謝超， 陳云壯， 石光楠， 賴磊捷

（上海工程技術大學 機械與汽車工程學院， 上海 201620）

柔性鉸鏈是一種其薄弱環(huán)節(jié)在力和力矩的作用下有著較明顯彈性變形的彈性機構[1]，具有無機械摩擦、運動平穩(wěn)、尺寸小、易加工及裝配等優(yōu)點[2]，已被廣泛應用于諸如微定位工作臺、微操作機器人、超精密加工、精密姿態(tài)調整、顯微鏡和芯片制造等精密工程制造領域[3-7]。

傳統(tǒng)的柔性鉸鏈如簧片型和切口型柔性鉸鏈的自由度只有1個，在實際使用時受到了很大限制[8]。為了使柔性鉸鏈實現(xiàn)如常規(guī)球鉸般繞三軸在空間旋轉的運動功能，其構型設計十分重要。柔性球鉸一般指具有3個轉動自由度的柔性鉸鏈[9]，已有許多學者對其進行了研究。如：Lonbontiu等[10]設計了具有雙軸拋物線形切口截面輪廓線的柔性球鉸，推導了球鉸柔度計算公式；朱仁勝等[11]、陳應舒等[12]分別對切口截面輪廓線為圓弧形和橢圓弧形的柔性球鉸進行了研究，得到了其柔度計算公式。傳統(tǒng)的缺口型柔性球鉸利用鉸鏈細頸，能夠實現(xiàn)繞3個功能軸轉動。此外，將柔性虎克鉸與柔性鉸鏈進行組合，形成軸線相交型柔性球鉸，也能實現(xiàn)繞3個軸轉動[13-14]。上述各類球鉸的工作行程較小，只能在小范圍內進行有效的工作，不能應用于需大行程的場合。

針對傳統(tǒng)柔性球鉸結構構型和柔度計算復雜、加工工藝要求較高以及工作行程較小等問題，作者設計了一種基于正交彈性簧片的軸線相交型大行程柔性球鉸，即將具有較大變形能力的簧片梁通過正交組合形成虎克鉸，使得該新型柔性球鉸能夠繞3個功能軸線轉動較大的角度，且具有結構構型簡潔、易于加工制作及工作行程較大等優(yōu)點。首先，進行了新型柔性球鉸的結構設計和柔度計算；其次，進行了球鉸柔性有限元仿真和實驗驗證；最后，研究了柔性球鉸相關幾何參數(shù)對其柔度的影響。

1 大行程柔性球鉸結構設計

作者設計的大行程柔性球鉸的結構如圖1所示，其可以采用整體線切割加工工藝制成。柔性球鉸結構的主體部分由6個柔性簧片梁組成，簧片梁1，2，3組成一個整體A1，簧片梁4，5，6組成另一個整體A2?；善?與3并聯(lián)之后串聯(lián)到簧片梁1上，簧片梁1上端連接機架，簧片梁4，5，6采用相同的方式連接。A1與A2互相垂直并且通過中間連接件正交串聯(lián)，由此構成柔性球鉸的工作部分，球鉸的剩余部分為剛件。

圖1 大行程柔性球鉸的結構Fig.1 Structure of large stroke flexible ball hinge

大行程柔性球鉸的變形原理如圖2所示。在全局坐標系OA-xyz中，由于柔性機構的彈性形變，整體A1可以產(chǎn)生沿y軸的位移δy以及繞z軸的角位移θz。此外，由于簧片梁較小的扭轉剛度，A1也能產(chǎn)生繞x軸的有限角位移θx，可將其視為繞x軸的轉動自由度。因此，A1可以產(chǎn)生3個自由度。同樣，A2也可以產(chǎn)生3個自由度。將A1與A2進行正交串聯(lián)，組成一個新型大行程柔性球鉸整體，其除了在豎直方向不能產(chǎn)生位移外，能夠產(chǎn)生包含3個軸向運動的五自由度運動。

圖2 大行程柔性球鉸變形原理示意Fig.2 Schematic diagram of deformation principle of large stroke flexible ball hinge

2 大行程柔性球鉸柔度計算

2.1 簧片梁柔度矩陣

柔性球鉸的運動是由簧片梁的彈性形變導致的，因此，對簧片梁進行柔度建模是柔性球鉸整體柔度計算的基礎。柔度矩陣法具有建模簡單、計算效率高、精度高等優(yōu)點[15]，可以精確描述復雜柔性機構所受載荷與位移或轉動變形之間的關系。因此，根據(jù)柔性球鉸的結構形狀和特點，采用柔度矩陣法對柔性球鉸的柔度計算公式進行推導。

簧片梁如圖3所示。為了獲得球鉸的整體柔度矩陣，首先須獲得簧片梁i的柔度矩陣Ci0（i=1,2, …, 6）。

圖3 簧片梁示意圖Fig.3 Schematic diagram of reed beam

式中：X=[δxδyδzθxθyθz]T，為簧片梁自由端在各方向產(chǎn)生的變形；F=[FxFyFzMxMyMz]T，為簧片梁自由端所受載荷。

根據(jù)材料力學中的歐拉伯努利梁理論[16]，通過簧片梁在單獨力或力矩作用下產(chǎn)生的變形與力之間的關系來推導簧片梁的柔度矩陣，即：

簧片梁柔度矩陣Ci0的參數(shù)及其計算公式如表1所示。表中：l、w和t分別為圖3所示簧片梁的長度、寬度和厚度；E為彈性模量；G為剪切模量；J為扭轉系數(shù)。

表1 簧片梁柔度矩陣的參數(shù)及其計算公式Table 1 Parameters and their calculation formulas of compliance matrix of reed beam

式中：ν為泊松比；β為與t/w的值有關的因數(shù)，

2.2 柔性球鉸柔度計算公式推導

柔性球鉸的截面如圖4所示。全局坐標系OAxyz的原點OA位于柔性球鉸頂部中心?；善?和6的長度、寬度和厚度分別為l1、w1和t1，簧片梁2，3，4，5的長度、寬度和厚度分別為l2、w2和t2，簧片梁2的中心線與簧片梁4寬度方向豎直中心線之間的距離為p，其余部分視為剛性件。所有簧片梁共用同一個全局坐標系OA-xyz。

圖4 柔性球鉸的截面Fig.4 Section of flexible ball hinge

對柔性球鉸進行建模時，將每個簧片梁都視為一個六自由度的簧片（彈簧），得到柔性鉸鏈的彈簧模型，如圖5所示。

圖5 柔性鉸鏈的彈簧模型Fig.5 Spring model of flexible hinge

將簧片i在局部坐標系Oj-xjyjzj（j=1, 2, …, 6）中的柔度矩陣定義為Cji。首先將圖5中局部坐標系Oj-xjyjzj中的簧片柔度矩陣Cji轉換到全局坐標系OA-xyz中，得到在統(tǒng)一的全局坐標系OA-xyz中簧片i的柔度矩陣CAi。彈簧中任意一點的柔度矩陣可以通過坐標系變換得到，其變換公式[17]為：

其中：

式中：O為3×3的零矩陣；Rji為局部坐標系Oi-xiyizi相對于坐標系Oj-xjyjzj的旋轉變換矩陣，為：

式中：θx、θy、θz分別為繞x、y、z軸的旋轉角度。

rji為Oi在坐標系Oj-xjyjz中的坐標，為：

S(rji)為反對稱算子矩陣，為：

將6個簧片的柔度矩陣都轉換到坐標系OA-xyz中，則：

式中：RAi為局部坐標系Oi-xiyizi相對于全局坐標系OA-xyz的旋轉變換矩陣；rAi為Oi在坐標系OA-xyz中的坐標；I為單位矩陣。

柔性球鉸模型中，簧片2與簧片3并聯(lián)，簧片4與簧片5并聯(lián)，因此，該4個簧片在坐標系OA-xyz中的柔度總和CAE可以表示為:

簧片1和簧片6在坐標系OA-xyz中的柔度分別為CA1與CA6，則根據(jù)串并聯(lián)結構的柔度建模方法，柔性球鉸在OA-xyz坐標系中的總柔度CAZ為：

3 柔性球鉸柔性仿真分析及實驗驗證

3.1 仿真分析

為了驗證柔性球鉸柔度計算公式的準確性，設置實際的材料參數(shù)和幾何參數(shù)，利用MATLAB軟件進行理論計算，然后利用ANSYS軟件進行有限元仿真。

設置柔性球鉸的材料為鋁合金。其材料參數(shù)和幾何參數(shù)如表2所示。根據(jù)公式(18)，利用MATLAB軟件計算柔度矩陣。

表2 柔性球鉸的材料參數(shù)和幾何參數(shù)Table 2 Material and geometric parameters of flexible ball hinge

在SolidWorks軟件中建立柔性球鉸三維模型，并將它導入ANSYS Workbench進行靜力學仿真分析。仿真模型的網(wǎng)格劃分越精細，模型就越接近真實物理模型，所求得結果的精度就越高。本文采用四面體單元對柔性球鉸進行網(wǎng)格劃分，尺寸設置為0.5 mm，并進行局部網(wǎng)格細化，以保證仿真的準確性。柔性球鉸仿真模型的網(wǎng)格劃分如圖6所示，其靜力學仿真分析結果如圖7所示。

圖6 柔性球鉸仿真模型的網(wǎng)格劃分Fig.6 Mesh generation of flexible ball hinge simulation model

圖7 柔性球鉸靜力學仿真分析結果Fig.7 Static simulation analysis results of flexible ball hinge

根據(jù)輸入載荷和仿真得到的輸出位移計算相應的柔度值，并與理論計算值進行對比，結果如表3所示。結果表明，兩者的相對誤差基本上在10%以內，最大相對誤差為10.85%，表明柔度的計算精度較高。

表3 柔性球鉸柔度理論計算和仿真分析結果Table 3 Theoretical calculation and simulation analysis results of compliance of flexible ball hinge

3.2 實驗驗證

為了進一步驗證柔性球鉸柔度計算公式的準確性，按表2所示的柔性球鉸的材料參數(shù)和幾何參數(shù)加工柔性球鉸，并進行其柔度測試。柔度測試裝置如圖8所示。平移方向（y、z向）柔度測試裝置包括測力儀、測微儀和固定支架；扭轉方向（x向）柔度測試裝置包括測微儀、千分表、固定支架和力矩扳手。

圖8 柔性球鉸柔度測試裝置Fig.8 Testing device of compliance of flexible ball hinge

平移方向柔度測試實驗：分別施加y、z向的力使柔性球鉸產(chǎn)生變形；在球鉸變形從1 mm增大到2 mm的過程中，每間隔0.1 mm變形記錄其所需的力的大小。以施加的力為橫坐標、變形位移為縱坐標，對采集到的數(shù)據(jù)進行擬合，得到的擬合直線的斜率即為柔度[18]。柔性球鉸y、z向的力—位移曲線如圖9所示。由圖可知，柔性球鉸y向的柔度Cδy-Fy=1.092 mm/N，z向的柔度Cδz-Fz=1.401 2 mm/N。

圖9 柔性球鉸y、 z向的力—位移曲線Fig.9 Force-displacement curve of flexible ball hinge in the y and z directions

扭轉方向柔度測試實驗：固定測微儀指針與千分表指針之間的水平距離L=12 mm，用力矩扳手在球鉸末端施加x向的扭矩Mx；在扭矩由0.30 N·m增大至0.39 N·m的過程中，每間隔0.01 N·m記錄測微儀指針的水平移動距離Δd1和千分表指針的水平移動距離Δd2。利用所得的數(shù)據(jù)計算不同扭矩下球鉸的扭轉角度θ：

柔性球鉸扭矩—扭角曲線如圖10所示。由圖可知，柔性球鉸扭轉方向的柔度Cθx-Mx=1.411 7 rad/(N·m)。

圖10 柔性球鉸扭矩—扭角曲線Fig.10 Torque-angle curve of flexible ball hinge

比較實驗結果與計算結果可知，柔性球鉸y、z向柔度的相對誤差分別為7.70%和7.78%，x向柔度的相對誤差為7.25%，驗證了柔度計算公式具有較高的準確性。產(chǎn)生誤差的原因主要包括三部分：其一，簧片梁的尺寸存在加工誤差；其二，在測試過程中存在力和位移的測量誤差；其三，最重要的原因是大變形簧片梁存在的幾何非線性并不完全符合采用柔度矩陣法進行理論計算時線性小變形的假設，這將在后續(xù)研究中進行進一步分析。

4 柔性球鉸幾何參數(shù)對柔度的影響

正交簧片型柔性球鉸的結構相比傳統(tǒng)的球鉸有本質的區(qū)別，并且其具有易加工制作和工作行程大等優(yōu)點。在不同的應用場合，其所需要的行程和負載能力有所不同，因此，有必要分析柔性球鉸的幾何參數(shù)對柔度的影響。

保持柔性球鉸的材料參數(shù)不變，采用控制變量法，通過改變柔性球鉸某一幾何參數(shù)來分析該參數(shù)對柔度的影響[19]。根據(jù)柔性球鉸的結構可知，簧片梁1，2的厚度相同，即t1=t2。由有限元仿真結果可知，簧片梁1的變形較小，其對柔性球鉸的柔度影響較小，故設置l1=10 mm，w1=18 mm，分別改變t2、w2和l2來分析簧片梁2的幾何參數(shù)對柔度的影響，結果如圖11所示。由圖可知：Cδy-Fy、Cδz-Fz、Cθx-Mx、Cθy-My均隨t2和w2的增大而減小，隨l2的增大而增大，與l2呈正相關。通過對比可以得出，柔性球鉸幾何參數(shù)對其柔度影響程度從大到小依次為t2、w2、l2。

圖11 簧片梁2的幾何參數(shù)對柔性球鉸柔度的影響Fig.11 Influence of geometric parameters of reed beam 2 on compliance of flexible ball hinge

5 結 論

本文設計了一種正交簧片型大行程柔性球鉸，即將具有較大變形能力的簧片梁通過正交組合形成虎克鉸，使其實現(xiàn)3個功能軸線方向的運動。采用柔度矩陣法和坐標變換方法對柔性球鉸的全局柔度矩陣進行理論建模，通過有限元仿真和實驗測試對所建立的柔度理論模型進行分析和驗證。結果表明，柔度理論計算值與仿真值的相對誤差基本上在10%以內，與測試值的相對誤差在8%以內，證明了柔度計算公式具有較高的準確性。通過改變柔性球鉸的幾何參數(shù)來分析其對柔度的影響，得出幾何參數(shù)對柔度影響程度從大到小依次是柔性簧片梁2的厚度、寬度、長度。作者設計的正交簧片型大行程柔性球鉸及其柔度計算和特性分析能夠為大行程空間柔順機構的多樣化設計提供參考。