郭東琴 張 暉 宋冬靈

(信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部 河南 鄭州 450001)

在大學(xué)物理基礎(chǔ)教學(xué)中,靜電場的能量是靜電學(xué)中的重要組成部分,教材[1-3]中引入了多種能量概念,如電勢能、相互作用能、自能、靜電能、電場能等,相應(yīng)的有各種能量計算公式.日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對這些概念的物理意義理解不夠透徹,對它們之間的區(qū)別和聯(lián)系容易混淆不清,不能靈活地應(yīng)用相關(guān)能量公式.近年來也有相關(guān)方面的教學(xué)研究論文[4-6]發(fā)表.

本文針對靜電場中的各種相關(guān)能量概念進(jìn)行分析,探討它們之間的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系,并結(jié)合實例對帶電體的靜電能進(jìn)行計算和討論.

1 相關(guān)能量概念解析

1.1 電勢能

在靜電學(xué)中,根據(jù)電場力做功與路徑無關(guān)的特點,引入電勢能的概念.電荷在電場中的電勢能在數(shù)值上等于將此電荷從該點移到零電勢能處時電場力所做的功.即

(1)

比如當(dāng)點電荷q1位于點電荷q2的電場中的a點,且距q2的距離為r時(圖1),取無窮遠(yuǎn)處為電勢能零點,那么將q1從當(dāng)前位置移到無窮遠(yuǎn)處時電場力做的功

圖1 點電荷q1位于點電荷q2的電場中時的電勢能

即為q1在a點所具有的電勢能

如果是連續(xù)帶電體位于外電場中,其電勢能應(yīng)將上式改寫為

(2)

其中U代表外電場在帶電體dq處產(chǎn)生的電勢,它是空間位置的函數(shù).

需要注意的是,一個電荷在外電場中的電勢能,屬于電荷與激發(fā)該電場的場源電荷所共有,是一種相互作用的能量.

1.2 相互作用能

對于由若干個帶電體組成的系統(tǒng),若把每一個帶電體看作一個不可分割的整體,將各帶電體從當(dāng)前位置移到無限遠(yuǎn)處靜電力做的功稱為它們之間的相互作用能,簡稱互能.互能也等于將各帶電體從無限遠(yuǎn)處移到當(dāng)前位置時外力克服電場力所做的功.注意任意兩個電荷之間的相互作用能屬于二者所共有,因此相互作用能僅計算一次,不能重復(fù).兩個點電荷之間的相互作用能為

(3)

我們將上式寫成對稱的形式

(4)

在式(4)中U12是點電荷q2在點電荷q1所在處產(chǎn)生的電勢,U21是點電荷q1在點電荷q2所在處產(chǎn)生的電勢.

對于多個點電荷所組成的點電荷系,相互作用能為

(5)

式中的Ui是除第i個點電荷以外的其他所有點電荷在第i個點電荷所在處產(chǎn)生的電勢.

需要注意,一個點電荷位于另一個點電荷的電場中所具有的電勢能正是二者之間的相互作用能,而點電荷系的相互作用能,實際上是該系統(tǒng)所有點電荷具有的電勢能之和.需要注意的是,當(dāng)多個帶電體組成帶電系統(tǒng)時,假如各帶電體所帶電荷符號相同,外力做正功,互能為正.當(dāng)各帶電體所帶電荷符號不同時,移動各帶電體時,外力做功可能為正,也可能為負(fù),總的相互作用能可正可負(fù).

1.3 自能

自能是指一個帶電體由無限分散狀態(tài)聚合起來時所具有的能量,在數(shù)值上等于把該帶電體上各部分電荷從無限分散的狀態(tài)聚集起來時外力所做的功.

對于電荷連續(xù)分布的帶電體,我們可以將帶電體上的電荷無限分割為許多小的電荷元dq,而每一個電荷元dq看成點電荷,將電荷元聚合成帶電體的過程中外力做的功可通過將式(5)推廣計算

(6)

即為連續(xù)帶電體的自能.該式中的U是除dq以外的其他電荷激發(fā)的電勢,由于dq在自身所在處產(chǎn)生的電勢為一無窮小量,所以上式可以認(rèn)為是所有電荷在dq處產(chǎn)生的電勢.

自能實際上是自身各電荷元之間的相互作用能,只不過從建立帶電體自身所需要能量的角度我們把它稱為自能.由于同一連續(xù)帶電體各部分所帶電荷符號相同,所以在把這些電荷由無限分散狀態(tài)構(gòu)成帶電體的過程中外力恒做正功,因此自能恒為正值.

1.4 靜電能

把帶電系統(tǒng)從無限分散狀態(tài)聚合到當(dāng)前位置時外力克服電場力所做的功稱為帶電系統(tǒng)所具有的靜電能.對于由若干個帶電體組成的帶電系統(tǒng),我們把建立帶電體自身所需要的能量稱為自能,把帶電體之間的相互作用能稱為互能,一個帶電系統(tǒng)的總靜電能等于各帶電體的自能和帶電體之間互能的總和.即

(7)

當(dāng)帶電系統(tǒng)的電荷被無限分割,應(yīng)用式(6)得到的不僅是帶電體之間的相互作用能,還包括每個帶電體的自能,因此

此時表示的就是整個帶電系統(tǒng)的總靜電能.當(dāng)只有一個帶電體時,該式給出的是該帶電體的自能.

關(guān)于帶電系統(tǒng)的靜電能公式

需注意以下3點:

(1)一個帶電系統(tǒng)的自能恒大于零,而互能可以大于零也可以小于零,但自能之和總是大于互能代數(shù)和的絕對值,因此一個帶電系統(tǒng)的靜電能總是正的.

(2)雖然該靜電能公式是由點電荷相互作用能公式

導(dǎo)出的,但是點電荷本身的自能發(fā)散,無法計算,見本文第2部分應(yīng)用舉例中的討論.

(8)

式中qi和Ui分別為第i個導(dǎo)體的電荷量和電勢.

1.5 電場能

前面給出的靜電能公式是與場源電荷相聯(lián)系的,事實上,電荷的周圍存在著電場,外力克服電場力搬運電荷的過程也是電場建立的過程.從這個角度說,靜電能儲存于電場中,靜電能可以用描述電場的特征量電場強度E來表示,又稱為電場能.

真空中的靜電場能量公式為

(9)

其中E代表體積元dV處的場強,積分遍布在整個電場存在的空間.

對于真空中的靜電場來說,電荷和電場都是不隨時間變化的,二者同時存在、相伴而生,靜電能就是電場能.在變化的電磁場中,電場可以脫離電荷而傳播到很遠(yuǎn)的地方,電磁波攜帶能量已被證實,電場具有能量是電場物質(zhì)性的一個表現(xiàn).

2 應(yīng)用舉例及討論

【例1】求真空中半徑為R,帶電荷量為Q的均勻帶電球體的靜電能.

球內(nèi)距球心為r處的電勢為

在距球心為r處選取厚為dr的薄球殼,球殼帶電荷量為

帶電球體的靜電能為

形成半徑為r的帶電球體,若此時再搬運一半徑從r到r+dr的帶電球?qū)?此球?qū)訋щ姾闪繛閐q=ρ4πr2dr,則此過程外力需做功

對整個帶電球體的體積積分,所得外力做的總功即是均勻帶電球體的靜電能W.

由高斯定理可得帶電球體內(nèi)外各點的電場

注意,在應(yīng)用電場能公式計算靜電能時,積分要遍布靜電場存在的整個空間.

【例2】真空中有一球形電容器,由半徑為R1和R2(R2>R1)的內(nèi)外兩個帶電導(dǎo)體球面組成,內(nèi)球面帶電荷量為+Q,外球面帶電荷量為-Q,求:(1)該電容器內(nèi)外球面的自能和相互作用能;(2)系統(tǒng)的靜電能.

解：(1)內(nèi)球面的自能

外球面的自能

內(nèi)外球面的互能為

其中U12是外球面電荷在內(nèi)球面所在處產(chǎn)生的電勢,U21是內(nèi)球面電荷在外球面所在處產(chǎn)生的電勢.

(2)系統(tǒng)的靜電能

解法一：利用W總=W自+W互計算

解法二：利用導(dǎo)體靜電能公式(8)計算

注意,這里U1、U2和(1)中U12、U21的區(qū)別,這里的U1是內(nèi)球面電荷所在處的電勢

U2是外球面電荷所在處的電勢

本題還可以利用電場能公式

進(jìn)行計算,結(jié)果都是一樣的.

3 結(jié)論

自能是指建立帶電體自身所需要的能量,互能指帶電體之間的相互作用能量,而一個帶電系統(tǒng)的靜電能等于各帶電體的自能和帶電體之間互能的總和.一個電荷在外電場中的電勢能,屬于電荷與激發(fā)該電場的場源電荷之間的相互作用能.對于真空中的靜電場來說,靜電能等于電場能,當(dāng)給定電荷分布時,可以從場源電荷和電場這兩方面來計算靜電能.