向加速度均方根值相對(duì)無控制分別改善了97.78%和98.31%,俯仰角加速度均方根值相對(duì)無控制分別改善了96.72%和97.82%。在垂向加速度方面,兩種控制器控制效果幾乎相當(dāng);在俯仰角加速度方面,明顯QLF具有比BLF更快的收斂速度,更小的峰值?？偟膩碚f,QLF控制器結(jié)果比BLF控制器更好。

表4 車身垂向加速度和俯仰角加速度均方根對(duì)比

(a) 車身垂向位移對(duì)比

(a) 車身垂向加速度對(duì)比

3.4 條件1下的顛簸路面仿真結(jié)果分析

圖7為條件1下的車身俯仰角對(duì)比,圖8為條件1下的車身垂向加速度和俯仰角加速度對(duì)比,兩種控制器均能使懸架系統(tǒng)的俯仰角、車身垂向加速度和俯仰角加速度在更短的時(shí)間內(nèi)收斂到穩(wěn)定的狀態(tài)并且滿足設(shè)定的安全約束條件。

圖7 車身俯仰角對(duì)比

(a) 車身垂向加速度對(duì)比

3.5 條件2下的顛簸路面仿真結(jié)果分析

圖9為條件2下的車身垂向位移和俯仰角的對(duì)比,圖10為條件2下的車身垂向加速度和俯仰角加速度對(duì)比。顯然,兩種控制器對(duì)于軌跡曲線都具有良好的跟蹤保持效果,并且表5所示,面對(duì)外部輸入干擾都顯著地改善了懸架系統(tǒng)的垂直加速度和俯仰角加速度,垂向加速度均方根值比較無控制分別改善了97.53%和97.93%,俯仰角加速度均方根值較無控制分別改善了93.83%和95.89%。而且相較于BLF控制器,QLF控制器收斂速度更快,垂直加速度和俯仰角加速度峰值更低,控制效果更好。

表5 車身垂向加速度和俯仰角加速度均方根對(duì)比

(a) 車身垂向位移對(duì)比

(a) 車身垂向加速度對(duì)比

4 結(jié)論

1) 本文建立了1/2車空氣懸架模型,研究了在非緊急制動(dòng)工況下的半主動(dòng)空氣懸架的車輛平順性,提出了BLF和QLF兩種方法的自適應(yīng)反步遞推控制器,在保證系統(tǒng)安全的前提下,利用粒子群算法優(yōu)化增益參數(shù),在 MATLAB/Simulink中進(jìn)行了兩種不同路面條件下的仿真分析。

2) 仿真結(jié)果表明,在零初始條件下兩種控制器都能極大的改善俯仰角、垂向加速度和俯仰角加速度。在隨機(jī)路面非零初始條件下,QLF比BLF具有更小的增益值,車身垂直加速度均方根值分別改善了98.31%和97.78%,車身俯仰角加速度均方根值分別改善了97.82%和96.72%;在顛簸路面非零初始條件下,QLF與BLF控制器對(duì)車身垂直加速度均方根值分別改善了97.93%和97.53%,車身俯仰角加速度均方根值分別改善了95.89%和93.83%。綜上所述,QLF控制器在低增益下具有很好的跟蹤效果,懸架性能改善更優(yōu),車輛平順性明顯提升。

3) 由于懸架的控制力是一個(gè)頻繁變化的曲線,但是空氣彈簧頻繁的充放氣,會(huì)帶來一定安全問題,就空氣彈簧與駕駛平順性的綜合考慮是以后需要研究的問題。