劉夢(mèng)哲 孔雯晴 汪曉勤

摘要：設(shè)計(jì)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》HPM課例時(shí) ，向 ChatGPT提出為何要用數(shù)學(xué)史、有何數(shù)學(xué)史、如何運(yùn)用數(shù)學(xué)史三個(gè)方面的問題，并分析其回答 ，發(fā)現(xiàn) ChatGPT在設(shè)計(jì) HPM課例時(shí)表現(xiàn)出較大的局限性 ，對(duì)所提的問題沒有給出很好的回答。因此 ，使用 ChatGPT輔助設(shè)計(jì) HPM課例需要注意 ：在批判中完善 ChatGPT給出的史料 ;在借鑒中創(chuàng)新 ChatGPT設(shè)計(jì)的教學(xué)。

關(guān)鍵詞 ：ChatGPT;高中數(shù)學(xué) ;數(shù)學(xué)史 ;HPM;橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

作為信息技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì) ，人工智能技術(shù)已經(jīng)對(duì)包括學(xué)校教育在內(nèi)的各種傳統(tǒng)行業(yè)產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響。[1]作為生成式人工智能的代表 ，ChatGPT一經(jīng)問世 ，便以其友好的交互性和超強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力 ，引起社會(huì)各界的廣泛關(guān)注。[2]教育界更是對(duì) Chat-GPT在教育領(lǐng)域應(yīng)用的利弊展開了廣泛的熱議?？梢钥隙ǖ氖?，ChatGPT可以為教師提供豐富的教學(xué)資源和工具 [3]，ChatGPT的出現(xiàn)及其在教育領(lǐng)域的應(yīng)用發(fā)展必將助推人工智能時(shí)代教育行業(yè)產(chǎn)生更新、更深遠(yuǎn)的變革 [4]。

近年來 ，HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系）視角下的數(shù)學(xué)教學(xué) （具體的指向是將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué) ），因其新穎的理念、獨(dú)特的風(fēng)格和顯著的成效 ，受到越來越多數(shù)學(xué)教師的關(guān)注。然而 ，數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì) HPM課例時(shí)，往往對(duì)融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容和方式存在障礙。[5]對(duì)此 ，我們想到可以利用 ChatGPT來輔助完成 ，但不知效果究竟如何。于是 ，我們對(duì)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課進(jìn)行了嘗試。

*本文系上海高校立德樹人人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目 “數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究 ”（編號(hào) ：A8）的階段性研究成果。

一、ChatGPT輔助設(shè)計(jì) HPM課例的嘗試數(shù)學(xué)教學(xué)需要解決好 “Why”“What” “How”的問題 [6]，HPM課例設(shè)計(jì)亦是如此。所謂 “Why”，即 “為何 ”要將數(shù)學(xué)史融入本節(jié)課的教學(xué) ;所謂 “What”，即 “有何 ”與本節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)史 （素材 ）;所謂 “How”，即“如何 ”將數(shù)學(xué)史融入本節(jié)課的教學(xué)。設(shè)計(jì)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》HPM課例時(shí) ，我們向 ChatGPT提出了這三個(gè)方面的問題 ，并分析了其回答。

（一）關(guān)于 “為何 ”

我們向 ChatGPT提出 “為什么要將數(shù)學(xué)史融入 ‘橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 ’的教學(xué) ”的問題 ，得到如下回答 ：

1.提高學(xué)生的興趣和積極性。學(xué)生通常覺得數(shù)學(xué)難以理解和乏味 ，但當(dāng)數(shù)學(xué)問題與歷史文化相結(jié)合時(shí) ，學(xué)生的興趣和積極性通常會(huì)提高。因此 ，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)可以讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)不是一個(gè)枯燥的學(xué)科 ，而是一個(gè)積累知識(shí)與思考的深度學(xué)科。

2.激發(fā)學(xué)生的探究欲。數(shù)學(xué)問題存在于歷史和文化的背景中。將數(shù)學(xué)史的知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生 ，他們會(huì)開始思考問題的背景和歷史文化對(duì)問題的影響 ，從而進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

3.增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。融入歷史背景可以幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)概念和規(guī)則。通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史 ，學(xué)生可以領(lǐng)略到一種全新的數(shù)學(xué)方法 ，更好地理解數(shù)學(xué)概念和規(guī)則 ，掌握數(shù)學(xué)的真諦。

4.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘知識(shí)并解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)史融入教學(xué) ，可以讓學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)背景和知識(shí)體系 ，從而引導(dǎo)他們從更深層次、更廣闊的視角探究知識(shí) ，并更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題。

ChatGPT給出了 4條理由 ，涉及興趣、動(dòng)機(jī)、理解和應(yīng)用四個(gè)方面 ，但這些理由并未與教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合 ：上述回答中未出現(xiàn) “橢圓 ”二字 ，也未出現(xiàn)與本課題有關(guān)的字眼 ;上述回答通常以 “將數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)史結(jié)合 ，有助于……”的形式表述 ，但是并未對(duì) “數(shù)學(xué)問題 ” “數(shù)學(xué)史 ”“結(jié)合方式 ”等內(nèi)容作出詳細(xì)說明。

事實(shí)上 ，早在 1991年，英國數(shù)學(xué)史家福韋爾 （J.Fauvel，1951—2000）就總結(jié)出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的 15條理由 [7]，如有助于學(xué)生對(duì)概念的理解、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀、為學(xué)生提供探究的機(jī)會(huì)等。

在已有教學(xué)案例中 ，有教師通過折紙活動(dòng)和 GeoGebra演示 ，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕圍成的圖形是橢圓 ，由此抽象出橢圓中的定量關(guān)系 ，并總結(jié)出橢圓的定義 ，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[8];有教師引領(lǐng)學(xué)生探究不同的動(dòng)點(diǎn)軌跡 ，由此引出橢圓的定義 ，并引導(dǎo)學(xué)生合理選取坐標(biāo)系 ，建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 [9]。上述教學(xué)從不同的探究活動(dòng)中引出橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，但是并未解決學(xué)生心中 “為什么將橢圓、雙曲線和拋物線稱為圓錐曲線 ”“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是否還有更簡(jiǎn)便的推導(dǎo)方法 ”等困惑 [10]，不免使學(xué)生產(chǎn)生定義識(shí)記不清、方程記憶不準(zhǔn)、運(yùn)算能力不足等問題。實(shí)際上 ，當(dāng)我們翻開歷史的畫卷 ，圓錐曲線的截面定義、旦德林雙球模型、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法等史料無疑可以解答學(xué)生的困惑。若教師將上述史料融入本節(jié)課的教學(xué) ，還可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)橢圓、求解橢圓 ，經(jīng)歷橢圓知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程 ，并在討論中化簡(jiǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 [11]，這恰好對(duì)應(yīng)上述福韋爾給出的三條理由。

可見 ，ChatGPT只是泛泛地給出了數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的價(jià)值 ，既沒有結(jié)合本課題作出具體分析 ，也沒有看到已有教學(xué)設(shè)計(jì)的不足。

（二）關(guān)于 “有何 ”

我們向 ChatGPT提出 “有什么與橢圓的定義和方程有關(guān)的歷史材料 ”的問題 ，得到如下回答 ：

橢圓是一種平面幾何圖形 ，其定義為到兩個(gè)定點(diǎn) （稱為焦點(diǎn) ）的距離之和等于定長(zhǎng) （稱為主軸長(zhǎng)）的所有點(diǎn)的集合。橢圓在古希臘時(shí)期就已經(jīng)被研究，但直到17世紀(jì)才被完整地描述和定義。

最早對(duì)橢圓的研究可以追溯到公元前 6世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯，他在研究橢圓的軸對(duì)稱性質(zhì)方面作出了重要貢獻(xiàn)。公元2世紀(jì)的托勒密在其著作《天文學(xué)大成》（Almagest）中討論了橢圓的構(gòu)造方法，但沒有明確給出橢圓的定義。

17世紀(jì)時(shí)，焦點(diǎn)和直線的幾何性質(zhì)得到了深入研究。法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi) ·笛卡兒和德國數(shù)學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒在描述行星運(yùn)動(dòng)時(shí)使用了橢圓軌道。英國物理學(xué)家艾薩克 ·牛頓在其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中描述了橢圓的幾何性質(zhì)和方程，并指出了它在行星運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x222=1（其中，a2 +yba和b分別為橢圓的兩個(gè)半軸長(zhǎng)度）。這個(gè)方程最早由德國數(shù)學(xué)家雅各布 ·伯努利提出，并被后來的數(shù)學(xué)家廣泛使用。

總的來說，橢圓的歷史可以追溯到古希臘時(shí)期，但其完整的定義和描述需要等到 17世紀(jì)才被建立。至今，橢圓在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中仍具有重要的應(yīng)用和意義。

仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，ChatGPT搜集的史料有一些問題：

首先，數(shù)學(xué)史料的選取不符合融入數(shù)學(xué)教學(xué)的五項(xiàng)原則：科學(xué)性、人文性、有效性、可學(xué)性和趣味性。[12]一者不符合科學(xué)性。從 ChatGPT給出的回答中可以清晰地看到幾個(gè)科學(xué)性錯(cuò)誤。如，阿波羅尼奧斯（Apolonius，約前 262—約前190）所處的年代是公元前3世紀(jì)—公元前 2世紀(jì)，不是公元前6世紀(jì);托勒密（Ptolemy，約85—約165）撰寫的《天文學(xué)大成》中沒有討論橢圓的構(gòu)造方法，等等?？傊珻hatGPT只是將不同來源的內(nèi)容綜合在一起，但內(nèi)容的科學(xué)性有待考證。

二者不符合人文性和趣味性。ChatGPT的回答雖然提到了古希臘時(shí)期至 17世紀(jì)期間多位數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓的研究成果以及橢圓知識(shí)在行星運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，試圖反映數(shù)學(xué)背后的人文精神以及數(shù)學(xué)與物理等學(xué)科之間的聯(lián)系，但是沒有對(duì)與之有關(guān)的研究成果或應(yīng)用作出具體介紹。

三者不符合有效性和可學(xué)性。本節(jié)課的首要任務(wù)是“掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”，但是，ChatGPT的回答僅提及橢圓的第一定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，并沒有對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法等作出進(jìn)一步討論。同時(shí)，ChatGPT面向的對(duì)象是個(gè)體，其難以選取出符合全班大多數(shù)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的史料。

其次，數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)不完整。Chat-GPT的回答首先追溯到古希臘時(shí)期的阿波羅尼奧斯，介紹了圓錐曲線的起源，然后直接跳躍至17—18世紀(jì)笛卡兒（R.Descartes，1596— 1650）、開普勒（J.Kepler，1571—1630）等數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓性質(zhì)和應(yīng)用的研究?？梢?，ChatG-PT僅簡(jiǎn)單列舉歷史上幾位數(shù)學(xué)家在橢圓發(fā)展過程中的貢獻(xiàn)，對(duì)這一內(nèi)容的數(shù)學(xué)史的介紹不完整。這里所說的 “不完整 ”有兩層含義：

從整體看，對(duì)歷史脈絡(luò)的介紹不完整。事實(shí)上，從公元前 4世紀(jì)人們開始認(rèn)識(shí)圓錐曲線到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的出現(xiàn)，時(shí)間老人走過了兩千多年[13]，其中，不同數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)的研究更是百花齊放，而 ChatGPT只展示了冰山一角。

從局部看，對(duì)某一數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)的介紹不完整。例如，阿波羅尼奧斯使用對(duì)頂斜圓錐來表示圓錐曲線，并在《圓錐曲線論》中給出并證明了橢圓的基本性質(zhì) ：從橢圓上兩點(diǎn)分別向直徑作兩條線段與共軛直徑平行 ，則兩條線段的平方比等于直徑上兩條相應(yīng)線段乘積之比。[14]對(duì)該內(nèi)容 ，ChatGPT只提及阿波羅尼奧斯研究了橢圓的性質(zhì) ，而未做詳細(xì)說明。于是 ，我們向其追問 “阿波羅尼奧斯對(duì)橢圓的研究 ”，得到如下回答 ：

阿波羅尼奧斯是一位古希臘的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家 ，著有《圓錐曲線論》等多部著作。在《圓錐曲線論》一書中 ，他詳細(xì)地研究了橢圓、雙曲線和拋物線這三種圓錐曲線。

具體來說 ，阿波羅尼奧斯在他的著作中對(duì)橢圓做了深入的探討 ，他提出了橢圓的定義，并且給出了橢圓的焦距定理 ，即一個(gè)橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是定值。他還通過對(duì)橢圓的研究 ，發(fā)現(xiàn)了許多橢圓的性質(zhì)和規(guī)律 ，如橢圓的面積公式等。阿波羅尼奧斯的這些成果對(duì)后世的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響 ，橢圓也因此成為數(shù)學(xué)研究中的重要課題之一。

該回答依然是概述性地提及阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中的研究 ，并未展開說明橢圓的基本性質(zhì)是什么以及如何證明。

最后 ，數(shù)學(xué)史料缺乏教育取向。教育取向的數(shù)學(xué)史研究需要從兩個(gè)方向展開 ：一是對(duì)概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導(dǎo)方法、法則的不同解釋、知識(shí)的不同應(yīng)用以及數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式、教育價(jià)值觀等進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì) ;二是在研究對(duì)象所在的整個(gè)時(shí)間段內(nèi) ，分析不同定義、性質(zhì)、方法、應(yīng)用等的演變規(guī)律。[15]然而 ，從 ChatGPT的回答來看，其對(duì)橢圓的定義、方程推導(dǎo)方法的類別和演變只字未提 ，也未提及歷史材料在教學(xué)中可能的運(yùn)用方式。

從現(xiàn)有情況可見 ，我們?nèi)匀恍枰瓿墒妨纤鸭ぷ?，可從原始文獻(xiàn)和二手研究文獻(xiàn)中搜集、整理出比 ChatGPT提供的更準(zhǔn)確、更完整的歷史材料。

此外 ，ChatGPT只停留在史料搜集的層面，還沒有上升到整理、加工的層面。這也需要我們進(jìn)一步完成。

（三）關(guān)于 “如何 ”

我們向 ChatGPT提出 “如何運(yùn)用上述歷史材料設(shè)計(jì)融入數(shù)學(xué)史的 ‘橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程’的教學(xué) ”的問題 ，得到如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)過程 ：

【教學(xué)目標(biāo)】

1.了解橢圓的定義和性質(zhì)。

2.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的含義和推導(dǎo)過程。

3.了解橢圓在數(shù)學(xué)史上的重要地位?！窘虒W(xué)過程】

1.引言 （10分鐘 ）

簡(jiǎn)單介紹橢圓的概念 ，并通過展示歷史上著名數(shù)學(xué)家如牛頓、開普勒等人在天文學(xué)中如何應(yīng)用橢圓 ，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.學(xué)習(xí)橢圓的定義、幾何特征及參數(shù)方程（30分鐘 ）通過講解橢圓的定義和基本特征 ，引導(dǎo)學(xué)生掌握橢圓的基本概念。

通過參數(shù)方程 ，讓學(xué)生更深入地了解橢圓的長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)、離心率等基本性質(zhì)。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo) （40分鐘 ）

通過對(duì)牛頓、歐拉等數(shù)學(xué)家關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的研究成果進(jìn)行講解 ，探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的來源和推導(dǎo)。

以橢圓的離心率為重點(diǎn) ，讓學(xué)生通過講解離心率的定義、計(jì)算以及與橢圓形狀的關(guān)系，進(jìn)一步理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.案例分析及實(shí)踐操作 （40分鐘 ）

精選實(shí)際問題 ，如利用橢圓建立地圖、利用橢圓計(jì)算天體軌跡等 ，進(jìn)行案例分析 ，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。

通過實(shí)踐操作，讓學(xué)生掌握橢圓圖形的繪制和計(jì)算、標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用等關(guān)鍵技能。

5.結(jié)語（10分鐘）

總結(jié)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容和技能，鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際生活中發(fā)掘更多橢圓的應(yīng)用場(chǎng)景。

提醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不要忘記歷史，鼓勵(lì)他們將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到更多的領(lǐng)域。

首先，來看教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版 2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“課標(biāo)”）在“課程內(nèi)容”中指出：了解圓錐曲線的實(shí)際背景和作用，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用。[16]從知識(shí)的層面看，ChatGPT給出的教學(xué)目標(biāo)與課標(biāo)中的要求基本契合：內(nèi)容覆蓋了教材中 “橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)“了解”“掌握”等詞的使用也較為準(zhǔn)確。

然而，從三維目標(biāo)的角度看，ChatGPT沒有給出思想方法和情感態(tài)度層面的教學(xué)目標(biāo)。例如，運(yùn)用和差術(shù)與平方差法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng);經(jīng)歷橢圓概念的發(fā)生、發(fā)展過程，有助于學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)家堅(jiān)忍不拔的探究精神，培養(yǎng)理性精神。事實(shí)上，知識(shí)背后蘊(yùn)含著豐富的思想方法，這正是令學(xué)生終身受益（“帶得走”、素養(yǎng)性）的內(nèi)容，也是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才不可或缺的內(nèi)容[17]。而 ChatGPT恰恰忽視了超越知識(shí)本身的內(nèi)容以及其中人的因素給學(xué)生帶來的重要影響。

其次，分析教學(xué)過程的設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值包括知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂、能力之助、文化之魅和德育之效六類[18]，我們可以從這六大價(jià)值入手來分析。

第一，橢圓的定義包括截面定義、第一定義和第二定義，截面定義可以幫助學(xué)生解決 “為什么將橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線”的問題，而旦德林雙球模型可以幫助學(xué)生建立截面定義和第一定義之間的聯(lián)系。 ChatGPT的設(shè)計(jì)僅運(yùn)用了 17世紀(jì)以后的史料，而忽視了橢圓的起源。對(duì)此，我們向其追問，得到如下回答：

橢圓的歷史可以追溯到公元前 1500年左右的埃及，當(dāng)時(shí)埃及人使用橢圓來繪制太陽在不同時(shí)期的軌跡。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯于公元前3世紀(jì)對(duì)橢圓進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并發(fā)現(xiàn)了橢圓具有一些特殊的性質(zhì)。例如，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)定值，橢圓的周長(zhǎng)和面積也可以通過數(shù)學(xué)公式計(jì)算。在不久之后，古羅馬數(shù)學(xué)家埃拉托色尼也對(duì)橢圓進(jìn)行了研究，將橢圓與拋物線、雙曲線一起稱為 “錐曲線”。這些研究為后來的代數(shù)幾何學(xué)和微積分學(xué)等學(xué)科奠定了基礎(chǔ)，而橢圓的運(yùn)用也十分廣泛，比如在建筑、工程、天體力學(xué)、電磁場(chǎng)理論和密碼學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用。

該回答依然沒有明確給出截面定義，只是提及 “錐曲線”，暗示橢圓、雙曲線、拋物線與錐體之間存在聯(lián)系，而且沒有指出用何種平面截圓錐可以得到三條圓錐曲線?；谌绱藘?nèi)容的教學(xué)，并不能幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)之諧。

第二，歷史上推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法豐富多彩，包括居西尼 （N.Guisnée）的幾何法、洛必達(dá)（L..H.pital）的和差術(shù)、斯蒂爾（R. Stel）的三角法、賴特（J.M.F.Wright）的平方差法等。[19]然而，ChatGPT并未給出推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的多種方法。于是，我們向其追問，得到如下回答：

1.幾何法：根據(jù)已知的橢圓長(zhǎng)軸和短軸，通過計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和，并運(yùn)用兩點(diǎn)之間距離公式，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2.向量法：將橢圓上的點(diǎn)表示為向量的形式 ，運(yùn)用向量的性質(zhì)和定義 ，建立橢圓的方程組 ，通過解方程組得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3.解析幾何法

：利用橢圓的對(duì)稱性 ，將橢圓上的點(diǎn)表示為一般點(diǎn) P（x，y），根據(jù)橢圓的定義 ，列出橢圓的方程 ，并通過配方法化簡(jiǎn)方程，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.參數(shù)方程法

：根據(jù)橢圓的參數(shù)方程 ，將 x和y用參數(shù) t表示 ，加以整理化簡(jiǎn) ，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

5.矩陣法

：將點(diǎn)的坐標(biāo)表示為矩陣的形式，運(yùn)用矩陣的代數(shù)性質(zhì)和橢圓的定義 ，建立橢圓的矩陣方程 ，并通過矩陣的運(yùn)算 ，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

這里 ，ChatGPT實(shí)際上只給出了一種方法：只有 “幾何法 ”對(duì)應(yīng)于教材中的方法 ，其他方法都不具備可操作性。

同時(shí) ，歷史上數(shù)學(xué)家給出的推導(dǎo)方法中蘊(yùn)含著化歸、分類討論等思想方法?？上У氖?， ChatGPT對(duì)各種推導(dǎo)方法一無所知 ，更談不上在教學(xué)中滲透思想方法。故而 ，ChatGPT設(shè)計(jì)的教學(xué)無法彰顯方法之美、實(shí)現(xiàn)能力之助。

第三 ，在已有的 HPM課例中 ，教師讓學(xué)生經(jīng)歷 “旦德林雙球模型的建立 ”“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) ”的探究過程 ，由此串聯(lián)從截面定義到第一定義 ，再到標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)內(nèi)容。[20]與之對(duì)比 ，ChatGPT已有將探究活動(dòng)融入教學(xué)的意識(shí) ，如探究標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) ，但并不全面（如沒有提及旦德林雙球模型 ），因此 ，所謂的探究只能是紙上談兵 ，并不能為學(xué)生營造探究之樂。

第四 ，HPM課堂的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵可以分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂和多元文化五個(gè)方面。[21]ChatGPT在教學(xué)內(nèi)容和設(shè)計(jì)中既提及了橢圓與天文學(xué)的聯(lián)系 ，又提及了橢圓在工程、建筑、航空等領(lǐng)域中的應(yīng)用 ，從而關(guān)注了學(xué)科聯(lián)系和社會(huì)角色這兩個(gè)方面 ，但是沒有給出聯(lián)系與應(yīng)用的具體內(nèi)容。同時(shí) ，ChatGPT也沒有關(guān)注到其他三個(gè)方面。例如 ，盡管在歷史素材中提及了橢圓從古希臘時(shí)期至 17世紀(jì)的研究 ，但是在教學(xué)設(shè)計(jì)中只字未提 ，因而錯(cuò)失了呈現(xiàn)多元文化的好機(jī)會(huì)。可見 ，這一教學(xué)設(shè)計(jì)在文化之魅的展示上是有一定缺失的。

第五 ，數(shù)學(xué)史的德育價(jià)值可以分為理性、信念、情感和品質(zhì)四個(gè)方面。[22]一方面 ， ChatGPT雖然介紹了不同數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓這一課題的貢獻(xiàn) ，但是并未點(diǎn)出數(shù)學(xué)家背后堅(jiān)持不懈的探索精神 ;另一方面 ，ChatGPT沒有具體介紹橢圓與其他學(xué)科、實(shí)際生活之間有何聯(lián)系。這不免讓數(shù)學(xué)史的融入流于表面?？梢?，ChatGPT沒有充分關(guān)注到德育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性 ，設(shè)計(jì)的教學(xué)未能達(dá)成德育之效。當(dāng)然 ，ChatGPT在結(jié)語中提及 “提醒學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不要忘記歷史 ”。這確實(shí)為學(xué)生指明了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一條道路。

總之 ，ChatGPT不僅忽視了思想方法和情感態(tài)度在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價(jià)值 ，同時(shí) ，設(shè)計(jì)的教學(xué)過程在數(shù)學(xué)史六大教育價(jià)值的達(dá)成情況上也有所欠缺。

二、兩點(diǎn)感悟

綜上 ，我們看到 ChatGPT在設(shè)計(jì) HPM課例時(shí)表現(xiàn)出較大的局限性 ，對(duì)為何要用數(shù)學(xué)史、有何數(shù)學(xué)史、如何運(yùn)用數(shù)學(xué)史等問題沒有給出很好的回答 ，但是 ，ChatGPT仍然能夠?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)計(jì) HPM課例提供一些幫助。對(duì)此，我們需要注意 ：

第一 ，在批判中完善 ChatGPT給出的史料。面對(duì)海量的數(shù)學(xué)史料 ，教師往往難以從文獻(xiàn)中找到與所要設(shè)計(jì)的課例有關(guān)的史料。而 ChatGPT擁有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)庫 ，它能根據(jù)輸入的關(guān)鍵詞快速輸出有關(guān)的史料。雖然 ChatGPT給出的史料在時(shí)間、人物、內(nèi)容等方面會(huì)出現(xiàn)張冠李戴的情況 ，但這也為教師指明了尋找史料的方向。例如 ，上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，回答 “有何 ”問題時(shí) ，ChatGPT提及阿波羅尼奧斯、托勒密、開普勒等數(shù)學(xué)家研究過橢圓。由此 ，教師不妨系統(tǒng)閱讀與這些數(shù)學(xué)家有關(guān)的文獻(xiàn) ，進(jìn)而依據(jù)史料選取的五項(xiàng)原則 ，整理出準(zhǔn)確的史料用以設(shè)計(jì)教學(xué)。

第二 ，在借鑒中創(chuàng)新 ChatGPT設(shè)計(jì)的教學(xué)。ChatGPT編寫教案的效率很高 ，提供的框架在數(shù)學(xué)內(nèi)容方面也較為完整 ，但也存在形式較老舊、缺少個(gè)性化內(nèi)容等問題。因此 ，教師在利用 ChatGPT輔助設(shè)計(jì) HPM課例時(shí)，可以借鑒其給出的框架 ，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ) ，加入具體的教學(xué)情境和個(gè)性化教學(xué)內(nèi)容 ;結(jié)合已有的數(shù)學(xué)史料 ，融入思想方法、德育元素 ，盡可能地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的六大教育價(jià)值 ;或重構(gòu)式地設(shè)計(jì)教學(xué) ;等等。

教育的本質(zhì)是創(chuàng)新 ，教師與 ChatGPT最大的區(qū)別正在于創(chuàng)新。未來 ，教師也許可以將 ChatGPT視為自己的好幫手 ，借助這一工具更快地搜索到已有歷史研究和教學(xué)研究的內(nèi)容。在此基礎(chǔ)上 ，教師要繼續(xù)思考如何有所突破 ，如搜集新的數(shù)學(xué)史料、重構(gòu)式地設(shè)計(jì)教學(xué)等 ，并與 HPM專業(yè)學(xué)習(xí)共同體進(jìn)行研討，才可能設(shè)計(jì)出好的 HPM課例。

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