陳偉孟

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

馬朝華

(北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校 北京 100097)

1 關(guān)于模型建構(gòu)

核心素養(yǎng)中的科學(xué)思維主要包括模型建構(gòu)、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素.模型思維是一種重要的科學(xué)思維,為了描述客觀事物的運動規(guī)律,科學(xué)家往往把研究對象抽象為理想模型,突出問題的主要方面,忽略次要因素,建立理想化的“物理模型”.我們通?？梢园盐锢淼哪Ｐ徒?gòu)分為:建立模型、分析模型、驗證模型等過程.高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)將科學(xué)思維中的模型建構(gòu)分為五級水平,如表1所示.

表1 科學(xué)思維中模型建構(gòu)水平劃分

其中,水平二是學(xué)業(yè)水平合格性考試的要求,水平四是學(xué)業(yè)水平等級性考試的要求.在物理模型教學(xué)中,通過學(xué)習(xí)物理模型的建立及其應(yīng)用,可使學(xué)生逐步認識模型的設(shè)計依據(jù),建立模型的方法,從而初步掌握建模方法.

理想模型是為了便于研究問題而對研究對象進行理想化抽象的過程.實際問題往往比較復(fù)雜,影響的因素很多,直接研究它們會比較困難.科學(xué)研究中運用這種方法,人們就可以用模型來表示研究對象,使得研究變得簡單、有效,從而便于人們?nèi)フJ識和把握問題的本質(zhì).理想模型在現(xiàn)實中并不存在,但是通過它可以對實際問題進行本質(zhì)探討,并得到有價值的結(jié)論.物理學(xué)習(xí)中通過抽象方法建構(gòu)的理想化模型有很多,如表2所示,按照研究對象來看可以分為質(zhì)點、點電荷、單擺、彈簧振子、理想氣體等模型,按照研究過程來看可以分為勻變速直線運動、勻速圓周運動、簡諧運動和碰撞等模型.實際上,具體問題的研究往往是對象模型和過程模型組合研究的過程,比如質(zhì)點的勻變速直線運動和彈簧振子的簡諧運動.

表2 一般物理模型的分類

如圖1所示,模型建構(gòu)既是用理想模型去描述表示實際問題的過程,也是將實際問題抽象為理想模型的過程.物理學(xué)科核心素養(yǎng)要求具有建構(gòu)理想模型的意識和能力,能正確運用科學(xué)思維方法,具有批判性思維的意識,能基于證據(jù)大膽質(zhì)疑,從不同角度思考問題.每當(dāng)遇到新問題時,物理學(xué)家們總是試圖建立一個物理模型加以解釋.高中物理學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生會遇到各種物理模型,這是對自然世界認識過程的提煉.因而,模型建構(gòu)不僅是處理問題的手段,更是人類認識這個世界的方式.在物理學(xué)中發(fā)展起來的建模方法已經(jīng)滲透到其他科學(xué)領(lǐng)域和社會的各個方面.

圖1 模型建構(gòu)過程

我們在認識、解決某個實際問題時,總要把實際問題抽象成一個簡化的模型加以解決.例如研究一列火車從北京到南京的運行問題時,盡管火車各部分的運動各不相同,很復(fù)雜,但對于我們要研究的問題而言,可以把火車各部分運動的差別忽略,甚至火車的長度都可以忽略不計.在這種情況下,我們可以用一個有質(zhì)量的點來表示火車的運動,稱為“質(zhì)點”.但要研究車輪上某點的運動,則不能把火車看成一個點.因此,把一個實際問題抽象成與之對應(yīng)的理想模型總是有一定的適用條件的.突出問題的主要方面,忽略次要因素,抽象出研究對象或研究過程的本質(zhì)特征,進而對其進行研究.

以物體的運動為例,物理學(xué)家大致是通過3個層次進行力學(xué)解釋的,并由此體現(xiàn)3個方面的物理學(xué)思想.第一個層次是提出物理實在的基本構(gòu)成的假設(shè)性構(gòu)型.通過設(shè)想物質(zhì)基本單元的構(gòu)型和相互作用來回答“物體究竟是怎樣構(gòu)成的和怎樣運動的”問題.質(zhì)點就是作為組成物體的物質(zhì)粒子理想模型,被看作最基本的物質(zhì)單元,其他物體可以看作由質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系.然后再設(shè)定質(zhì)點之間的相互作用,由此建立質(zhì)點的運動理論.第二個層次是設(shè)定物理實在的假設(shè)性力學(xué)模型.通過從模型演繹得到的運動變化來回答“物體的運動及其變化究竟是怎樣發(fā)生的”問題.自由落體運動、勻速圓周運動和簡諧運動等就是這樣的力學(xué)模型.第三個層次是建立分析動力學(xué)的運動方程.通過數(shù)學(xué)抽象把運動規(guī)律上升提煉為用符號表示的數(shù)學(xué)方程,來回答“物體的運動規(guī)律究竟具有怎樣的普遍性”的問題,也被稱為數(shù)學(xué)模型.從質(zhì)點構(gòu)型到物理模型再到抽象符號表示,從本體論思想到物理建模再到數(shù)學(xué)綜合的思想,是物理學(xué)家研究力學(xué)現(xiàn)象的3個層次.

2 單體模型建構(gòu)

【案例1】某同學(xué)將質(zhì)量m=0.60 kg的籃球從距地面高度h1=1.5 m處由靜止釋放,籃球與地面碰撞后反彈高度h2=1.2 m.設(shè)籃球始終在豎直方向做一維運動,不計空氣阻力,取重力加速度g=10 m/s2.

模型分析：本案例對應(yīng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平四的內(nèi)容,通過模型建構(gòu)層級的具體情境劃分,能將實際問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成所學(xué)的熟悉物理模型.模型建構(gòu)中體現(xiàn)著層級的設(shè)置,對應(yīng)著學(xué)生問題認識和問題解決能力的水平.

研究對象為籃球,“籃球從距地面高度h1=1.5 m處由靜止釋放”.籃球在此處僅僅做一維的平動,一般運動物體可視為質(zhì)點的條件是“該物體的大小遠遠小于其位移的大小,或者該物體僅僅做平動運動”,不考慮籃球的轉(zhuǎn)動,因此可視為質(zhì)點,按照質(zhì)點模型來分析.

研究過程為勻變速直線運動和碰撞.籃球在整個過程中做自由落體、勻加速和勻減速等勻變速直線運動,同時與地面碰撞時涉及機械能的損失,因此屬于一般碰撞.

建模層級(1)：假設(shè)籃球每次與地面碰撞損失的機械能相同,籃球通過與地面多次碰撞反彈,反彈高度會越來越低,最終停下來.求由靜止釋放到最終停下來,籃球與地面碰撞的次數(shù)n.

問題解決(1)：

籃球一次碰撞損失的機械能為

ΔE=mgh1-mgh2=1.8 J

籃球與地面碰撞的次數(shù)

建模分析(1)：假設(shè)籃球每次與地面碰撞損失的機械能相同.學(xué)生通過觀察籃球高度的變化,能夠直觀發(fā)現(xiàn)籃球碰撞過程中是伴隨著機械能的損失的,故該碰撞并非彈性碰撞.每次機械能損失相同,與實際運動情況有聯(lián)系又有區(qū)別,屬于機械能減小過程中的最初級的建構(gòu).

建模層級(2)：實際上籃球每次因碰撞損失的機械能會隨著碰前動能的減小而減小,假設(shè)籃球每次與地面碰撞前后的動能之比不變.為了使籃球反彈得高一些,可以通過拍球來實現(xiàn).

當(dāng)籃球第一次與地面碰撞后反彈至h2=1.2 m時,該同學(xué)向下拍球,要使籃球落地后反彈的高度仍為1.2 m,求該同學(xué)在拍球過程中需要對籃球所做的功W.

問題解決(2)：籃球每次與地面碰撞后與碰撞前的動能的比值為

根據(jù)動能定理,籃球下落過程

W+mgh2=Ek1

籃球反彈上升過程 -mgh2=0-Ek2

可得

W=1.8 J

建模分析(2)：機械能等比減小.學(xué)生結(jié)合實際拍球時籃球高度的變化,能夠發(fā)現(xiàn)籃球碰撞過程中的高度應(yīng)該是非線性減小的.每次機械能損失不同,但是損失量與籃球碰撞前的動能有關(guān),建立兩者之間的關(guān)系,接近實際情形并能通過計算解決.對做功的問題并不做恒力或變力的區(qū)分,用一般性的動能定理解決問題.

建模層級(3)：在拍球過程中,可以通過改變拍球的作用力大小從而改變拍球的節(jié)奏,我們會發(fā)現(xiàn)不管是籃球的下落還是上升,有一段過程籃球好像粘在手上一樣.這是因為球開始下落的同時向下拍球,手通過接觸會對球施加一向下的動力F1;當(dāng)球反彈上升至某一高度時,手通過接觸對球施加一向下的阻力F2,使球和手一起向上運動至最高點.若拍球過程中籃球最大高度始終為1.2 m,手對球的兩次作用力均視為恒力,且在上升和下降過程中,球與手作用的距離均為s=0.2 m.請推導(dǎo)F2大小與F1大小之間的關(guān)系式,并在圖2中畫出F2-F1圖線,標(biāo)出圖線與橫軸交點的橫坐標(biāo).

圖2 F2-F1坐標(biāo)系

問題解決(3)：根據(jù)動能定理,籃球下落過程

根據(jù)

可得F2大小與F1大小關(guān)系

F2-F1圖線如圖3所示.

圖3 F2-F1圖線

建模分析(3)：學(xué)生結(jié)合實際拍球時籃球高度的變化,能夠發(fā)現(xiàn)籃球碰撞過程中的高度應(yīng)該是非線性減小的,采用了等比的方式.每次機械能損失不同,但是損失量與籃球碰撞前的動能有關(guān),建立兩者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.做功的角度,將外力做功細化為恒力做功,使得手對籃球的做功問題更直觀具體,并且是學(xué)生運用已有知識能夠解決的問題.

建模層級(4)：若某中學(xué)物理研究性學(xué)習(xí)興趣小組設(shè)計制作了一款傳感器手套,他們用該手套測試同學(xué)在運球、傳球、投籃時手對籃球施加的力的大小.某同學(xué)戴著手套原地連續(xù)在一維豎直方向練習(xí)拍球測試,通過傳感器手套得到了手對籃球施加向下的壓力F隨籃球距地面高度h的變化關(guān)系如圖4所示.求:拍球時籃球與地面碰撞前后的動能之比.

圖4 F-h變化關(guān)系

問題解決(4)：拍球時是恒力→線性變力做功.隨位移線性變化的力做功,與彈簧彈力的做功類似,由恒力功→變力功,通過圖像中線性力與位移所圍成的面積進行計算解決

建模分析(4)：對做功進行建模的過程中,恒力做功應(yīng)該是較簡單的一種情形,在此基礎(chǔ)上聯(lián)系實際,將恒力做功轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞ψ龉?變力做功時,與彈簧彈力的做功類似,進行關(guān)聯(lián)整合,線性恒力做功是學(xué)生能夠通過公式或圖像來計算的,因此在此基礎(chǔ)上進行線性變力做功的進階,從而實現(xiàn)建模層級的進一步提升,更接近實際問題的情境.

3 系統(tǒng)模型建構(gòu)

【案例2】如圖5所示,一條輕繩跨過定滑輪,繩的兩端各系一個小球a和b,用手托住球b,當(dāng)繩剛好被拉緊時,球b離地面的高度為h,球a靜止于地面.已知球a的質(zhì)量為m,球b的質(zhì)量為3m,重力加速度為g,定滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦均不計.若無初速度釋放球b,則下列判斷正確的是( )

圖5 案例2圖

B.在球b下落過程中,球b所受拉力大小為mg

C.在球b下落過程中,球a的機械能保持不變

建模分析：

研究對象從單體→二體系統(tǒng).在一種情形中,將a、b均由靜止釋放,故a、b在相同時間內(nèi)運動的距離相等,故輕繩對a做的正功和對b做的負功之和為零,使b減少的機械能完全轉(zhuǎn)移給a,系統(tǒng)機械能守恒.而在另一種情形中,將b托起一定高度釋放后,輕繩繃緊的過程中,b在極短時間內(nèi)減速而a在極短時間內(nèi)加速從而兩者共速.在這個極短過程中,b運動的距離大于a運動的距離,a與b相當(dāng)于發(fā)生了一次完全非彈性碰撞,故細線對b所做的負功大于對a所做的正功,使得b減少的機械能沒有完全轉(zhuǎn)移給a,部分轉(zhuǎn)化為細線伸長而產(chǎn)生的內(nèi)能.

通過以上分析可見:同樣是細線連接的兩個物體a和b,由于初始狀態(tài)不同,導(dǎo)致結(jié)果相異.其關(guān)鍵就在于對“不可伸長的細線”的正確理解,“不可伸長”決不是絕對不可伸長的意思,而是伸長量相對原長而言可忽略.形變是產(chǎn)生彈力的必要條件,如果輕繩不可伸長,那輕繩中將不會出現(xiàn)彈力.因為繃緊時間極短,導(dǎo)致彈力極大,極大的彈力在極小的位移內(nèi)做功不為零,進一步導(dǎo)致系統(tǒng)機械能不守恒.

如圖6(a)所示,這個裝置原型叫阿特伍德機(Atwood machine),是由英國數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家的喬治·阿特伍德在1784年提出的,用于測量加速度及驗證運動定律的機械.一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質(zhì)量為m1和m2,及由無重量、無彈性的繩子連結(jié)并包覆理想且無重量的滑輪.當(dāng)m1=m2時,無論兩物體在何位置、機器處于力平衡的狀態(tài).當(dāng)m1≠m2時,兩物體皆以大小相等的加速度做運動.如圖6(b)所示,從阿特伍德機衍生出去,我們可以將其與驗證牛頓第二定律的實驗聯(lián)系起來,兩物體皆以大小相等的加速度做運動,實現(xiàn)認識的關(guān)聯(lián)與整合.

圖6 阿特伍德機衍生裝置示意圖

【案例3】應(yīng)用物理知識分析生活中的常見現(xiàn)象,可以使物理學(xué)習(xí)更加有趣和深入.例如人原地起跳時,總是身體彎曲,略下蹲,再猛然蹬地,身體打開,同時獲得向上的初速度,雙腳離開地面.從開始蹬地到雙腳離開地面的整個過程中( )

A.地面對人的支持力始終等于重力

B.地面對人的支持力的沖量大于重力的沖量

C.人原地起跳過程中獲得的動能來自于地面

D.人與地球所組成的系統(tǒng)的機械能是守恒的

建模分析：對于質(zhì)點模型,我們不能僅停留在“一個有質(zhì)量的點”的理解上.牛頓第二定律的研究對象是一個質(zhì)點.對于由多個質(zhì)點組成的系統(tǒng),在質(zhì)點的牛頓第二定律基礎(chǔ)進一步可以推導(dǎo)出質(zhì)點組的牛頓第二定律

F=m1a1+m2a2+…+mnan

其中F為質(zhì)點組所受合外力.

人站在原地起跳時,人獲得的機械能是怎么來的?很多學(xué)生會下意識覺得來自于地面支持力做的功.如圖7所示,可以通過類比進行建模.

圖7 人原地起跳與彈簧組合類比

一小球和一輕質(zhì)彈簧組合一起,處于壓縮狀態(tài)的彈簧能夠?qū)⑦@個組合彈起,這個過程中小球增加的機械能就是彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化而來的.經(jīng)過思考分析就會發(fā)現(xiàn)這個能量不會來自地面,因為這個過程中地面是不動的,其支持力是不做功的.人在起跳的過程中,人不能看成質(zhì)點,而是由無數(shù)個質(zhì)點組成的系統(tǒng),人在起跳的過程中,通過系統(tǒng)內(nèi)力做功把化學(xué)能轉(zhuǎn)化為人的機械能.值得注意的是:在人起跳的過程中,由于內(nèi)力等大反向、且作用時間相等,故內(nèi)力沖量的矢量和為零,人的動量變化與人的內(nèi)力沖量無關(guān)、只由人所受外力沖量決定,即地面支持力和人的重力沖量共同決定.由此可以看出:質(zhì)點相關(guān)的運動規(guī)律是復(fù)雜體系運動規(guī)律的基礎(chǔ),有了質(zhì)點這個概念以及建立在質(zhì)點概念基礎(chǔ)上的規(guī)律使我們認識復(fù)雜系統(tǒng)的運動成為可能.如圖8所示的兩個人在冰面上互推的過程,就是一個動量守恒而機械能增加的過程,與彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為兩物塊的動能類似,這是化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機械能的過程,也是屬于定性分析的過程.

圖8 人在水面上互推與彈簧組合類比

【案例4】高壓采煤水槍出水口的截面積為S,水的射速為v,射到煤層上后,水的速度變?yōu)榱?水的密度為ρ,不計水的重力影響.如何求水對煤層的沖力?

建模分析：這是中學(xué)物理中另一個常見模型即“流體模型”,是一個更為綜合的多體系統(tǒng)模型,我們可以從二體系統(tǒng)過渡到多體系統(tǒng)進行分析,如圖9所示.

圖9 案例4模型

取Δt內(nèi)與煤發(fā)生作用的水為研究對象,其質(zhì)量Δm=ρSvΔt,對其應(yīng)用動量定理,得-FΔt=0-Δmv,可得F=ρSv2,故水對煤的沖力F′=F=ρSv2,進一步可求出壓強p=ρv2,可見水沖擊產(chǎn)生的壓強與速率平方成正比.工業(yè)上可以用高速水流產(chǎn)生的巨大壓強進行金屬切割、工業(yè)加工等應(yīng)用,就是所謂的“水刀”.

如何看待這兩種建構(gòu)的模型?

這實際上與上述的質(zhì)點系統(tǒng)模型有關(guān):一段時間內(nèi)與煤發(fā)生作用的流體在減速過程中,相互之間必然有“擠壓”的作用力,這種作用力屬于這些流體間的內(nèi)力,與人原地起跳類似,內(nèi)力做功并不為零.也就是說,在流體與煤作用過程中,并不能把流體看成質(zhì)點.因此,上述動能定理的表達式中應(yīng)該還有一項流體內(nèi)力做功的表達式(內(nèi)力做功的結(jié)果把機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能),而動量定理表達式中并沒有內(nèi)力沖量的問題,所以模型二與實際情形是有出入的.相對于判斷系統(tǒng)的能量增減,運用動量定理算是屬于定量分析的過程.

4 總結(jié)

在學(xué)生學(xué)習(xí)的不同階段,對于同一個模型的理解和認識是需要逐步加深的,可以根據(jù)具體的標(biāo)準(zhǔn)和條件進行修正,以更逼近實際問題,這是物理學(xué)中一種典型的研究思想方法的體現(xiàn).人們認識任何事物一般總時遵循著從簡單到復(fù)雜,由“點”到“面”再到“體”的各個認識階段的.從質(zhì)點理想模型入手,逐步修改近似條件,以求得更加接近對實際復(fù)雜事物真實面貌的認識.理想化模型源于具體事物又高于具體事物,是感知和思維的產(chǎn)物.模型建構(gòu),不僅是我們研究具體問題的手段,也是我們認識這個世界的方式,這是科學(xué)認識方式對我們學(xué)習(xí)的重要啟示,在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)過程中都應(yīng)充分的重視.