雙異步電機(jī)驅(qū)動雙質(zhì)體振動系統(tǒng)同步滑?？刂?/h1>
2023-11-10 06:32:56余樂侯勇俊趙永強(qiáng)汪玉琪
工程設(shè)計學(xué)報 2023年5期
余樂， 侯勇俊， 趙永強(qiáng)， 汪玉琪
（1.陜西理工大學(xué) 工程訓(xùn)練中心， 陜西 漢中 723001； 2.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 四川 成都 610500）
在煤炭、化工、建筑和糧食等領(lǐng)域，振動機(jī)械常被用于輸送、篩分、干燥物料[1]。其中，自同步振動篩因結(jié)構(gòu)簡單、維護(hù)方便而被廣泛應(yīng)用[2-3]。自同步是指2個或多個偏心轉(zhuǎn)子無需剛性連接即可實(shí)現(xiàn)同轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)子間的相位差保持恒定。因此，在利用同步現(xiàn)象之前必須解決2個問題：一個是振動系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動，另一個是在同步運(yùn)動過程中的相位差是否滿足要求。這2個問題將直接影響振動系統(tǒng)的響應(yīng)。
自同步現(xiàn)象最早由Huygens于1665年發(fā)現(xiàn)[4]，他觀察到2個懸掛在薄板上的鐘擺在搖動一段時間后可以同步擺動。進(jìn)入20世紀(jì)后，Blekhman等[5-6]對2個偏心轉(zhuǎn)子的同步運(yùn)動進(jìn)行了研究，并提出了自同步理論；聞邦椿等[2-3]分析了振動機(jī)械的自同步特性，并將相關(guān)理論應(yīng)用到工程實(shí)踐中。近年來，Zhang等[7-9]采用改進(jìn)的小參數(shù)方法分別對由2個和多個激振電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究；Djanan等[10-11]研究了一種激振電機(jī)在平板上運(yùn)動的振動系統(tǒng)的同步運(yùn)動；賀斌等[12-13]對一種2個激振電機(jī)安裝在同一個質(zhì)體上的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究。與此同時，學(xué)者們紛紛開展了多電機(jī)驅(qū)動振動系統(tǒng)的控制同步研究。Kong等[14-15]研究了由多個激振電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)的控制同步運(yùn)動及其索末菲（Sommerfeld）效應(yīng)。Fang等[16-18]提出了轉(zhuǎn)子耦合擺振動系統(tǒng)，并對其自同步運(yùn)動和控制同步運(yùn)動進(jìn)行了深入的研究。黃志龍等[19-20]在考慮物料影響的情況下，采用相鄰交叉耦合控制策略對多種多電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)進(jìn)行了控制同步研究。張康等[21-22]采用不同的滑模控制策略對多個直線電機(jī)進(jìn)行了同步控制并開展了實(shí)驗(yàn)研究。
然而，上述文獻(xiàn)的研究對象主要是激振電機(jī)安裝在同一質(zhì)體上的振動系統(tǒng)，而較少涉及激振電機(jī)安裝在不同質(zhì)體上的振動系統(tǒng)。為了減小地基載荷、占地面積以及實(shí)現(xiàn)對物料的多級篩分，侯勇俊等[23]提出了一種激振電機(jī)（異步電機(jī)）安裝在不同質(zhì)體上的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)，并對其同步性展開了研究。結(jié)果表明：一些結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動系統(tǒng)的同步相位差有顯著影響，在部分參數(shù)條件下振動系統(tǒng)甚至不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)轉(zhuǎn)，這均會影響振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和工作效率。
通常當(dāng)同步相位差為0或π時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的激振力可以最大程度地疊加或者抵消，故0或π相位同步通常為工程應(yīng)用所需的工作狀態(tài)。為了進(jìn)一步提升振動系統(tǒng)的工作性能，筆者擬采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法對異步電機(jī)進(jìn)行矢量控制，以實(shí)現(xiàn)0或π相位同步。當(dāng)振動系統(tǒng)的固有頻率與激振頻率相近時，其振幅會快速變化。利用這一特性，在工程應(yīng)用中只需更換不同剛度的彈簧而不改變其他條件即可改變質(zhì)體的振幅。因此，本文主要討論彈簧剛度對振動系統(tǒng)同步運(yùn)動的影響以及所設(shè)計控制器對彈簧剛度不同的振動系統(tǒng)的同步控制效果。
1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型
雙質(zhì)體振動系統(tǒng)主要由上質(zhì)體、下質(zhì)體、激振電機(jī)（異步電機(jī)）、彈簧和底座等組成，其動力學(xué)模型如圖1所示。其中：彈簧是對稱放置的；2個異步電機(jī)上所帶的偏心塊用2個偏心轉(zhuǎn)子表示。當(dāng)振動系統(tǒng)工作時，2個安裝在不同質(zhì)體上的異步電機(jī)產(chǎn)生的激振力通過中間彈簧相互傳遞。這樣既可以減小每個質(zhì)體的載荷，又能使2個質(zhì)體以不同的軌跡運(yùn)動。在動力學(xué)建模時，先推導(dǎo)振動系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)，再代入拉格朗日方程以推導(dǎo)振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。
圖1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.1 Dynamics model of double-mass vibration system
圖1中：o1-X1Y1和o2-X2Y2分別為上振動體（上質(zhì)體和異步電機(jī)1的裝配體）和下振動體（下質(zhì)體和異步電機(jī)2的裝配體）的絕對坐標(biāo)系；o′1-X′1Y′1和o′2-X′2Y′2分別為平行于o1-X1Y1和o2-X2Y2的相對坐標(biāo)系；o′1-X″1Y″1和o′2-X″2Y″2分別為相對于o′1-X′1Y′1和o′2-X′2Y′2的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；o′1和o′2分別為上、下振動體的質(zhì)心，靜止時o′i與oi(i=1, 2)重合；o″i(i=1, 2)為偏心轉(zhuǎn)子i的旋轉(zhuǎn)中心；li為原點(diǎn)oi與o″i之間的距離；φi為偏心轉(zhuǎn)子i的角位移；βi為連線oio″i與Xi軸之間的夾角；ri為偏心轉(zhuǎn)子i的等效半徑。令Φ″1、Φ″2分別表示偏心轉(zhuǎn)子1，2的質(zhì)心在坐標(biāo)系o′1-X″1Y″1和o′2-X″2Y″2中的坐標(biāo)，Φ1、Φ2分別表示偏心轉(zhuǎn)子1，2的質(zhì)心在坐標(biāo)系o1-X1Y1和o2-X2Y2中的坐標(biāo)，則根據(jù)圖1，可得：
其中：
式中：Φ′1、Φ′2分別為上、下振動體質(zhì)心的位移向量；xi、yi分別為振動體質(zhì)心沿Xi、Yi方向的位移；ψi為振動體質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角位移。
由此可得，振動系統(tǒng)的動能T為：
式中：M1、M2分別為上、下振動體的質(zhì)量；moi為偏心轉(zhuǎn)子i的質(zhì)量；Jz1、Jz2分別為上、下振動體的轉(zhuǎn)動慣量；Joi為異步電機(jī)i的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。
振動系統(tǒng)的勢能E為：
式中：kxi、kyi、kψi分別為沿Xi、Yi和質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的彈簧剛度，其中kxi=kyi/3。
振動系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)D為：
式中：fxi、fyi、fψi分別為沿Xi、Yi和質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的彈簧阻尼，其中fxi=0.001kxi，fyi=0.001kyi；fi為異步電機(jī)i的轉(zhuǎn)軸的阻尼。
則振動系統(tǒng)的廣義力Q可表示為：
式中：Te1、Te2分別為異步電機(jī)1，2的電磁轉(zhuǎn)矩。
拉格朗日方程可表示為：
其中：
式中：q為振動系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。
將式(3)至式(6)代入式(7)，即可得振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：
其中：
式中：TL1、TL2分別為異步電機(jī)1，2的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。
2 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的固有頻率
對式(8)的前2個方程進(jìn)行Laplace變換，可得：
式中：S為Laplace算子；(S)為xi的Laplace變換；(S)為moiri(sinφi+cosφi)的Laplace變換。
將式(9)整理成矩陣形式：
特征方程X(S)的行列式可以表示成如下形式：
令|X(S)|=0以求解S，其解可表示為：
式中：a1、a2為衰減系數(shù)；ωxr1、ωxr2為振動系統(tǒng)X方向的固有頻率。
同理，可得振動系統(tǒng)Y方向的固有頻率ωyr1和ωyr2。由于在實(shí)際工程應(yīng)用中通常要求振動體上每個點(diǎn)的軌跡相同，因此異步電機(jī)的旋轉(zhuǎn)中心與振動體的質(zhì)心重合（即l1=l2=0m），不考慮質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的振動。
本文雙質(zhì)體振動系統(tǒng)選用2個相同的異步電機(jī)，振動系統(tǒng)和異步電機(jī)的參數(shù)分別如表1和表2所示。根據(jù)表2中異步電機(jī)的參數(shù)，可得其角頻率（即激振頻率）為157 rad/s。將表1中振動系統(tǒng)的參數(shù)代入式(12)，可計算得到當(dāng)ky1=1 062 kN/m時，振動系統(tǒng)X方向的固有頻率與激振頻率相同；當(dāng)ky1=443 kN/m時，振動系統(tǒng)Y方向的固有頻率與激振頻率相同。
表1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的參數(shù)Table 1 Parameters of double-mass vibration system
表2 異步電機(jī)的參數(shù)Table 2 Parameters of asynchronous motor
3 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制器設(shè)計
交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為非線性高階系統(tǒng)，其在d-q坐標(biāo)系下的電壓、磁鏈方程[24]如下：
式中：Rs、Rr分別為定子、轉(zhuǎn)子的電阻；Lm、Ls、Lr分別為定-轉(zhuǎn)子互感、定子電感和轉(zhuǎn)子電感；ωT、ωs分別為定子的同步轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)差轉(zhuǎn)速；U、I、?分別為電壓、電流、磁鏈；p為微分算子，p=d/dt。
在同步旋轉(zhuǎn)M-T坐標(biāo)系中，有：
式中：np為極對數(shù)；?r為轉(zhuǎn)子總磁鏈。
根據(jù)式(15)，將式(8)的后2個公式改寫成如下形式：
其中：
式中：ui(i=1, 2)為所設(shè)計的控制器。
本文通過對2個異步電機(jī)進(jìn)行矢量控制來實(shí)現(xiàn)其同步運(yùn)轉(zhuǎn)。異步電機(jī)的矢量控制原理如圖2所示。參照文獻(xiàn)[16-18]，采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法分別設(shè)計2個異步電機(jī)的控制器：對于電機(jī)1，只控制其轉(zhuǎn)速；對于電機(jī)2，只控制其與電機(jī)1之間的相位差。由此可實(shí)現(xiàn)2個異步電機(jī)的0或π相位差同步運(yùn)轉(zhuǎn)。
圖2 異步電機(jī)的矢量控制原理Fig.2 Vector control principle for asynchronous motor
3.1 主電機(jī)轉(zhuǎn)速控制
設(shè)異步電機(jī)1（主電機(jī)）的目標(biāo)轉(zhuǎn)速為ωd，實(shí)際轉(zhuǎn)速為ω1；異步電機(jī)2（從電機(jī)）的實(shí)際轉(zhuǎn)速為ω2，則轉(zhuǎn)速跟蹤誤差e1為：
對式(17)求導(dǎo)，并將式(16)中的第1個方程代入，則可得：
設(shè)計滑模函數(shù)s1：
式中：c1為正實(shí)數(shù)。
對s1求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(18)可得[16-18]：
假設(shè)s?1=0并忽略擾動TL1，則異步電機(jī)1的等效控制器ue1可表示為：
為了增強(qiáng)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計魯棒控制器uh1：
其中：
式中：ε1為大于零的常數(shù)。
根據(jù)式(21)和式(22)，異步電機(jī)1的轉(zhuǎn)速滑模控制器u1為：
將式(23)代入式(20)，整理可得：
定義Lyapunov函數(shù)V1為：
由式(25)可知，當(dāng)V1=0時，s1=0；當(dāng)V1＞0時，s1≠0。對式(25)求導(dǎo)，可得：
由式(26)可知，當(dāng)ε1＞|TL1|/(Jo1+mo1r12)時，≤0，則有
根據(jù)式(19)，可得：
3.2 從電機(jī)相位控制
異步電機(jī)1和異步電機(jī)2之間相位差的追蹤誤差e2可表示為：
式中：Δφ為2個異步電機(jī)的相位差，Δφ=φ1-φ2；Δφd為目標(biāo)相位差。
結(jié)合式(16)和追蹤誤差e2的二階導(dǎo)數(shù)，可得：
設(shè)計滑模函數(shù)s2[16-18]：
式中：c2為正實(shí)數(shù)。
同理，為了增強(qiáng)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計魯棒控制器uh2[25]：
其中：
根據(jù)式(31)和式(32)，異步電機(jī)2的相位差滑?？刂破鱱2為：
將式(33)代入式(30)，整理可得：
定義Lyapunov函數(shù)V2為：
由式(35)可知，當(dāng)V2=0時，s2=0；當(dāng)V2＞0時，s2≠0。對式(35)求導(dǎo)，可得：
4 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)同步仿真分析
根據(jù)雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程、所設(shè)計的控制器以及電源-電機(jī)模塊，在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立振動系統(tǒng)的機(jī)電-控制仿真模型。為了檢驗(yàn)所設(shè)計控制器的可行性和魯棒性，首先，討論在自同步狀態(tài)（即控制器不介入）下彈簧剛度對振動系統(tǒng)同步特性的影響；然后，對自同步狀態(tài)下不能同步以及同步相位差不能實(shí)現(xiàn)0或π的工況進(jìn)行控制同步仿真；最后，對比自同步仿真與控制同步仿真的結(jié)果。雙質(zhì)體振動系統(tǒng)和異步電機(jī)的參數(shù)設(shè)置參見表1和表2。
4.1 自同步仿真分析
圖3所示為自同步狀態(tài)下彈簧剛度不同時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差隨時間的變化曲線，圖中曲線最終收斂說明振動系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了自同步運(yùn)動。從圖3中可以看出，該振動系統(tǒng)的運(yùn)動呈現(xiàn)3種狀態(tài)：1）相位差Δφ=0.91rad時的同向同步運(yùn)動狀態(tài)；2）相位差為- 3.12≤Δφ≤- 2.35rad時的反向同步運(yùn)動狀態(tài)；3）相位差發(fā)散時的不同步運(yùn)動狀態(tài)。隨著彈簧剛度ky1的增大，相位差曲線經(jīng)歷了收斂—發(fā)散—收斂—發(fā)散—收斂的過程。當(dāng)ky1=443 kN/m時，相位差曲線發(fā)散，根據(jù)式(12)，此時Y方向的固有頻率與激振頻率相同，均為157 rad/s；當(dāng)ky1=900 kN/m時，相位差曲線也發(fā)散，此時X方向的固有頻率為146.3 rad/s，略小于激振頻率157 rad/s；當(dāng)ky1=1 062 kN/m，相位差曲線收斂，此時X方向的固有頻率與激振頻率相同。結(jié)果表明，當(dāng)X方向共振時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動，此時其相位差Δφ=- 2.90rad。
圖3 不同彈簧剛度下雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差仿真結(jié)果Fig.3 Phase difference simulation results of double-mass vibration system under different spring stiffness
通過仿真得到ky1=443 kN/m和ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的響應(yīng)和異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。由圖可知，當(dāng)ky1=443 kN/m時，異步電機(jī)不能以恒定的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)速在149.4～158.1rad/s內(nèi)波動；振動系統(tǒng)各個方向的振幅均不恒定，即無恒定的運(yùn)動軌跡。當(dāng)ky1=1 062 kN/m時，異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速在151.4～152.4rad/s內(nèi)波動，可以看作以恒定的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)；振動系統(tǒng)各個方向的振幅恒定，即運(yùn)動軌跡恒定。
圖4 ky1=443 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的自同步仿真結(jié)果Fig.4 Self-synchronization simulation results of doublemass vibration system with ky1=443 kN/m
圖5 ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的自同步仿真結(jié)果Fig.5 Self-synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=1 062 kN/m
4.2 控制同步仿真
分別采用圖4和圖5對應(yīng)的參數(shù)對雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制，得到ky1=443 kN/m和ky1=1 062 kN/m時振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果，分別如圖6和圖7所示。其中：主電機(jī)的目標(biāo)轉(zhuǎn)速ωd=157rad/s；主從電機(jī)間的初始目標(biāo)相位差Δφd=0，t=15 s時目標(biāo)相位差Δφd=π。由圖6和圖7可知，相位差曲線最終趨于收斂，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)各個方向的振幅恒定，說明其處于穩(wěn)定的同步運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。根據(jù)圖6(a)、(b)和圖7(a)、(b)，可知所設(shè)計的控制器的跟蹤效果良好。
圖6 ky1=443 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果Fig.6 Control synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=443 kN/m
圖7 ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果Fig.7 Control synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=1 062 kN/m
對比圖4和圖6可知，通過對異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制可使原本不能同步運(yùn)轉(zhuǎn)的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)同步運(yùn)轉(zhuǎn)且可以調(diào)節(jié)相位差。對比圖6(e)和圖6(f)所示的振動系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動軌跡可知，當(dāng)目標(biāo)相位差為π時振動系統(tǒng)的Y方向響應(yīng)顯著增大，上、下質(zhì)體的運(yùn)動軌跡均為與水平方向夾角大約為60°的橢圓軌跡。
對比圖5和圖7可知，通過對異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制可以改變雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差。在自同步運(yùn)轉(zhuǎn)時，振動系統(tǒng)的相位差為-2.90 rad；在控制同步運(yùn)轉(zhuǎn)時，振動系統(tǒng)的相位差可以為0或π。對比7(e)和圖7(f)可知，當(dāng)目標(biāo)相位差為π時，振動系統(tǒng)的X方向響應(yīng)顯著增大，上、下質(zhì)體的運(yùn)動軌跡均為與水平方向夾角大約為10°的橢圓軌跡。
5 結(jié) 論
1）本文采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法分別設(shè)計了雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的2個異步電機(jī)的控制器。同時，在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立了振動系統(tǒng)的機(jī)電-控制仿真模型，并進(jìn)行了自同步和控制同步仿真。通過對比自同步和控制同步的仿真結(jié)果，驗(yàn)證了所設(shè)計控制器的可行性和魯棒性。
2）當(dāng)Y方向共振時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)動；當(dāng)X方向共振時，該振動系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)相位差為- 2.90rad的自同步運(yùn)動；但當(dāng)X方向的固有頻率略小于激振頻率（即ky1=900kN/m）時，振動系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)動。
3）所設(shè)計的控制器可以使雙質(zhì)體振動系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)0或π相位差的同步運(yùn)轉(zhuǎn)。當(dāng)X方向和Y方向共振（即ky1=443kN/m和ky1=1 062kN/m）時，相位差為π的同步運(yùn)動有利于振動系統(tǒng)共振規(guī)律的利用。利用此規(guī)律，在不改變異步電機(jī)激振頻率的情況下，僅采用質(zhì)徑積較小的異步電機(jī)即可實(shí)現(xiàn)所需的振幅，有利于節(jié)約能源。
4）X方向共振的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)可用于設(shè)計振動運(yùn)輸設(shè)備；Y方向共振的系統(tǒng)可用于設(shè)計振動篩分設(shè)備。
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余樂， 侯勇俊， 趙永強(qiáng)， 汪玉琪
（1.陜西理工大學(xué) 工程訓(xùn)練中心， 陜西 漢中 723001； 2.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 四川 成都 610500）
在煤炭、化工、建筑和糧食等領(lǐng)域，振動機(jī)械常被用于輸送、篩分、干燥物料[1]。其中，自同步振動篩因結(jié)構(gòu)簡單、維護(hù)方便而被廣泛應(yīng)用[2-3]。自同步是指2個或多個偏心轉(zhuǎn)子無需剛性連接即可實(shí)現(xiàn)同轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)，即轉(zhuǎn)子間的相位差保持恒定。因此，在利用同步現(xiàn)象之前必須解決2個問題：一個是振動系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動，另一個是在同步運(yùn)動過程中的相位差是否滿足要求。這2個問題將直接影響振動系統(tǒng)的響應(yīng)。
自同步現(xiàn)象最早由Huygens于1665年發(fā)現(xiàn)[4]，他觀察到2個懸掛在薄板上的鐘擺在搖動一段時間后可以同步擺動。進(jìn)入20世紀(jì)后，Blekhman等[5-6]對2個偏心轉(zhuǎn)子的同步運(yùn)動進(jìn)行了研究，并提出了自同步理論；聞邦椿等[2-3]分析了振動機(jī)械的自同步特性，并將相關(guān)理論應(yīng)用到工程實(shí)踐中。近年來，Zhang等[7-9]采用改進(jìn)的小參數(shù)方法分別對由2個和多個激振電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究；Djanan等[10-11]研究了一種激振電機(jī)在平板上運(yùn)動的振動系統(tǒng)的同步運(yùn)動；賀斌等[12-13]對一種2個激振電機(jī)安裝在同一個質(zhì)體上的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究。與此同時，學(xué)者們紛紛開展了多電機(jī)驅(qū)動振動系統(tǒng)的控制同步研究。Kong等[14-15]研究了由多個激振電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)的控制同步運(yùn)動及其索末菲（Sommerfeld）效應(yīng)。Fang等[16-18]提出了轉(zhuǎn)子耦合擺振動系統(tǒng)，并對其自同步運(yùn)動和控制同步運(yùn)動進(jìn)行了深入的研究。黃志龍等[19-20]在考慮物料影響的情況下，采用相鄰交叉耦合控制策略對多種多電機(jī)驅(qū)動的振動系統(tǒng)進(jìn)行了控制同步研究。張康等[21-22]采用不同的滑模控制策略對多個直線電機(jī)進(jìn)行了同步控制并開展了實(shí)驗(yàn)研究。
然而，上述文獻(xiàn)的研究對象主要是激振電機(jī)安裝在同一質(zhì)體上的振動系統(tǒng)，而較少涉及激振電機(jī)安裝在不同質(zhì)體上的振動系統(tǒng)。為了減小地基載荷、占地面積以及實(shí)現(xiàn)對物料的多級篩分，侯勇俊等[23]提出了一種激振電機(jī)（異步電機(jī)）安裝在不同質(zhì)體上的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)，并對其同步性展開了研究。結(jié)果表明：一些結(jié)構(gòu)參數(shù)對振動系統(tǒng)的同步相位差有顯著影響，在部分參數(shù)條件下振動系統(tǒng)甚至不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)轉(zhuǎn)，這均會影響振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和工作效率。
通常當(dāng)同步相位差為0或π時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的激振力可以最大程度地疊加或者抵消，故0或π相位同步通常為工程應(yīng)用所需的工作狀態(tài)。為了進(jìn)一步提升振動系統(tǒng)的工作性能，筆者擬采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法對異步電機(jī)進(jìn)行矢量控制，以實(shí)現(xiàn)0或π相位同步。當(dāng)振動系統(tǒng)的固有頻率與激振頻率相近時，其振幅會快速變化。利用這一特性，在工程應(yīng)用中只需更換不同剛度的彈簧而不改變其他條件即可改變質(zhì)體的振幅。因此，本文主要討論彈簧剛度對振動系統(tǒng)同步運(yùn)動的影響以及所設(shè)計控制器對彈簧剛度不同的振動系統(tǒng)的同步控制效果。
1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型
雙質(zhì)體振動系統(tǒng)主要由上質(zhì)體、下質(zhì)體、激振電機(jī)（異步電機(jī)）、彈簧和底座等組成，其動力學(xué)模型如圖1所示。其中：彈簧是對稱放置的；2個異步電機(jī)上所帶的偏心塊用2個偏心轉(zhuǎn)子表示。當(dāng)振動系統(tǒng)工作時，2個安裝在不同質(zhì)體上的異步電機(jī)產(chǎn)生的激振力通過中間彈簧相互傳遞。這樣既可以減小每個質(zhì)體的載荷，又能使2個質(zhì)體以不同的軌跡運(yùn)動。在動力學(xué)建模時，先推導(dǎo)振動系統(tǒng)的動能、勢能和能量耗散函數(shù)，再代入拉格朗日方程以推導(dǎo)振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。
圖1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.1 Dynamics model of double-mass vibration system
圖1中：o1-X1Y1和o2-X2Y2分別為上振動體（上質(zhì)體和異步電機(jī)1的裝配體）和下振動體（下質(zhì)體和異步電機(jī)2的裝配體）的絕對坐標(biāo)系；o′1-X′1Y′1和o′2-X′2Y′2分別為平行于o1-X1Y1和o2-X2Y2的相對坐標(biāo)系；o′1-X″1Y″1和o′2-X″2Y″2分別為相對于o′1-X′1Y′1和o′2-X′2Y′2的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；o′1和o′2分別為上、下振動體的質(zhì)心，靜止時o′i與oi(i=1, 2)重合；o″i(i=1, 2)為偏心轉(zhuǎn)子i的旋轉(zhuǎn)中心；li為原點(diǎn)oi與o″i之間的距離；φi為偏心轉(zhuǎn)子i的角位移；βi為連線oio″i與Xi軸之間的夾角；ri為偏心轉(zhuǎn)子i的等效半徑。令Φ″1、Φ″2分別表示偏心轉(zhuǎn)子1，2的質(zhì)心在坐標(biāo)系o′1-X″1Y″1和o′2-X″2Y″2中的坐標(biāo)，Φ1、Φ2分別表示偏心轉(zhuǎn)子1，2的質(zhì)心在坐標(biāo)系o1-X1Y1和o2-X2Y2中的坐標(biāo)，則根據(jù)圖1，可得：
其中：
式中：Φ′1、Φ′2分別為上、下振動體質(zhì)心的位移向量；xi、yi分別為振動體質(zhì)心沿Xi、Yi方向的位移；ψi為振動體質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角位移。
由此可得，振動系統(tǒng)的動能T為：
式中：M1、M2分別為上、下振動體的質(zhì)量；moi為偏心轉(zhuǎn)子i的質(zhì)量；Jz1、Jz2分別為上、下振動體的轉(zhuǎn)動慣量；Joi為異步電機(jī)i的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。
振動系統(tǒng)的勢能E為：
式中：kxi、kyi、kψi分別為沿Xi、Yi和質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的彈簧剛度，其中kxi=kyi/3。
振動系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)D為：
式中：fxi、fyi、fψi分別為沿Xi、Yi和質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的彈簧阻尼，其中fxi=0.001kxi，fyi=0.001kyi；fi為異步電機(jī)i的轉(zhuǎn)軸的阻尼。
則振動系統(tǒng)的廣義力Q可表示為：
式中：Te1、Te2分別為異步電機(jī)1，2的電磁轉(zhuǎn)矩。
拉格朗日方程可表示為：
其中：
式中：q為振動系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。
將式(3)至式(6)代入式(7)，即可得振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：
其中：
式中：TL1、TL2分別為異步電機(jī)1，2的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。
2 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的固有頻率
對式(8)的前2個方程進(jìn)行Laplace變換，可得：
式中：S為Laplace算子；(S)為xi的Laplace變換；(S)為moiri(sinφi+cosφi)的Laplace變換。
將式(9)整理成矩陣形式：
特征方程X(S)的行列式可以表示成如下形式：
令|X(S)|=0以求解S，其解可表示為：
式中：a1、a2為衰減系數(shù)；ωxr1、ωxr2為振動系統(tǒng)X方向的固有頻率。
同理，可得振動系統(tǒng)Y方向的固有頻率ωyr1和ωyr2。由于在實(shí)際工程應(yīng)用中通常要求振動體上每個點(diǎn)的軌跡相同，因此異步電機(jī)的旋轉(zhuǎn)中心與振動體的質(zhì)心重合（即l1=l2=0m），不考慮質(zhì)心旋轉(zhuǎn)方向的振動。
本文雙質(zhì)體振動系統(tǒng)選用2個相同的異步電機(jī)，振動系統(tǒng)和異步電機(jī)的參數(shù)分別如表1和表2所示。根據(jù)表2中異步電機(jī)的參數(shù)，可得其角頻率（即激振頻率）為157 rad/s。將表1中振動系統(tǒng)的參數(shù)代入式(12)，可計算得到當(dāng)ky1=1 062 kN/m時，振動系統(tǒng)X方向的固有頻率與激振頻率相同；當(dāng)ky1=443 kN/m時，振動系統(tǒng)Y方向的固有頻率與激振頻率相同。
表1 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的參數(shù)Table 1 Parameters of double-mass vibration system
表2 異步電機(jī)的參數(shù)Table 2 Parameters of asynchronous motor
3 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制器設(shè)計
交流異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為非線性高階系統(tǒng)，其在d-q坐標(biāo)系下的電壓、磁鏈方程[24]如下：
式中：Rs、Rr分別為定子、轉(zhuǎn)子的電阻；Lm、Ls、Lr分別為定-轉(zhuǎn)子互感、定子電感和轉(zhuǎn)子電感；ωT、ωs分別為定子的同步轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)差轉(zhuǎn)速；U、I、?分別為電壓、電流、磁鏈；p為微分算子，p=d/dt。
在同步旋轉(zhuǎn)M-T坐標(biāo)系中，有：
式中：np為極對數(shù)；?r為轉(zhuǎn)子總磁鏈。
根據(jù)式(15)，將式(8)的后2個公式改寫成如下形式：
其中：
式中：ui(i=1, 2)為所設(shè)計的控制器。
本文通過對2個異步電機(jī)進(jìn)行矢量控制來實(shí)現(xiàn)其同步運(yùn)轉(zhuǎn)。異步電機(jī)的矢量控制原理如圖2所示。參照文獻(xiàn)[16-18]，采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法分別設(shè)計2個異步電機(jī)的控制器：對于電機(jī)1，只控制其轉(zhuǎn)速；對于電機(jī)2，只控制其與電機(jī)1之間的相位差。由此可實(shí)現(xiàn)2個異步電機(jī)的0或π相位差同步運(yùn)轉(zhuǎn)。
圖2 異步電機(jī)的矢量控制原理Fig.2 Vector control principle for asynchronous motor
3.1 主電機(jī)轉(zhuǎn)速控制
設(shè)異步電機(jī)1（主電機(jī)）的目標(biāo)轉(zhuǎn)速為ωd，實(shí)際轉(zhuǎn)速為ω1；異步電機(jī)2（從電機(jī)）的實(shí)際轉(zhuǎn)速為ω2，則轉(zhuǎn)速跟蹤誤差e1為：
對式(17)求導(dǎo)，并將式(16)中的第1個方程代入，則可得：
設(shè)計滑模函數(shù)s1：
式中：c1為正實(shí)數(shù)。
對s1求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(18)可得[16-18]：
假設(shè)s?1=0并忽略擾動TL1，則異步電機(jī)1的等效控制器ue1可表示為：
為了增強(qiáng)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計魯棒控制器uh1：
其中：
式中：ε1為大于零的常數(shù)。
根據(jù)式(21)和式(22)，異步電機(jī)1的轉(zhuǎn)速滑模控制器u1為：
將式(23)代入式(20)，整理可得：
定義Lyapunov函數(shù)V1為：
由式(25)可知，當(dāng)V1=0時，s1=0；當(dāng)V1＞0時，s1≠0。對式(25)求導(dǎo)，可得：
由式(26)可知，當(dāng)ε1＞|TL1|/(Jo1+mo1r12)時，≤0，則有
根據(jù)式(19)，可得：
3.2 從電機(jī)相位控制
異步電機(jī)1和異步電機(jī)2之間相位差的追蹤誤差e2可表示為：
式中：Δφ為2個異步電機(jī)的相位差，Δφ=φ1-φ2；Δφd為目標(biāo)相位差。
結(jié)合式(16)和追蹤誤差e2的二階導(dǎo)數(shù)，可得：
設(shè)計滑模函數(shù)s2[16-18]：
式中：c2為正實(shí)數(shù)。
同理，為了增強(qiáng)振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)計魯棒控制器uh2[25]：
其中：
根據(jù)式(31)和式(32)，異步電機(jī)2的相位差滑?？刂破鱱2為：
將式(33)代入式(30)，整理可得：
定義Lyapunov函數(shù)V2為：
由式(35)可知，當(dāng)V2=0時，s2=0；當(dāng)V2＞0時，s2≠0。對式(35)求導(dǎo)，可得：
4 雙質(zhì)體振動系統(tǒng)同步仿真分析
根據(jù)雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程、所設(shè)計的控制器以及電源-電機(jī)模塊，在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立振動系統(tǒng)的機(jī)電-控制仿真模型。為了檢驗(yàn)所設(shè)計控制器的可行性和魯棒性，首先，討論在自同步狀態(tài)（即控制器不介入）下彈簧剛度對振動系統(tǒng)同步特性的影響；然后，對自同步狀態(tài)下不能同步以及同步相位差不能實(shí)現(xiàn)0或π的工況進(jìn)行控制同步仿真；最后，對比自同步仿真與控制同步仿真的結(jié)果。雙質(zhì)體振動系統(tǒng)和異步電機(jī)的參數(shù)設(shè)置參見表1和表2。
4.1 自同步仿真分析
圖3所示為自同步狀態(tài)下彈簧剛度不同時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差隨時間的變化曲線，圖中曲線最終收斂說明振動系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了自同步運(yùn)動。從圖3中可以看出，該振動系統(tǒng)的運(yùn)動呈現(xiàn)3種狀態(tài)：1）相位差Δφ=0.91rad時的同向同步運(yùn)動狀態(tài)；2）相位差為- 3.12≤Δφ≤- 2.35rad時的反向同步運(yùn)動狀態(tài)；3）相位差發(fā)散時的不同步運(yùn)動狀態(tài)。隨著彈簧剛度ky1的增大，相位差曲線經(jīng)歷了收斂—發(fā)散—收斂—發(fā)散—收斂的過程。當(dāng)ky1=443 kN/m時，相位差曲線發(fā)散，根據(jù)式(12)，此時Y方向的固有頻率與激振頻率相同，均為157 rad/s；當(dāng)ky1=900 kN/m時，相位差曲線也發(fā)散，此時X方向的固有頻率為146.3 rad/s，略小于激振頻率157 rad/s；當(dāng)ky1=1 062 kN/m，相位差曲線收斂，此時X方向的固有頻率與激振頻率相同。結(jié)果表明，當(dāng)X方向共振時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步運(yùn)動，此時其相位差Δφ=- 2.90rad。
圖3 不同彈簧剛度下雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差仿真結(jié)果Fig.3 Phase difference simulation results of double-mass vibration system under different spring stiffness
通過仿真得到ky1=443 kN/m和ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的響應(yīng)和異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速，結(jié)果分別如圖4和圖5所示。由圖可知，當(dāng)ky1=443 kN/m時，異步電機(jī)不能以恒定的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)速在149.4～158.1rad/s內(nèi)波動；振動系統(tǒng)各個方向的振幅均不恒定，即無恒定的運(yùn)動軌跡。當(dāng)ky1=1 062 kN/m時，異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速在151.4～152.4rad/s內(nèi)波動，可以看作以恒定的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)；振動系統(tǒng)各個方向的振幅恒定，即運(yùn)動軌跡恒定。
圖4 ky1=443 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的自同步仿真結(jié)果Fig.4 Self-synchronization simulation results of doublemass vibration system with ky1=443 kN/m
圖5 ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的自同步仿真結(jié)果Fig.5 Self-synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=1 062 kN/m
4.2 控制同步仿真
分別采用圖4和圖5對應(yīng)的參數(shù)對雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制，得到ky1=443 kN/m和ky1=1 062 kN/m時振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果，分別如圖6和圖7所示。其中：主電機(jī)的目標(biāo)轉(zhuǎn)速ωd=157rad/s；主從電機(jī)間的初始目標(biāo)相位差Δφd=0，t=15 s時目標(biāo)相位差Δφd=π。由圖6和圖7可知，相位差曲線最終趨于收斂，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)各個方向的振幅恒定，說明其處于穩(wěn)定的同步運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)。根據(jù)圖6(a)、(b)和圖7(a)、(b)，可知所設(shè)計的控制器的跟蹤效果良好。
圖6 ky1=443 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果Fig.6 Control synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=443 kN/m
圖7 ky1=1 062 kN/m時雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的控制同步仿真結(jié)果Fig.7 Control synchronization simulation results of double-mass vibration system with ky1=1 062 kN/m
對比圖4和圖6可知，通過對異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制可使原本不能同步運(yùn)轉(zhuǎn)的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)同步運(yùn)轉(zhuǎn)且可以調(diào)節(jié)相位差。對比圖6(e)和圖6(f)所示的振動系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)動軌跡可知，當(dāng)目標(biāo)相位差為π時振動系統(tǒng)的Y方向響應(yīng)顯著增大，上、下質(zhì)體的運(yùn)動軌跡均為與水平方向夾角大約為60°的橢圓軌跡。
對比圖5和圖7可知，通過對異步電機(jī)進(jìn)行滑模矢量控制可以改變雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的相位差。在自同步運(yùn)轉(zhuǎn)時，振動系統(tǒng)的相位差為-2.90 rad；在控制同步運(yùn)轉(zhuǎn)時，振動系統(tǒng)的相位差可以為0或π。對比7(e)和圖7(f)可知，當(dāng)目標(biāo)相位差為π時，振動系統(tǒng)的X方向響應(yīng)顯著增大，上、下質(zhì)體的運(yùn)動軌跡均為與水平方向夾角大約為10°的橢圓軌跡。
5 結(jié) 論
1）本文采用主從控制結(jié)構(gòu)和滑模控制算法分別設(shè)計了雙質(zhì)體振動系統(tǒng)的2個異步電機(jī)的控制器。同時，在MATLAB/Simulink環(huán)境中建立了振動系統(tǒng)的機(jī)電-控制仿真模型，并進(jìn)行了自同步和控制同步仿真。通過對比自同步和控制同步的仿真結(jié)果，驗(yàn)證了所設(shè)計控制器的可行性和魯棒性。
2）當(dāng)Y方向共振時，雙質(zhì)體振動系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)動；當(dāng)X方向共振時，該振動系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)相位差為- 2.90rad的自同步運(yùn)動；但當(dāng)X方向的固有頻率略小于激振頻率（即ky1=900kN/m）時，振動系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)自同步運(yùn)動。
3）所設(shè)計的控制器可以使雙質(zhì)體振動系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)0或π相位差的同步運(yùn)轉(zhuǎn)。當(dāng)X方向和Y方向共振（即ky1=443kN/m和ky1=1 062kN/m）時，相位差為π的同步運(yùn)動有利于振動系統(tǒng)共振規(guī)律的利用。利用此規(guī)律，在不改變異步電機(jī)激振頻率的情況下，僅采用質(zhì)徑積較小的異步電機(jī)即可實(shí)現(xiàn)所需的振幅，有利于節(jié)約能源。
4）X方向共振的雙質(zhì)體振動系統(tǒng)可用于設(shè)計振動運(yùn)輸設(shè)備；Y方向共振的系統(tǒng)可用于設(shè)計振動篩分設(shè)備。
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