■韓雨彤

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的主要性質(zhì)之一,它常和函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性交匯命題,且是每年高考的?？键c(diǎn)。

一、函數(shù)的奇偶性

例1 已知定義域?yàn)閇1-2a,a+1]的奇函數(shù)f(x)=x3+(b-1)x2+x,則a+b=____。

解:由題意得1-2a+a+1=0,所以a=2。因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-x3+(b-1)x2-x=-x3-(b-1)x2-x,所以(b-1)x2=0恒成立,所以b-1=0,即b=1。故a+b=3。

函數(shù)具有奇偶性的必要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在此條件下,若f(-x)=-f(x),則函數(shù)f(x)為奇函數(shù);若f(-x)=f(x),則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。反之亦然。

二、函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

例2 已知函數(shù)f(x)=ax5+bx3+3且f(2023)=16,則f(-2023)的值為_____。

解:令g(x)=ax5+bx3。因?yàn)閒(x)=ax5+bx3+3,所以f(x)=g(x)+3。

因?yàn)間(x)是奇函數(shù),所以函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱,所以g(-x)+g(x)=0。

因?yàn)閒(-x)+f(x)=g(-x)+g(x)+6=6,所以f(-2023)+f(2023)=6。

又f(2023)=16,所以f(-2023)=6-16=-10。

奇偶性只是對(duì)稱性的一種特殊情況。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

三、函數(shù)的奇偶性與周期性

先利用函數(shù)的奇偶性,求出函數(shù)的周期,再適當(dāng)賦值,即可求出函數(shù)的值。

四、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

先由已知條件得到g(x)在R 上為單調(diào)遞減函數(shù),由g(x)為奇函數(shù)得到g(m)>g(2-m),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍。