重慶復(fù)旦中學(xué) 肖 霄 (郵編:400010)

1 問題提出

“圖形與幾何”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》)中四個課程內(nèi)容之一,內(nèi)容變化不多,主要體現(xiàn)在一是《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將尺規(guī)作圖從初中前置到小學(xué);二是增加了作圖類型并提高作圖要求:能用尺規(guī)作圖過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線以及過圓外一點(diǎn)作圓的切線,將過去“會用三角尺或量角器過一點(diǎn)作已知直線的垂線”改為能用尺規(guī)作圖過一點(diǎn)作已知直線的垂線[1-2].但在《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》愈發(fā)加強(qiáng)尺規(guī)作圖教學(xué)要求,提升學(xué)生動手作圖能力的同時,筆者在聽課的過程中卻發(fā)現(xiàn)不少教師教學(xué)中對該內(nèi)容的處理“方法單一”,或者干脆匆匆?guī)н^,學(xué)生只要掌握或者就是記住基本的操作方法即可,對尺規(guī)作圖方法原理的挖掘和方法間異同剖析不夠;對尺規(guī)作圖在教學(xué)中的作用認(rèn)識不足,學(xué)生作圖過程缺少必要的作法說明,難以感受作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性和思維價值.針對這些問題,首先應(yīng)明確尺規(guī)作圖在現(xiàn)今素養(yǎng)為育人導(dǎo)向的教學(xué)中的價值.然后在此和大家做個探討,談一點(diǎn)自己的教學(xué)思考.

2 明晰尺規(guī)作圖的育人價值

核心素養(yǎng)的本質(zhì)不是單純的知識技能,也不是單純的興趣、動機(jī)、態(tài)度,而是重視運(yùn)用知識技能以及解決現(xiàn)實(shí)問題所必需的思考力、判斷力與表達(dá)力及其人格品性[3].尺規(guī)作圖特有的育人價值,使其在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面具有不可替代的作用.

2.1 培育創(chuàng)新思維

一般幾何問題注重辨析論證,解題過程側(cè)重于現(xiàn)有條件分析問題,最后解決問題,更多是“記憶型”知識的重現(xiàn)和參與,主要發(fā)展的是“雙基”能力.但尺規(guī)作圖問題往往需要學(xué)生首先構(gòu)想符合題目的幾何概念(發(fā)現(xiàn)問題),利用直尺和圓規(guī)通過動手操作將“想象”的概念以圖形“構(gòu)造”出來(提出問題),通過分析論證自己創(chuàng)設(shè)的問題情境,最后解決問題(畫出圖形).因此在學(xué)生的尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)活動中,首先需要調(diào)用切合問題的知識和尺規(guī)使用技能將問題所需的概念“具化”,在鍛煉發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力的同時,逐步摸索用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界;在運(yùn)用思想、方法邏輯推理所構(gòu)想圖形是否嚴(yán)謹(jǐn),是否符合問題要求的過程中,學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析思考現(xiàn)實(shí)世界;而在嚴(yán)謹(jǐn)演繹推理驗(yàn)證前面的直觀感知和空間想象,提升其問題解決能力的同時,也在逐漸嘗試用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.這些培養(yǎng)、夯實(shí)“四基”“四能”的活動全程離不開學(xué)生能動性的“思考型”學(xué)習(xí)參與,促進(jìn)了創(chuàng)新思維的孕育、誕生和發(fā)展.

2.2 發(fā)展幾何素養(yǎng)

大量的研究表明:從初中開始,幾何直觀從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟逐步過渡到基于概念的推理,空間觀念的發(fā)展主要依賴于圖形的構(gòu)造、表征與轉(zhuǎn)換,學(xué)習(xí)與理解幾何的方式將從觀察、實(shí)驗(yàn)、測量逐步過渡到以演繹為主的推理[4].由此可看出幾何教學(xué)不能一味注重推理辨析,必須重視學(xué)生的直觀感知和操作證實(shí).

在尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)活動中,學(xué)生首先發(fā)揮直觀感知、空間想象和合情推理構(gòu)想過程和結(jié)論,緊接著利用直尺和圓規(guī)將其直觀呈現(xiàn),再運(yùn)用邏輯推理對其位置和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行必要的辨析證明,整個過程如圖1所示.在動手操作中,學(xué)生不斷積累必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),從而深入體會驗(yàn)證幾何和邏輯推理在幾何學(xué)習(xí)中的作用,推動幾何直觀、空間想象和推理等幾何素養(yǎng)能力的提升.

圖1

2.3 培養(yǎng)良好的情感態(tài)度價值觀

情感態(tài)度價值觀是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“內(nèi)驅(qū)力”,與“四基”和“四能”深度融合,共同導(dǎo)向素養(yǎng)目標(biāo).尺規(guī)作圖問題所涉幾何概念理解的低起點(diǎn)和作圖方法技能的寬口徑,使得各認(rèn)知水平層次的學(xué)生都能參與其中,以《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中新增的尺規(guī)作圖類型:過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線為例.

如圖2,已知點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn),過點(diǎn)P作l的一條平行線,要求:直尺和圓規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并寫出必要的文字說明.

圖2

基礎(chǔ)較薄弱學(xué)生容易聯(lián)想到平行線的判定方法,如圖3所示(作法:過點(diǎn)P作l的垂線PO,過點(diǎn)P作PO垂線AP,則AP即為求作的平行線).而對于認(rèn)知基礎(chǔ)較好的學(xué)生,則會進(jìn)一步聯(lián)想哪些幾何概念蘊(yùn)含平行的性質(zhì),構(gòu)造符合該概念的圖形即可,如圖4所示的作中位線(作法:在直線l上任取一點(diǎn)A,在射線AP上作線段PB=AP,另在直線l上任取一點(diǎn)C,作BC中點(diǎn)F,則PF為求作的平行線)和圖5的作菱形(作法:在直線l上任取一點(diǎn)A,在直線l上作線段AB=AP,分別以點(diǎn)P、B為圓心,線段AP長為半徑作圓交于點(diǎn)C,則CP即是求作的平行線).因此各認(rèn)知層次的學(xué)生都能在觀察、類比和聯(lián)想以及合情推理,甚至直覺等一系列智力活動中自主探究、嘗試構(gòu)想問題所需的圖形關(guān)系,并通過操作尺規(guī)將其直觀呈現(xiàn)出來,從中獲得必要的認(rèn)知建構(gòu)體驗(yàn),逐步樹立積極主動和不畏困難等良好的情感態(tài)度價值觀.

圖3

圖4

圖5

3 教學(xué)建議

3.1 重視基本作圖,鼓勵方法多樣

盡管在《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中,現(xiàn)階段尺規(guī)作圖雖然只有五種基本類型,但學(xué)生正是從基本作圖類型開始熟悉作圖流程,規(guī)范作法用語,更重要是從基本類型的作圖中領(lǐng)悟到尺規(guī)作圖的主要思路和基本方法在于“執(zhí)果索因”,逆向思維假設(shè)圖形已經(jīng)作出,再分析圖形成立需要滿足什么條件,什么條件是可以通過直尺和圓規(guī)的作圖得到的,因此基本類型的作圖課是基礎(chǔ)課、示范課、規(guī)范課,更是方法課,必須予以重視.但結(jié)合筆者的多次聽課經(jīng)歷,在目前的尺規(guī)作圖教學(xué)中,部分教師容易陷入只是教授教材中的作圖步驟,然后習(xí)題訓(xùn)練強(qiáng)化的怪圈,導(dǎo)致學(xué)生對作圖原理認(rèn)識不足.其實(shí),方法的多樣意味著考慮問題的出發(fā)點(diǎn)的不同,所涉及的知識也就不同.方法的不同需要學(xué)生主動探究,經(jīng)歷條件分析、關(guān)聯(lián)圖形、調(diào)取知識、構(gòu)思圖形、證明圖形、確定圖形的完整思維過程.以《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中新增的尺規(guī)作圖類型:過圓外一點(diǎn)作圓的切線為例.

如圖6,已知點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的一條切線,要求:直尺和圓規(guī)作圖,保留作圖痕跡,并寫出必要的文字說明.

圖6

結(jié)合題目條件和切線概念,即是在圓上確定一點(diǎn)N,使∠PNO=90°,問題轉(zhuǎn)化為作圖構(gòu)造什么圖形條件可得到直角或直角三角形,調(diào)取認(rèn)知結(jié)構(gòu)中與之相關(guān)的知識,在除該作圖所在章節(jié)對應(yīng)知識點(diǎn)“直徑所對的圓周角是直角”關(guān)聯(lián)的方法外,還有如“等腰三角形的三線合一”、“菱形的對角線互相垂直”,如圖7(做法:連接OP,以O(shè)為圓心,以⊙O直徑長為半徑作弧,以點(diǎn)P為圓心,PO長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)B,連接OB交⊙O相交于點(diǎn)N,連接PN,則PN即為所求作的切線.)、圖8所示(做法:連接OP,以O(shè)為圓心,以⊙O直徑長為半徑作弧,以點(diǎn)P為圓心,PO長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)B,分別以點(diǎn)O和點(diǎn)B為圓心,PO長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接OB、PC交于點(diǎn)N,連接PN,則PN即為所求作的切線.).

圖7

圖8

此外,認(rèn)知水平層次較高的學(xué)生可能跳出思維桎梏,在關(guān)聯(lián)相關(guān)知識構(gòu)造直角之外,先作一個直角,嘗試全等或相似三角形的方法在圓上將直角復(fù)制出來,如圖9(作法:連接PO交⊙O于點(diǎn)A,作∠CMB=90°,在MB截取MD=AO,在以D為圓心,PO長為半徑作弧交MC于點(diǎn)E,以點(diǎn)P為圓心,ME長為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)N,連接PN,PN即為所求作的切線.),圖10(作法:連接PO交⊙O于點(diǎn)A,以O(shè)為圓心,PO長為半徑作圓,延長PO分別交兩圓于點(diǎn)B和點(diǎn)C,以點(diǎn)C為圓心,AB長為半徑作弧交大圓于點(diǎn)D,連接PD,過點(diǎn)O作PD垂線,垂足為N,連接PN,則PN即為所求作的切線.)所示.

圖9

圖10

鼓勵學(xué)生多種方法作圖(必要時可教師引導(dǎo)),不僅可使學(xué)生充分聯(lián)系前后所學(xué)知識,并使知識得以“內(nèi)化”,理解更全面和深入,更為重要是通過對比方法間異同,明晰方法之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和一致性,多種方法意味著學(xué)生可從多維角度感悟直觀感知、操作證實(shí)與推理辨析在作圖過程中的相互關(guān)系,這對積累活動經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、直觀想象力和推理能力,發(fā)展核心素養(yǎng)大有裨益.

3.2 重視尺規(guī)作圖教學(xué),注重自主探究

尺規(guī)作圖,以兼容并包的多維思路、直觀明了的感知方式、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评沓蔀閿?shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含豐厚思維價值的教學(xué)內(nèi)容,凸顯其在發(fā)展創(chuàng)新思維、幾何素養(yǎng)和培養(yǎng)良好的情感價值觀方面不可替代的育人作用.因此要重視尺規(guī)作圖的教學(xué),除鼓勵引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,對問題展開多種思路的作圖方法外,還應(yīng)注重在幾何概念、命題形成和辨析過程中應(yīng)盡可能地多給學(xué)生利用尺規(guī)作圖開展自主探究的機(jī)會,使其把尺規(guī)作圖作為合情推理的手段,用作圖去發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后用演繹推理證明結(jié)論,如在學(xué)習(xí)命題“直角三角形斜邊上的中線等于其斜邊的一半”后,可設(shè)問“其逆命題是否成立?”

圖11

尺規(guī)作圖本質(zhì)是一種“問題情境”的創(chuàng)設(shè),教師可利用幾何概念、定理或命題中某些易混淆,不易理解或難掌握的部分創(chuàng)設(shè)較豐富的問題情境,學(xué)生關(guān)聯(lián)和調(diào)取相關(guān)圖形或模型知識,借助直尺和圓規(guī),在作圖的操作嘗試中探究問題,借助圖形的直觀明了尋找問題解決的方法,這對于學(xué)生加深幾何直觀、空間觀念和培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力是有益的,同時,也在一定程度上展示怎樣從已解決問題的基礎(chǔ)上“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”,培養(yǎng)了學(xué)生的“問題意識”.

3.3 完善作圖流程,透析方法本質(zhì)

《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中對尺規(guī)作圖的要求是了解作圖的原理,保留作圖痕跡,不要求寫出作法[5].這是因?yàn)閮H僅將尺規(guī)作圖作為操作技能,單純記住作圖方法的育人價值已經(jīng)不大了.而通過探索發(fā)現(xiàn)作圖方法(同時可以理解作圖原理)的過程,是執(zhí)果索因(先想象出通過尺規(guī)作圖的操作形成的圖形)利用幾何知識解決幾何問題的過程,可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維(包括直覺思維、發(fā)散思維、聯(lián)想思維等)和直觀想象能力、邏輯推理能力[6].

盡管《標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對尺規(guī)作圖的教學(xué)要求越來越高,但不要求寫出作法值得商榷,這是因?yàn)閷懗鲎鞣ú粌H可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和圖形、文字與符號的轉(zhuǎn)換能力,更重要是寫出作法和必要的證明(初學(xué)階段或某些問題可要求證明)能充分外化學(xué)生思維的細(xì)節(jié)和推理的過程,便于教師準(zhǔn)確了解學(xué)生作圖中的障礙和困難,從而分析成因進(jìn)行精準(zhǔn)化的干預(yù)和引導(dǎo),同時,詳盡的作法和必要的證明使得認(rèn)知較薄弱學(xué)生得以從生生、師生間作法的對比中透析方法原理和本質(zhì),知法明理,逐步提升作圖能力.如前文中過圓外一點(diǎn)作圓的一條切線,還可以采取如圖12所示的方法(作法:連接PO交⊙O于點(diǎn)A,延長PO交⊙O于點(diǎn)B,以PB長為直徑作⊙M,過點(diǎn)A作AC⊥PB,垂足為點(diǎn)A,交⊙M于點(diǎn)C,以點(diǎn)P為圓心,PC長為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)N,連接PN,則PN即為所求作的切線.).

圖12

圖13

簡要的證明,不僅可剖析其方法的原理源自圓的切割線定理,更深遠(yuǎn)的意義在于與其他方法的鮮明對比,使得學(xué)生透析作圖方法的本質(zhì)或通性通法是“交軌”,即無論所作圖形多么簡單或繁瑣,都離不開關(guān)鍵點(diǎn)位置的確定,點(diǎn)的位置是由直尺和圓規(guī)畫線相交得到的,而這些線的本質(zhì)是滿足特定條件的點(diǎn)的軌跡,這里特定條件則是與“想象”圖形相關(guān)的幾何概念、定理或命題.

基于以上論述,筆者認(rèn)為在初中階段的幾何教學(xué)中可根據(jù)學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)情況,適時創(chuàng)設(shè)問題情境便于學(xué)生利用尺規(guī)作圖展開自主探究,規(guī)范和完善作圖流程,注重對作圖原理的溯源和通性通法的挖掘,感悟背后所蘊(yùn)含最基本的數(shù)學(xué)思想與方法,由此在教學(xué)中可采用這樣的步驟:① 要求學(xué)生畫出草圖,假設(shè)圖形已作出;② 根據(jù)圖形分析畫法;③ 利用尺規(guī)嚴(yán)格操作并寫出作法,鼓勵“一題多法”;④ 對作法進(jìn)行必要證明(特別是初學(xué)階段和某些問題).學(xué)生按照這樣的步驟進(jìn)行作圖學(xué)習(xí)的過程,正是一個猜想、觀察、操作、驗(yàn)證的過程,這一過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的作圖習(xí)慣,培養(yǎng)其探索性思維和直觀想象力,以及嚴(yán)密的邏輯思維能力,真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).