黃會(huì)

摘 要： 眾所周知，滿足 ASA 、 AAS 、 SAS 、 SSS 的兩個(gè)三角形都是全等的，這些全等三角形的性質(zhì)相當(dāng)完善，但兩個(gè)三角形滿足 AAA 或 SSA 卻不一定是全等的，那這樣的兩個(gè)三角形又有什么樣的性質(zhì)呢？滿足 AAA 的兩個(gè)三角形是相似的，這樣的兩個(gè)三角形的性質(zhì)也是完備的.那么滿足 SSA 的不全等的兩個(gè)三角形又有怎樣特殊的性質(zhì)呢？文章從高線、角、邊、外接圓半徑四個(gè)角度探究其性質(zhì).

關(guān)鍵詞： ?SSA ；不全等；性質(zhì)；三角形

1 問(wèn)題的提出

兩個(gè)三角形全等有很多種判定方法，但 SSA 作為邊角組合中不能判定兩個(gè)三角形全等的特殊存在.那么是不是所有滿足 SSA 的兩個(gè)三角形都不全等？已有相關(guān)研究如周玲［1］、曹松峰［2］、陳月紅［3］等人對(duì)此進(jìn)行了探索，答案均是否定的.

由判定倒推性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)目前較為完備，但滿足 SSA 的不全等的兩個(gè)三角形又有怎樣特殊的性質(zhì)呢？這個(gè)問(wèn)題目前鮮有人涉獵.而回應(yīng)該問(wèn)題則從不全等的視角進(jìn)一步豐富了 SSA 的性質(zhì).這也是研究的緣起.

2 性質(zhì)探究及應(yīng)用

2.1 性質(zhì)探究

本文將從高線、角、邊、外接圓半徑四個(gè)角度探究滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形之間的性質(zhì).

性質(zhì)1： ?滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形不相等的第三邊上的高相等，相等邊上的高之比等于不相等的邊之比.

已知：如圖1，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′，AD，BE，CF為△ABC的高，A′D′，B′E′，C′f ′為△A′B′C′的高.

求證：AD=A′D′，BE∶B′E′=CF∶C′F′=BC∶B′C′.

證明：易證△ABD≌△A′B′D′（ AAS ），則AD=A′D′.

∵S △ABC= 1 2 BC·AD，S △A′B′C′= 1 2 B′C′·A′D′，

∴S △ABC∶S △A′B′C′=BC∶B′C′.

∵S △ABC= 1 2 AC·BE，S △A′B′C′= 1 2 A′C′·B′E′，

又∵AC=A′C′，∴BE∶B′E′=BC∶B′C′.同理可得，CF∶C′F′=BC∶B′C′.

性質(zhì)2： ?滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形等角的相等鄰邊所對(duì)的角互補(bǔ).

已知：如圖2，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′.

求證：∠C+∠C′=180 ° .

證明：平移△A′B′C′，使AB與A′B′、∠B與∠B′重合.

易知B（B′）、C、C′三點(diǎn)共線.

∵AC=A′C′，即AC=AC′，∴∠1=∠C.

又∵∠1+∠2=180 ° ，∴∠C+∠2=180 ° ，即∠C+∠A′C′B′=180 ° .

性質(zhì)3： ?滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形不相等的第三邊的乘積等于較大等邊與較小等邊的平方差.

已知：如圖3，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′.

求證：BC·B′C′=AB2-AC2.

（不妨設(shè)BC＞B′C′，AB＞AC.）

證法一

證明：分別過(guò)點(diǎn)A，A′作AD⊥BC交BC于D，作A′D′⊥B′C′交B′C′于D′.

由性質(zhì)1知AD=A′D′. 易證 Rt △ACD≌ Rt △A′C′D′（ HL ） ，則CD=C′D′.

在 Rt △ABD中，BD2+AD2=AB2；①

在 Rt △ACD中，CD2+AD2=AC2；②

①-②得，（BD+CD）（BD-CD）=AB2-AC2.

又∵BC=BD+CD，B′C′=B′D′-C′D′=BD-CD，

∴BC·B′C′=AB2-AC2.

證法二

證明：平移△A′B′C′，使AB與A′B′、∠B與∠B′重合，如圖4.

易知B（B′），C，C′三點(diǎn)共線.

以A為圓心，AC為半徑畫(huà)圓，交射線BA于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接AC′，F(xiàn)C.

∵四邊形EC′CF為圓A的內(nèi)接四邊形，∴∠1+∠FCC′=180 ° .

又∵∠1+∠2=180 ° ，∴∠2=∠FCC′.

又∵∠B′=∠B，∴△B′EC′∽△BCF.

∴ B′E BC = B′C′ BF ，即BC·B′C′=B′E·BF.

又∵B′E=AB-AE=AB-AC，BF=AB+AF=AB+AC，

∴BC·B′C′=（AB+AC）（AB-AC）=AB2-AC2.

性質(zhì)4： ?滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形外接圓半徑相同.

已知：如圖5，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，BC≠B′C′，r，r′分別為△ABC和△A′B′C′的外接圓半徑.

求證：r=r′.

證明：作圓O直徑AD，連接CD.則∠B=∠D.

∵AD為圓O直徑，∴∠ACD=90 ° .

∵ sin ?D= AC AD ，∴AD= AC ?sin ?D = AC ?sin ?B . ∴r= AD 2 = AC 2 sin ?B .同理，r′= A′C′ 2 sin ?B′ .

∵AC=A′C′，∠B=∠B′，∴r=r′.

事實(shí)上，一個(gè)三角形一角及其對(duì)邊確定，這個(gè)三角形的外接圓半徑是確定的［4］.

3 性質(zhì)應(yīng)用

例 ??已知：如圖6，AC平分∠BAD，BC=CD，AC，BD相交于點(diǎn)E.

求證：BE·DE=AE·CE.

證明：∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2.

∵∠1=∠2，BC=CD，AC=AC，

∴∠ABC+∠ADC=180 ° .（ SSA 不全等的三角形性質(zhì)2）

易得A，B，C，D四點(diǎn)共圓. ∴∠1=∠3.

又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE. ∴ BE CE = AE DE ，即BE·DE=AE·CE.

本題證明中的四點(diǎn)共圓亦可證明 SSA 不全等的兩個(gè)三角形的外接圓半徑相等，即 SSA 不全等三角形的性質(zhì)4.

4 研究結(jié)論

通過(guò)以上探究，本文得到滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形有以下四條性質(zhì)：不相等的第三邊上的高相等，相等邊上的高之比等于不相等的邊之比；等角的相等鄰邊所對(duì)的角互補(bǔ)；不相等的第三邊的乘積等于較大等邊與較小等邊的平方差；外接圓半徑相等.詳見(jiàn)表1.

總體來(lái)看，本文探究了滿足 SSA 但不全等的兩個(gè)三角形的性質(zhì)，在理論上豐富了 SSA 的知識(shí)體系，在實(shí)踐教學(xué)中有助于更好地理解 SSA ，利用本文所獲得的結(jié)論亦可快速解答相關(guān)題目.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周玲.增加一節(jié)“SSA”探究課又何妨？［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016，643（17）：69 70.

［2］ 曹松峰. SSA與三角形全等的判定［J］.中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2019，1165（9）：8 9.

［3］ 陳月紅.“SSA”全等條件的深度探究［J］.理科考試研究，2016，520（16）：16 17.

［4］ 常學(xué)源.探求三角形的外接圓半徑［J］.中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2015，105（6）：14.