胡玉華

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一.它不僅是中考必考的知識(shí)點(diǎn)，還是初高中數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容.其中最值問(wèn)題是學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn).此類問(wèn)題形式多變，計(jì)算復(fù)雜.在求解二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們不僅需熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，還需要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.本文將結(jié)合例題，談一談二次函數(shù)最值問(wèn)題的三種常見(jiàn)類型及解答方法.

一、“定軸定區(qū)間”中的最值問(wèn)題

如果我們由題目已知函數(shù)的對(duì)稱軸與自變量的取值區(qū)間，那么該題目就歸類為“定軸定區(qū)間”的問(wèn)題.這一類問(wèn)題屬于二次函數(shù)最值問(wèn)題中較為簡(jiǎn)單的，只需要求出函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式畫(huà)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，就可以知道取最大值、最小值的位置.需要注意的是，若題目給出自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，那么函數(shù)的最值不僅可能位于函數(shù)的頂點(diǎn)處，還可能在范圍區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn).

例1已知二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3，當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，求函數(shù)的最小值與最大值.

分析：根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2-2x-3和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，畫(huà)出函數(shù)圖象，然后根據(jù)-2≤x≤2得到取最大值和最小值的位置.

解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，且函數(shù)圖象開(kāi)口向上，大致圖象如圖1所示：

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)函數(shù)解析式求出對(duì)稱軸的解析式，然后畫(huà)出圖象，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解答.

二、“定軸動(dòng)區(qū)間”中的最值問(wèn)題

如果根據(jù)題目，我們已知函數(shù)的對(duì)稱軸，但是自變量的取值區(qū)間不固定，那么該題目就歸類為“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題.這類問(wèn)題無(wú)法像“定軸定區(qū)間”問(wèn)題一樣直接比較頂點(diǎn)值和端點(diǎn)值的大小，需要依照對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間還是右側(cè)展開(kāi)分類討論，后續(xù)的解答方法類似于“定軸定區(qū)間”問(wèn)題.

例2

分析

解

點(diǎn)評(píng)：確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值.

三、“動(dòng)軸定區(qū)間”中的最值問(wèn)題

這一類問(wèn)題和“定軸動(dòng)區(qū)間”中的最值問(wèn)題類似，只不過(guò)是區(qū)間固定而對(duì)稱軸是一個(gè)參數(shù)，由于對(duì)稱軸的不確定性，我們也需要按照對(duì)稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)、中間還是右側(cè)展開(kāi)分類討論，其中如果對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，最值往往在對(duì)稱軸處取到.

例3

分析

解

點(diǎn)評(píng)：本題中，當(dāng)頂點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)時(shí)頂點(diǎn)是函數(shù)的最值；當(dāng)頂點(diǎn)不在區(qū)間內(nèi)時(shí)端點(diǎn)是函數(shù)的最值.分類討論是解題的關(guān)鍵.

通過(guò)分析以上幾種方法可以發(fā)現(xiàn)，在求解二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們需熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想.對(duì)于這種綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，同學(xué)們平時(shí)一定要多歸納總結(jié)才能觸類旁通.