李江，張為慶

（東北電力大學電氣工程學院，吉林吉林132012）

0 引言

風能作為可再生能源，已成為全球裝機容量最大的綠色能源。雙饋風機（doubly-fed induction generator，DFIG）的運行效率高、成本低、變流器容量小，是目前使用最廣泛的風力發(fā)電機之一[1-6]。當前，我國主要風力發(fā)電基地與負荷中心相距較遠，需要通過遠距離輸電線路將電能輸送到負荷中心[7-13]，為了提高輸電線路的輸電能力以及系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，通常在遠距離高壓輸電線路中安裝串聯(lián)電容進行補償，輸電線路的串聯(lián)補償電容在大規(guī)模風電輸送中得到了廣泛地應(yīng)用[14-16]，但串聯(lián)補償電容的應(yīng)用同時也給電力系統(tǒng)帶來了次同步振蕩的風險[6-9]，當前雙饋風機次同步振蕩的分析主要集中在整數(shù)階領(lǐng)域，在分數(shù)階領(lǐng)域的研究還不夠深入。由于轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩的變量較多，動態(tài)行為比較復雜，對系統(tǒng)次同步振蕩的產(chǎn)生具有重要影響，所以本文對雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩變化量的傳遞函數(shù)增益進行分數(shù)階辨識獲取其分數(shù)階模型。

通常采用整數(shù)階模型研究系統(tǒng)的主要特征，但是對于大部分由分布參數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)，整數(shù)階模型并不能全面準確地表達其特性。而與整數(shù)階模型相比，分數(shù)階模型卻可以精確地描述分布參數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)[21-23]。隨著研究的深入，整數(shù)階模型在分析系統(tǒng)特性時已不足以反映系統(tǒng)的所有特征。分數(shù)階模型雖然可以描述系統(tǒng)更多的特性，但是帶來了辨識上的困難，與整數(shù)階模型相比，分數(shù)階模型要綜合考慮系數(shù)與階次的關(guān)系。在進行分數(shù)階模型辨識時，為了獲取最合適、最準確的辨識參數(shù)，需要在辨識過程中修改辨識模型，使辨識模型與辨識數(shù)據(jù)之間的誤差最小，利用最優(yōu)化的方法解決模型辨識問題[24]。

分數(shù)階微積分理論在實際工程中也有比較廣泛地應(yīng)用，電感與電容的分數(shù)階模型比整數(shù)階模型更能準確體現(xiàn)元件特性[25-28]。目前主要有頻域和時域兩種辨識方法，頻域辨識方法根據(jù)頻域數(shù)據(jù)，通過辨識算法得到分數(shù)階模型，時域辨識方法則通過時域數(shù)據(jù)進行辨識，與頻域辨識相比，時域辨識方法的辨識時間長、計算量大。文獻[29-30]根據(jù)永磁電機的電路特性建立了其分數(shù)階模型，并設(shè)計了永磁風機的時域與頻域?qū)嶒灧桨?，辨識得到了永磁風機的分數(shù)階模型，通過對比分析驗證了分數(shù)階模型的準確性；文獻[31]利用實驗辨識得到了鋰電池的分數(shù)階等效電路模型，通過分析模型預測結(jié)果與實驗結(jié)果，驗證了鋰電池的分數(shù)階模型的準確性。

本文首先在第1 節(jié)中給出雙饋風機轉(zhuǎn)子側(cè)電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的推導；然后，在第2 節(jié)中介紹基于Levy 方法的改進頻域辨識算法[32-33]，在第3節(jié)將辨識算法應(yīng)用到雙饋風機轉(zhuǎn)子側(cè)傳遞函數(shù)增益的分數(shù)階模型辨識中，并通過Bode 圖和單位階躍響應(yīng)曲線的分析驗證了分數(shù)階模型的準確性。

1 雙饋風機模型與轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益

雙饋風機主要由風力機、傳動系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子側(cè)變流器（rotor side converter，RSC）與網(wǎng)側(cè)變流器（grid side converter，GSC）等部分組成，本文所研究的系統(tǒng)如圖1 所示。在表1 中給出雙饋風機及輸電系統(tǒng)的參數(shù)。

表1 雙饋風機和輸電系統(tǒng)的參數(shù)Table 1 Parameters of DFIG and transmission network

圖1 雙饋風機系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of doubly fed induction generator system

轉(zhuǎn)子感應(yīng)電動勢的變化量公式為[34]

式中：ωr0*是穩(wěn)態(tài)時轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的標幺值；Lm*為dq坐標系下的定轉(zhuǎn)子之間的互感標幺值；isd0*、isq0*為定子電流在d軸和q軸分量的標幺值；ωs*為定子電角頻率；ωBase是同步角頻率；Δωr*是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化量。

根據(jù)雙饋風機系統(tǒng)示意圖中風機轉(zhuǎn)子及RSC部分的電路結(jié)構(gòu)，并通過Laplace 變換可得到兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下的方程表達式為

式中：Lcr*是轉(zhuǎn)子側(cè)變流器連接的電抗標幺值；Rrcr*=Rr*+Rcr*，即將轉(zhuǎn)子電阻與RSC 電阻合并后的電阻標幺值；ωBase是同步角頻率；ωr*為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的標幺值；ΔErd*、ΔErq*分別是轉(zhuǎn)子d、q軸感應(yīng)電動勢變化量的標幺值；ΔIrd*、ΔIrq*分別為轉(zhuǎn)子電流的d、q軸分量標幺值；ΔUrd*、ΔUrq*分別是RSC 在d、q軸上輸出電壓變化量的標幺值。

在轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的控制策略中，直軸和交軸均采用內(nèi)環(huán)和外環(huán)控制，如圖2 所示。直軸控制是為了確保轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速能夠跟隨參考值，交軸控制是為了實現(xiàn)定子的無功功率跟隨參考值。

圖2 RSC控制策略Fig.2 RSC control strategy

在下文的分析中，考慮到轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的內(nèi)環(huán)系數(shù)遠小于外環(huán)系數(shù)，所以只考慮內(nèi)環(huán)系數(shù)。當轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時，轉(zhuǎn)子側(cè)變流器輸出電壓的變化量公式為

式中，Kp2、Ki2分別是轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的內(nèi)環(huán)比例、積分系數(shù)。

聯(lián)立式（1）-（3），即可得到轉(zhuǎn)子電流變化量與轉(zhuǎn)速變化量之間的關(guān)系式公式為

根據(jù)雙饋風機的電磁轉(zhuǎn)矩關(guān)系式，可以得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩變化量的表達式為

式中，GTer(s)是轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩變化量傳遞函數(shù)增益。

大多數(shù)的風電場為了補償無功功率常裝設(shè)靜止補償器或靜止同步補償器，所以雙饋風機的定子電流中只含有isd0*，而isq0*=0。所以，可以得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩的表達式為

式中，各次系數(shù)公式為

2 基于Levy的分數(shù)階辨識算法

假設(shè)對于公式（6），通過Levy 辨識算法辨識得到的分數(shù)階模型表達式GF(s)公式為

第1 步：為了得到公式（7）中的各個參數(shù)，得到公式（7）所表示的分數(shù)階模型的頻域特性表達式。

令s=jω，帶入分數(shù)階模型表達式中，其頻域特性表達式為

第2 步：利用系統(tǒng)模型G(s)與辨識模型之間的誤差建立目標函數(shù)，求取分數(shù)階模型中的各個參數(shù)。

誤差目標函數(shù)公式為

當誤差目標函數(shù)η(jω)取值最接近0 時，GF(s)即為滿足條件的分數(shù)階模型。但是如果直接利用公式（9）的表達形式求解目標函數(shù)難以獲取分數(shù)階模型中的各個參數(shù)，所以需要對公式（9）進一步進行轉(zhuǎn)化，得到公式

將公式（8）帶入公式（10），得到公式

為了求解分數(shù)階模型中的辨識參數(shù)aj（j=0，1，2，…，n）和bi（i=0，1，2，…，m），將JL=|E|2作為目標函數(shù)，分別對aj和bi求偏導，公式為

將公式（11）帶入公式（12）中，可得方程組

通過求解公式（13）和公式（14）所表示的方程組就可以得到分數(shù)階模型的辨識參數(shù)aj（j=0，1，2，…，n）和bi（i=0，1，2，…，m）。為了更清楚簡潔地表達公式（13）和公式（14），用矩陣進行表示，公式為

式中：A、B、C、D、E和G的表達式在引入權(quán)重wp函數(shù)之后給出，見公式（18）-（23）；a=[a0，a1，a2，…，an]T；b=[b0，b1，b2，…，bm]T。

第3 步：為了提高辨識得到的分數(shù)階模型的精確性，利用Vinagre 算法構(gòu)造新的目標函數(shù)，并給出分數(shù)階模型與系統(tǒng)模型的均方差指標（root mean square error，RMSE）。

對于目標函數(shù)JL，頻率ω的取值越大，頻率ω對目標函數(shù)JL的影響就越大，而當頻率ω的取值較小時，頻率ω對目標函數(shù)JL的影響也較小，這就使得分數(shù)階模型在低頻段內(nèi)辨識效果不夠理想。本文采用Vinagre 算法：按順序?qū)p函數(shù)添加到原目標函數(shù)JL中，提高辨識算法在低頻區(qū)間的辨識準確度，引入wp函數(shù)之后的目標函數(shù)JV為[35]：

從公式（16）和公式（17）中可以看出，低頻對目標函數(shù)的影響得到了提高。因為wp函數(shù)與系數(shù)aj和bi無關(guān)，所以不會對公式（12）的值產(chǎn)生影響。加入wp函數(shù)之后，公式（15）中各個參數(shù)的表達式為

RMSE 的表達式為

式中，f是采樣點的總數(shù)。

3 算例分析

3.1 分數(shù)階模型的辨識

本文依據(jù)分數(shù)階連續(xù)分布的概念，提出雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的兩種分數(shù)階模型表達式[36]：

第1 種分數(shù)階模型設(shè)置為m=n=2，稱為2q階分數(shù)階模型，該模型是為了讓表達式更加簡潔、直觀的表現(xiàn)出分數(shù)階模型的優(yōu)勢，還可以在后續(xù)分析轉(zhuǎn)子特性時將其與分數(shù)階電路相對應(yīng)，用分數(shù)階理論分析系統(tǒng)特性。

第2 種模型將m和n分別設(shè)為3 和4，稱為3q階分數(shù)階模型，該模型是依據(jù)第1 節(jié)中雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩的整數(shù)階傳遞函數(shù)增益的形式設(shè)定的。當q=1 時，該模型等價于整數(shù)階模型在數(shù)值上的表達式。

根據(jù)第1 節(jié)推導的雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的表達式，做出轉(zhuǎn)子傳遞函數(shù)增益的Bode 圖，并從圖中取52 個有代表性的頻率點作為辨識數(shù)據(jù)；然后利用第2 節(jié)的辨識算法對2q階分數(shù)階模型和3q階分數(shù)階模型進行參數(shù)辨識。圖3 是頻率在[0.1 rad/s，316 rad/s]范圍內(nèi)52 個頻率點的辨識數(shù)據(jù)。

圖3 頻域辨識數(shù)據(jù)Fig.3 Frequency domain identification data

本文設(shè)定f=52，分數(shù)階階次q取值區(qū)間為（0，2），取值間隔為0.01。根據(jù)第2 節(jié)中提出的基于Levy 的改進辨識算法，利用矩陣公式（15）可以計算出2q階分數(shù)階模型中的參數(shù)a1、a2和b0、b1、b2以及3q階分數(shù)階模型中的參數(shù)a1、a2、a3、a4和b0、b1、b2、b3，并利用公式（24）計算相應(yīng)模型的均方差值。

對于2q階分數(shù)階模型，當n=m=2、q=0.99 時，均方差值為RMSE=1.030 9×10-4，得到雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的2q階分數(shù)階模型辨識公式為

同理，對于3q階分數(shù)階模型，當n=3、m=4、q=0.51 時，最小均方差的值RMSE=5.856 2×10-5，雙饋風機轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的3q階分數(shù)階模型公式為

3.2 分數(shù)階辨識的頻域結(jié)果分析

為了驗證本文方法的有效性，將得到的兩種分數(shù)階模型與辨識數(shù)據(jù)模型進行對比，圖3 和圖4 是其對比Bode 圖。從圖中可以看出，在風機實際運行使用的頻率區(qū)間內(nèi)，根據(jù)辨識結(jié)果的均方差指標以及在圖像上的直觀擬合效果可以看出，兩種分數(shù)階模型與辨識數(shù)據(jù)模型之間誤差小，擬合度高。因此，對雙饋風機的轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩進行分數(shù)階頻域建模是正確有效的。

圖4 分數(shù)階模型與辨識模型的對比Bode圖Fig.4 Bode diagram of comparison between fractional models and identification data

3.3 分數(shù)階模型的階躍響應(yīng)分析

3 種模型下的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5 所示，從圖中可以看出，3 種模型在單位階躍信號的作用下，其輸出響應(yīng)從初始狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過程中，單位階躍響應(yīng)的曲線是衰減震蕩的欠阻尼形式。表2 為3 種模型在單位階躍響應(yīng)下的性能指標，表3 為采用單因素方差分析的結(jié)果，用以分析2q階分數(shù)階模型G1(s)、3q階分數(shù)階模型G2(s)與辨識數(shù)據(jù)模型G(s)之間的擬合程度和暫態(tài)特征上的有效性。

表2 3種模型在單位階躍響應(yīng)下的性能指標Table 2 Performance indicators of the three models under unit step response

表3 單因素方差分析結(jié)果Table 3 Results of one-way ANOVA

圖5 兩種分數(shù)階模型與辨識數(shù)據(jù)模型的階躍響應(yīng)Fig.5 Two fractional order models and step response of identification data model

階躍響應(yīng)的性能指標主要包括穩(wěn)態(tài)時間ts、峰值時間tm和超調(diào)量σ，如表2 所示，3 種模型的性能指標在數(shù)值均相等，這表明兩種分數(shù)階模型與辨識模型之間的擬合程度很高。為了更加準確的驗證3 種模型之間擬合的精度，下文采用單因素方差分析進行驗證。

單因素方差分析是指試驗中只有一個因素發(fā)生變化時對試驗數(shù)據(jù)進行分析，通過檢驗方差相等的多個正態(tài)總體均值是否相等，判斷變化的因素對試驗指標是否有顯著影響。在分析分數(shù)階模型與辨識數(shù)據(jù)模型的單位階躍響應(yīng)時，變化的因素就是不同分數(shù)階模型與辨識數(shù)據(jù)模型的分組。通過分析不同模型分組的單因素方差分析結(jié)果，判斷是否有顯著差異。利用數(shù)值分析工具箱進行此項分析，分析結(jié)果如表3 所示。

首先對表3 中參數(shù)的意義進行解釋說明，模型組中的G-G1和G-G2分別是辨識數(shù)據(jù)模型G（s）與2q階分數(shù)階模型G1（s）和3q階分數(shù)階模型G2（s）的分組；Average 是兩組數(shù)據(jù)差值的平均值；F是檢驗統(tǒng)計量；P-value 是觀測差異的顯著水平；F-crit 是檢驗臨界值，當F0.05 時，表示沒有顯著差異。

在單因素方差分析過程中，可信度設(shè)置為95%。從表3 中可知，兩個模型組的觀測差異的顯著水平P-value 大于0.05 與檢驗統(tǒng)計量F小于檢驗臨界值F-crit，表示2q階分數(shù)階模型G1（s）和3q階分數(shù)階模型G2（s）取得了較好的擬合效果以及在暫態(tài)特征上取得了有效的結(jié)果；并且辨識數(shù)據(jù)模型G（s）與3q階分數(shù)階模型G2（s）的P-value 更大、F更小，說明3q階分數(shù)階模型的擬合度更高。

4 結(jié)語

基于頻域辨識數(shù)據(jù)對雙饋風機的轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益進行了分數(shù)階辨識近似，根據(jù)不同的情況，采用基于Levy 的改進辨識算法，在頻域中實現(xiàn)了對所提出的2q階分數(shù)階模型和3q階分數(shù)階模型的參數(shù)辨識。Bode 圖的對比結(jié)果和均方差數(shù)值指標均驗證了所提出的兩種分數(shù)階模型與原模型頻域的近似性。單位階躍響應(yīng)的性能指標和單因素方差分析的結(jié)果驗證了分數(shù)階模型對原整數(shù)階模型在暫態(tài)特征上的有效性。