丁 軍

(山東省棗莊市第十六中學(xué))

數(shù)列不等式證明是高考經(jīng)常出現(xiàn)的一類問(wèn)題,這類問(wèn)題所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,對(duì)學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用有一定的要求.為幫助學(xué)生更加系統(tǒng)、全面地了解相關(guān)問(wèn)題及解題策略,本文結(jié)合實(shí)際問(wèn)題詳細(xì)進(jìn)行介紹,以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

1 函數(shù)法

數(shù)列作為一類特殊的函數(shù),具有函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).因此,在解答數(shù)列不等式問(wèn)題時(shí),學(xué)生可以借助函數(shù)法進(jìn)行解答,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等證明不等式.在實(shí)際的解題中,函數(shù)法通常運(yùn)用于變量與常數(shù)之間的比較,因此在解題中需要將不等式轉(zhuǎn)化為僅一側(cè)含變量,并構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求其最值,最后將最值與常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行比較.

本題先對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行變形,再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式.

2 放縮法

放縮法是證明數(shù)列不等式過(guò)程中常用的方法,通過(guò)將不等式的一側(cè)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小,從而證明原不等式成立.在實(shí)際運(yùn)用中,先將要證明的不等式的一側(cè)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小,再將其與另一側(cè)進(jìn)行比較,最后根據(jù)傳遞性確定不等式成立.

例2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋6(n∈N?),且a1,a2＋5,a3成 等 差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,有

本題結(jié)合數(shù)列不等式特點(diǎn),將其進(jìn)行合理變形,而后借助不等式常見(jiàn)性質(zhì)進(jìn)行放縮.

3 歸納法

利用歸納法在解答數(shù)列不等式時(shí),要先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析,結(jié)合已知條件證明當(dāng)n＝1時(shí),不等式成立;而后假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí),不等式成立,進(jìn)一步驗(yàn)證當(dāng)n＝k＋1 時(shí),不等式成立;最后進(jìn)行歸納,證明不等式成立.

在運(yùn)用歸納法進(jìn)行解題時(shí),需要學(xué)生全面理解掌握其解題步驟與要求,從而才能保證答案的準(zhǔn)確性.

4 比較法

比較法是證明不等式問(wèn)題時(shí)一種比較直接的方法,即對(duì)不等式進(jìn)行整理、轉(zhuǎn)化,而后將不等式兩側(cè)進(jìn)行作差、作商,通過(guò)差、商與0,1之間關(guān)系的比較,從而證明不等式.

例4 已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,a1＝1,且S1,S2,S3＋3成等比數(shù)列.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若{an}單調(diào)遞增,證明:

巧妙地運(yùn)用作差、作商的方法有時(shí)可以較快地對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行證明,但有時(shí)需要將其與放縮法進(jìn)行結(jié)合.

綜上,數(shù)列不等式證明問(wèn)題有多種解法,在實(shí)際的運(yùn)用中,學(xué)生應(yīng)當(dāng)結(jié)合題目信息,靈活選擇、運(yùn)用解題策略,從而提升解題效率.

(完)