張志堅(jiān)

【摘要】本文以幫助高中學(xué)生掃清數(shù)學(xué)解題盲點(diǎn)、清除數(shù)學(xué)解題誤區(qū)，整體提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力為目的，以高中學(xué)生一般數(shù)學(xué)解題規(guī)律為基準(zhǔn)，結(jié)合人教版（2019）高中數(shù)學(xué)A版教材實(shí)例與歷年高考真題從審題、析題、解題三個(gè)層面上探討在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中讓學(xué)生把握正確數(shù)學(xué)解題技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；解題技巧

高中數(shù)學(xué)的深?yuàn)W煩瑣與抽象復(fù)雜，這就使得多數(shù)高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)生成較大的畏難、厭學(xué)、排斥心理，學(xué)習(xí)效率與思維能力自然也會(huì)受此影響.因此，在現(xiàn)如今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用多種解題技巧探索與分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅是快速提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的“捷徑”，同時(shí)也是發(fā)展培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵手段.

1 審題：多元觀察，巧換視角

審題是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的第一步，對(duì)后續(xù)解題方法的明確、解題效率與解題的正確性起重要決定作用［1］.

例如 在人教版高中數(shù)學(xué)教材必修第一冊(cè)“對(duì)數(shù)函數(shù)”一課中，有問(wèn)題“說(shuō)明函數(shù)y=log3x與y=log13x的關(guān)系”.在引導(dǎo)學(xué)生解答這一問(wèn)題前，高中數(shù)學(xué)教師就可為學(xué)生提供兩種審題視角，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題展開多維度、多層面觀察.

視角1 解題者視角

根據(jù)已知的指數(shù)函數(shù)知識(shí)可知，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.如y=12x與y=2x的圖象可如圖1繪制.可從指數(shù)函數(shù)的圖象繪制中汲取解題思想與靈感，通過(guò)代入具體數(shù)值的方式求出底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的具體坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)描點(diǎn)畫出函數(shù)圖象得出函數(shù)y=log3x與y=log13x關(guān)于x軸對(duì)稱的結(jié)論.

視角2 出題者視角

從學(xué)生已知的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱性知識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)繪制底數(shù)互為倒數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象得出對(duì)數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的結(jié)論，考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力、數(shù)學(xué)推理能力、直觀想象能力以及對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的掌握程度.

綜合上述兩種視角，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路便會(huì)得到明晰，即在同一平面直角坐標(biāo)系中，先畫出底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x與y=log13x的函數(shù)圖象，根據(jù)二者的函數(shù)圖象說(shuō)明對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x的函數(shù)圖象與y=log13x的函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角觀察與審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)在后續(xù)的數(shù)學(xué)解題過(guò)程中從宏觀整體的角度上觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題，在實(shí)際的解題過(guò)程中也會(huì)更加精準(zhǔn)、精確地找到得分點(diǎn)，而且對(duì)高中學(xué)生應(yīng)試能力的提升，對(duì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)理性數(shù)學(xué)思維的形成同樣也大有助益［2］.

2 析題：把握關(guān)鍵，找準(zhǔn)思路

通過(guò)多視角、多維度審題，學(xué)生便會(huì)對(duì)問(wèn)題的條件、所需遷移運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)形成大致把握，解題的準(zhǔn)確性與效率也會(huì)因此而得到大幅度提升［3］.

例如 在人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“平面向量的運(yùn)算”一課中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量加法a+b≤a+b解決下題時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師就要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題的過(guò)程中剔除非必要因素，把握題目中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)符號(hào).

例1 長(zhǎng)江是我國(guó)第一大河，全長(zhǎng)約有6300km.在沒(méi)有橫跨長(zhǎng)江兩岸大橋的地方，常需要借助輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖2所示，輪船欲從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直向長(zhǎng)江北岸B地航行.此時(shí)，這艘輪船的行駛速度為20km/h，江水的水流速度為向東8km/h.

（1）以向量的方式表示江水的水流速度、輪船的船速與輪船實(shí)際的航行速度；

（2）求圖2中輪船的實(shí)際航行速度大小與方向（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.

這是一道包含兩個(gè)小問(wèn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的多角度審視，學(xué)生可通過(guò)數(shù)學(xué)建模、數(shù)形轉(zhuǎn)化構(gòu)建出輪船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直向長(zhǎng)江北岸B地航行的路線圖（圖3），完成對(duì)第一小問(wèn)的破解，即AB為輪船的船速、AD為江水的水流速度，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，即可用AC表示出輪船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直向長(zhǎng)江北岸B地航行的實(shí)際航行速度.

而對(duì)于題中第2小問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生，將學(xué)生的眼光與關(guān)注點(diǎn)有意引導(dǎo)到題干中“輪船的行駛速度為20km/h”“江水的水流速度為向東8km/h”與（2）問(wèn)中“求圖2中輪船的實(shí)際航行速度大小與方向”幾處上，運(yùn)用勾股定理與向量加法的三角形法則進(jìn)行解題：

在Rt△ACD中，AD為長(zhǎng)江水流速度8km/h，DC= AB同為輪船的行駛速度20km/h，所以根據(jù)勾股定理a2+b2= c2，

便有AC=AD2+DC2=82+202=464≈21.54，

因?yàn)閠an∠CAD=DCAD=208=52，

所以∠CAD≈68.20°.

所以輪船的實(shí)際航行速度約為21.54km/h，方向與江水速度之間的夾角約是68.20°.

通過(guò)設(shè)置有目的性教學(xué)問(wèn)題的方式將學(xué)生的眼光與注意力吸引到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)上，驅(qū)動(dòng)學(xué)生圍繞關(guān)鍵點(diǎn)展開對(duì)問(wèn)題的深度分析與仔細(xì)琢磨，在日復(fù)一日的鍛煉與訓(xùn)練中學(xué)生思維的敏捷性與靈活性也會(huì)得到有效提升與增強(qiáng)，高效解題、精準(zhǔn)解題自然便會(huì)因此而易如反掌的實(shí)現(xiàn)［4］.

3 解題：活用思想，化難為簡(jiǎn)

隨著新高考制度的持續(xù)深化，老師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用有效的數(shù)學(xué)思想方法化解難題，并在深刻理解把握數(shù)學(xué)思想方法精神實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，促使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有機(jī)發(fā)展［5］.

例如 在人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“圓錐曲線的方程”一章教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師就將結(jié)論法、特殊值法與數(shù)形結(jié)合法滲透到學(xué)生數(shù)學(xué)解題過(guò)程之中.

第1，用結(jié)論法解題.

例2 已知有橢圓方程x220+y26=1，點(diǎn)Q是該橢圓方程上的一點(diǎn)，M1、M2分別為這一橢圓方程的左右焦點(diǎn).如果QM1·QM2QM1QM2=12，那么△M1QM2的面積是（? ）

（A）33. （B）23. （C）3. （D）33.

以正向思維分析問(wèn)題，并按照常規(guī)解題方法解決這一選擇題，多數(shù)學(xué)生會(huì)因計(jì)算量過(guò)大半途而廢，并很難得出結(jié)果.對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師就可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用結(jié)論法逆向探討這一問(wèn)題：將題目解釋為焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，讓學(xué)生由此遷移運(yùn)用已知的焦點(diǎn)三角形面積計(jì)算公式S△M1QM2=b2tanθ2便可口算出這一橢圓方程問(wèn)題的結(jié)果，即33，選（A）.

第二，用特殊值法解題.

例3? M1，M2分別為橢圓O的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q是該橢圓方程上的一點(diǎn).且有QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°，那么橢圓O的離心率是多少？

特殊值法是高中數(shù)學(xué)方程、函數(shù)問(wèn)題解決中常用的解題方法，是一種結(jié)合已知條件對(duì)未知巧妙賦值創(chuàng)造解題條件，進(jìn)而精準(zhǔn)快速得出結(jié)果的數(shù)學(xué)解題方法.在本題中，高中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生將QM1賦值為1，然后根據(jù)題干中的已知條件QM1⊥QM2，∠QM2M1=60°推導(dǎo)出M1M2=2，QM2=3，再根據(jù)橢圓離心率e=ca與橢圓定義、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出e=2c2a=M1M2PM1+PM2=23+1=3－1，即O的離心率是3－1.

第3，用數(shù)形結(jié)合法解題.

例4 已知有傾斜角為30°的直線過(guò)雙曲線方程x23-y26=1的右焦點(diǎn)M2，交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，求AB.

高中數(shù)學(xué)教師可在學(xué)生細(xì)致審題、深度析題的基礎(chǔ)上，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)題干繪制出相對(duì)應(yīng)的圖象（圖4），由此學(xué)生便能夠根據(jù)圖象確定出雙曲線方程的兩個(gè)焦點(diǎn)M1－3，0，M23，0，進(jìn)而得出直線AB的方程y=33x－3；隨后，將雙曲線方程x23-y26=1與直線AB方程y=33x－3聯(lián)立消去y，得出x1，x2的值；最后，將x1，x2的值代入直線AB方程y=33x－3中，即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-3，-23，95，-235，AB的值，即問(wèn)題結(jié)果自然便會(huì)在數(shù)與形的巧妙轉(zhuǎn)化中浮出水面，即1635.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)學(xué)是一門具有極強(qiáng)規(guī)律性與邏輯性的教學(xué)學(xué)科.高中數(shù)學(xué)教師在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，就要重視起對(duì)“授人以漁”思想的開發(fā)運(yùn)用，讓學(xué)生在教師有目的性的引導(dǎo)促進(jìn)中實(shí)現(xiàn)“知其然，知其所以然”的深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，得到潛力潛能的充分開發(fā).

參考文獻(xiàn)：

［1］王麗杰.高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（20）：44-45.

［2］謝克仁.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題技巧探析建議［J］.學(xué)苑教育，2022（20）：62-63+66.

［3］張景勝.高中數(shù)學(xué)解題技巧及思路分析［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（08）：36-38.

［4］張祖斌.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)方法及解題技巧研究［J］.天天愛(ài)科學(xué)（教育前沿），2022（04）：97-98.

［5］李峰.高中數(shù)學(xué)數(shù)列試題解題技巧探索［J］.試題與研究，2021（23）：33-34.