樸今子 付 禹

(吉林省長春市第十一高中)

在運(yùn)用均值不等式解決有關(guān)問題時(shí),經(jīng)常會(huì)強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三相等”.可從通性通法的角度去理解這句話的含義:在運(yùn)用均值不等式解決有關(guān)問題時(shí),在注意變量為正數(shù)的前提下,可以考慮“構(gòu)造法”,但“如何構(gòu)造”是關(guān)鍵,下面從兩個(gè)方面進(jìn)行說明.

1 側(cè)重定值構(gòu)造

1.1 側(cè)重乘積為定值構(gòu)造

例1 已知x＞1,則函數(shù)的最小值為_________.

分析 因?yàn)楹瘮?shù)表達(dá)式中的分式中有分母(x－1),所以在函數(shù)表達(dá)式中只需構(gòu)造(x－1),進(jìn)而可以按以下方式求最小值.

解 因?yàn)閤＞1,所以x－1＞0,則

答案－1.

答案 4.

例1及三個(gè)變式的表達(dá)式比較明顯地提供了相同的信息,即構(gòu)造乘積為定值,變式3構(gòu)造的難度大一點(diǎn).若函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)中不易發(fā)現(xiàn)這種特殊結(jié)構(gòu)(條件隱蔽),那么如何構(gòu)造呢? 下面一起來看看下面的例題.

分析 觀察現(xiàn)有函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu),很難構(gòu)造乘積為定值的結(jié)構(gòu),而根據(jù)分式的性質(zhì)將函數(shù)表達(dá)式化為后就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)分式的分母之和是常數(shù),進(jìn)而通過變形可以構(gòu)造互為倒數(shù)的兩個(gè)分式

本例及其變式都是利用均值不等式求解的有關(guān)問題中比較難的問題,難點(diǎn)在于如何構(gòu)造,而突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵在于注意觀察表達(dá)式的結(jié)構(gòu)中隱含的條件.

例3 已知a＞0,b＞0,c＞0,求證:

分析 觀察不等式左邊結(jié)構(gòu),不難發(fā)現(xiàn)每項(xiàng)分式的分子、分母之和都是a＋b＋c,而三項(xiàng)分式的分母之和是a＋b＋c的2倍,由此可以考慮先用均值不等式構(gòu)造兩個(gè)不等式.

解 由均值不等式得

此題有多種證法,從通性通法的角度來看,通過構(gòu)造乘積為定值的方法去尋找思路顯得比較自然.此例還可以進(jìn)行如下推廣.

變式 已知xi＞0(i＝1,2,…,n,n∈N),且n≥2,求證

提示 由均值不等式得

1.2 側(cè)重和為定值構(gòu)造

例4 函數(shù)y＝x4(1－x2)(0＜x＜1)的最大值為_________.

“構(gòu)造和為定值”相對(duì)于“構(gòu)造積為定值”要容易很多,主要原因是需要“構(gòu)造和為定值”的表達(dá)式比較單一(乘積結(jié)構(gòu)).本題的變式難度略大,原因是構(gòu)造時(shí)要想到隱含條件“sin2x＋cos2x＝1”.

2 側(cè)重取等號(hào)角度構(gòu)造

例5 已知a＞0,b＞0,且滿足a＋b＝1,求證:

在運(yùn)用均值不等式的過程中,若已知條件和結(jié)論中的代數(shù)結(jié)構(gòu)是“對(duì)稱輪換式”(根據(jù)加法和乘法的交換律及結(jié)合律,將式子f(x1,x2,…,xn)(n∈N?)中任意元xi與xj(i≠j)交換位置,表達(dá)式保持不變),則取等號(hào)的條件就是各元相等.

本文從通性通法的角度介紹了均值不等式應(yīng)用中的兩種構(gòu)造法,在不等式的證明中通常需要通過放縮轉(zhuǎn)化后再運(yùn)用上述方法求解.

(完)