鞏瀟 梁學修 葛耀謀 余嫻 王磊 趙飛

（1 中國軟件評測中心（工業(yè)和信息化部軟件與集成電路促進中心），北京，100048；2 西安交通大學，西安，710049）

0 引言

諧波減速器的動靜態(tài)特性直接影響其傳動性能。為了優(yōu)化和提升諧波減速器性能，開展諧波減速器的動靜態(tài)特性測試方法研究，研究諧波減速器動靜態(tài)測試技術(shù)，開發(fā)高性能、高集成度的諧波減速器動靜態(tài)特性測控系統(tǒng)，就顯得十分必要。

目前，諧波減速器的測試方法、技術(shù)和指標不夠完善。其中，常規(guī)性能測試主要有傳動效率、靜態(tài)剛度等，以動態(tài)傳動精度、穩(wěn)定性、模態(tài)參數(shù)等為代表的動態(tài)特性涉及較少[1-2]。以協(xié)作機器人為代表的新型機器人，在3C電子、新能源等先進制造領(lǐng)域有著巨大的應用潛力[3-4]。這類機器人對減速模塊的動態(tài)精度和穩(wěn)定性等有著更高的要求。而傳統(tǒng)基于大量靜態(tài)特性的測試分析，已經(jīng)不能滿足新一代機器人對諧波減速器動態(tài)性能的需求，需要對諧波減速器的動態(tài)傳動精度、模態(tài)參數(shù)等動態(tài)特性開展測試分析研究，以支撐其性能的優(yōu)化提升。另外，現(xiàn)有諧波減速器測控系統(tǒng)的環(huán)境兼容性、通用性較低，不能同時滿足多項指標的測試要求，經(jīng)常需要搭建新的環(huán)境，頻繁更換測速器。

比利時魯汶大學（University of Leuven）的TJAHJOW IDODO 等[5]搭建了一種諧波齒輪傳動測試實驗臺，實驗設備整體設計較為簡單，主要包括電渦流傳感器、直流電機和角度編碼器等主要零部件?；诖罱ǖ臏y試實驗臺，TJAHJOWIDODO 等開展了減速器輸入、輸出軸的扭轉(zhuǎn)剛度測試，同時采用Maxwell-slip 模型完成了對諧波減速器遲滯特性的量化建模。

美國萊斯大學（Rice University）的GHORBEL 等[6-8]構(gòu)建了由輸出端編碼器、待測諧波減速器、慣性負載、扭矩傳感器和伺服電機等核心零部件組成的諧波減速器動靜態(tài)特性測試裝置?；诖罱ǖ臏y試系統(tǒng)，采用Fourier級數(shù)法建立了諧波傳動靜態(tài)傳動誤差的量化模型，實現(xiàn)了對諧波減速器靜態(tài)傳動誤差的分析，同時采用遺傳積分算法，完成了對諧波減速器非線性靜剛度與遲滯特性的建模與分析。

日本諧波傳動系統(tǒng)有限公司（Harmonic Drive Systems,Inc.）[9-10]多年來致力于諧波齒輪減速器研發(fā)與制造，在國際上具有極高的聲譽。該公司一直重視諧波減速器動靜態(tài)特性的測試工作，研發(fā)了諧波減速器動靜態(tài)測試系統(tǒng)，對諧波減速器開展了剛度、運動平穩(wěn)性、效率、壽命等多項動靜態(tài)特性的測試分析，為諧波減速器的動靜態(tài)性能優(yōu)化奠定基礎(chǔ)。

美國阿貢國家實驗室（Argonne National Laboratory）的PREISSNER 等[11-12]搭建了諧波減速器動靜態(tài)特性測試裝置，采用不同的加載方式完成了對諧波減速器靜剛度特性的測試分析，構(gòu)建了輸出角度-輸入扭矩、輸入角度-輸出扭矩等不同形式的剛度表達式，分析了系統(tǒng)剛度的非線性特性和剛度回差現(xiàn)象。另外，PREISSNER 等還著重研究了諧波傳動模型的發(fā)展歷程，建立了將非線性摩擦與剛度、遲滯回差等多影響因素考慮在內(nèi)的高精度的諧波傳動模型，助推了諧波減速器的建模技術(shù)發(fā)展。

對串聯(lián)型工業(yè)機器人而言，其傳動機構(gòu)整機剛度較低，運動過程中的受迫振動是機械結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的重要考慮指標。諧波減速器作為工業(yè)機器人驅(qū)動關(guān)節(jié)的核心機械構(gòu)件單元，通常會在結(jié)構(gòu)設計階段對其進行力學仿真分析，比如有限元分析等。根據(jù)模態(tài)參數(shù)進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，以避免系統(tǒng)出現(xiàn)受迫振動。然而，受零件制造誤差、裝配誤差等多方面的影響，實際的動力學特性通常與理論設計有較大區(qū)別。因此，本文設計諧波減速器扭轉(zhuǎn)實驗模態(tài)的辨識方案，可實現(xiàn)基于運動自激勵的減速器實驗模態(tài)參數(shù)辨識。

1 諧波減速器扭轉(zhuǎn)模態(tài)辨識方法

1.1 實驗系統(tǒng)設計

模態(tài)參數(shù)辨識方法一般包括基于輸出響應的模態(tài)參數(shù)辨識和基于輸入-輸出信號的模態(tài)參數(shù)辨識。辨識方法通過控制伺服電機，驅(qū)使構(gòu)件按穩(wěn)態(tài)正弦掃頻激勵信號規(guī)律運動，實現(xiàn)構(gòu)件的運動自激勵，觸發(fā)構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動，最后對模態(tài)數(shù)據(jù)進行實時采集與后處理，完成對構(gòu)件模態(tài)參數(shù)的辨識。

如圖1 所示為測控系統(tǒng)硬件環(huán)境，待測諧波減速器兩端對稱分布的輸入角度編碼器和輸出角度編碼器能分別提供輸入、輸出角度信號，為通過基于輸入-輸出信號的模態(tài)參數(shù)辨識提供可能，本論文重點對基于輸入-輸出信號的模態(tài)辨識方法進行分析。

圖1 測控系統(tǒng)硬件環(huán)境

基于輸入-輸出信號的模態(tài)參數(shù)辨識方法，首先需要獲取描述系統(tǒng)內(nèi)在特性的頻響函數(shù)，頻響函數(shù)的分母可以計算出系統(tǒng)的極點，從而估計出系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比，頻響函數(shù)的分子可以計算出系統(tǒng)的零點，從而估計出系統(tǒng)的振型。因此，實驗頻響函數(shù)的準確計算是實驗模態(tài)分析的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。

1.2 實驗頻響函數(shù)的計算

在單輸入輸出（Single Input Single Outpt,SISO）系統(tǒng)中,假設x(t)、u(t)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出信號，X(f)、U(f)分別為其對應的頻譜函數(shù)，則系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(f)：

為方便計算，一般采取對頻響函數(shù)X(f)進行離散化處理的方式：

但在實際計算過程中，該方法可能存在無意義的情況（分母為0）。為避免出現(xiàn)上述問題，實際過程中可以通過x(t)的自功率譜函數(shù)Sxx(f)與x(t)相對輸出的互功率譜函數(shù)Sxu(f)來計算頻響函數(shù)H(f)：

其中，X*(f)為X(f)的共軛函數(shù)。

通過傅里葉變換對輸入信號xt(t=1,2,3,…N-1,N)的自相關(guān)函數(shù)進行處理，計算得到信號的自功率譜：

其中，N為離散信號的時間序列長度，r為當前時刻標記，k為時移，Rxx(r)表示輸入信號xt的自相關(guān)函數(shù)，j表示虛數(shù)。

同樣，通過傅里葉變換對輸入信號xt(t=1,2,3,…N-1,N)關(guān)于輸出信號ut(t=1,2,3,…N-1,N)的互相關(guān)函數(shù)進行處理，計算得到信號的互功率譜：

其中，Rxu(r)表示輸入信號xt關(guān)于輸出信號ut的互相關(guān)函數(shù)。

根據(jù)式（4）和（5）可得，首先需要計算信號在時域范圍內(nèi)的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)，然后才能得到其自功率譜與互功率譜函數(shù)。此過程通常需要利用卷積來計算，計算量比較耗時，一般可采用韋爾奇（Welch）方法進行近似計算，可簡化計算過程。

根據(jù)韋爾奇（Welch）方法，系統(tǒng)的自功率譜密度函數(shù)為：

其中，M為平均近似計算次數(shù)；NFFT為快速傅里葉變換過程近似計算點數(shù)；Xi(k)為輸入信號x(t) 在傅里葉變換過程中的第i個數(shù)據(jù)段函數(shù)；Xi(k)和Xi*(k)互為共軛函數(shù)。

同理，根據(jù)韋爾奇（Welch）方法，系統(tǒng)互功率譜密度函數(shù)為：

其中，Ui(k)為輸出信號u(t) 在傅里葉變換過程中第i個數(shù)據(jù)段函數(shù)；Ui*(k)和Ui(k)互為共軛函數(shù)。

最后，將式（6）和（7）帶入式（3），即可求出系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(f)。

1.3 模態(tài)參數(shù)辨識方案設計

本文設計如圖1 所示的諧波減速器測控系統(tǒng)基本硬件架構(gòu)，基于本架構(gòu)設計如圖2 所示實驗方案和圖3 所示的模態(tài)辨識流程，最后完成對諧波減速器扭轉(zhuǎn)模態(tài)參數(shù)的估計和辨識。

圖2 諧波減速器模態(tài)參數(shù)實驗方案

圖3 諧波減速器模態(tài)參數(shù)辨識流程

如圖2 和圖3 所示，在諧波減速器模態(tài)實驗過程中，選用穩(wěn)態(tài)正弦掃頻激勵信號作為輸入信號，通過編寫滿足穩(wěn)態(tài)正弦掃頻激勵信號變化規(guī)律的程序來實現(xiàn)伺服電機的運行速度控制，從而實現(xiàn)對諧波減速器運動自激勵?；跁r間同步原理，可以實現(xiàn)輸入端編碼器和輸出端編碼器信號的同步采集，然后將輸入、輸出編碼器信號做差分處理，可以得到系統(tǒng)的輸入速度和輸出速度，經(jīng)中值濾波和小波降噪處理后作為系統(tǒng)的輸入信號x(t) 和輸出信號u(t),并由此可計算所得實驗過程諧波減速器的頻響函數(shù)。最后，基于實驗頻響函數(shù)，采用PolyMAX 模型對諧波減速器進行扭轉(zhuǎn)模態(tài)參數(shù)的辨識和估計，為減速器傳動性能提升奠定基礎(chǔ)。

2 基于運動激勵的諧波減速器扭轉(zhuǎn)模態(tài)辨識方法實驗驗證分析

2.1 系統(tǒng)運動激勵方法

模態(tài)參數(shù)是反映減速器系統(tǒng)固有特性的關(guān)鍵指標，可以為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)布局、控制器的設計等提供重要參考依據(jù)。實驗模態(tài)往往基于同步采集的激勵信號和響應信號，構(gòu)建實驗頻響函數(shù)，利用頻響函數(shù)在頻域完成模態(tài)參數(shù)的辨識。在模態(tài)參數(shù)辨識實驗中，基于傳統(tǒng)力錘和激振源的靜態(tài)非工況激勵無法集成于整機測控系統(tǒng)，本文基于上述設計的測控系統(tǒng)，采用運動激勵方法進行諧波減速器扭轉(zhuǎn)模態(tài)參數(shù)辨識實驗。

在模態(tài)辨識實驗中，通過計算機控制伺服電機按穩(wěn)態(tài)正弦掃頻信號進行運動，以此實現(xiàn)減速器運動自激勵，激勵期間同步采集減速器輸入和輸出端的角度信號，對采樣的離散信號剔除粗大誤差后，做差分處理得到輸入輸出端速度。由于差分運算可能會帶來高頻噪聲，故本文將計算得到的速度信號做小波降噪處理，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的平滑處理。

2.2 實驗結(jié)果與分析

在實驗中，首先通過運動激勵方法構(gòu)建系統(tǒng)的輸入輸出信號實驗頻響函數(shù)，最后利用PolyMAX 方法進行分析，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)圖，如圖4(a) 所示。從穩(wěn)態(tài)圖中的極點趨勢分布可以看出，當極點位置大于20 階時，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，同時考慮到計算量，本文選定30 作為模型的擬合階次，從而可以得到如圖4(b)所示的諧波減速器實驗頻響分析結(jié)果。由圖4(b)的頻譜圖可知，本實驗所用諧波減速器系統(tǒng)一階固有頻率為，二階固有頻率。

圖4 基于PolyMAX 辨識方法的減速器穩(wěn)態(tài)圖及頻譜圖

為了剔除實驗過程的偶然誤差，在實驗過程中開展多組掃頻測試，最后取平均值，其實驗結(jié)果如表1 所示。實驗結(jié)果顯示一階固有頻率的波動范圍為238.4～238.6Hz，二階固有頻率的波動范圍為401.6～404.1Hz，波動范圍較小，一致性較高，表明了辨識結(jié)果的正確性。取各組頻率值的平均值得到一階固有頻率=238.5Hz 和二階固有頻率=403.0Hz 作為PolyMAX 辨識結(jié)果。

表1 多組扭轉(zhuǎn)頻率辨識結(jié)果表

為了驗證PolyMAX 分析方法的正確性，對采集的數(shù)據(jù)利用基于輸出響應的自回歸滑動平均模型（Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA）作進一步模態(tài)辨識分析。ARMA 模型對系統(tǒng)輸出響應信號構(gòu)建線性時間序列模型，利用該時序模型實現(xiàn)模態(tài)參數(shù)的辨識，可廣泛應用于輸入激勵信號難以獲取或輸入激勵信號復雜的工程系統(tǒng)。

圖5 所示為諧波減速器的輸出響應信號穩(wěn)態(tài)圖，利用ARMA 分析方法，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)圖。由于ARMA 模型只對輸出響應進行分析，其分析結(jié)果包含了從系統(tǒng)輸入到響應信號之間的所有傳動鏈的模態(tài)參數(shù)特性，故在穩(wěn)態(tài)圖中應出現(xiàn)除了諧波減速器固有頻率之外的頻率成分。ARMA模型結(jié)果中在PolyMAX 分析結(jié)果固有頻率附近存在頻率，表明諧波減速器的固有頻率在這兩個頻率點成為影響系統(tǒng)的主要頻率成分。兩種分析方法的對比結(jié)果如表2 所示，兩種方法的一、二階固有頻率具有較高的一致性，二者相互佐證，驗證了諧波減速器基于PolyMAX模態(tài)分析方法的正確性。

表2 不同辨識方法結(jié)果對比表

圖5 基于ARMA 辨識方法的減速器穩(wěn)態(tài)圖

3 結(jié)論

諧波減速器是工業(yè)機器人驅(qū)動模塊的關(guān)鍵部件，作為轉(zhuǎn)動傳動部件，諧波減速器的扭轉(zhuǎn)動態(tài)特性對工業(yè)機器人的性能影響顯著。本文設計了諧波減速器特性實驗臺，在此基礎(chǔ)上設計了運動激勵方法，通過運動激勵實現(xiàn)了諧波減速器的扭轉(zhuǎn)特性的激勵；并基于PolyMax 算法，對諧波減速器的激勵與輸出信號進行分析，獲得了準確的諧波減速器固有頻率特征，為深入研究諧波減速器動態(tài)特性測試方法提供了基礎(chǔ)。