■王 飛

分段函數(shù)是“自變量取不同范圍時(shí)所使用的解析式不同”,于是,求解分段函數(shù)要時(shí)刻盯著自變量的范圍是否發(fā)生變化,即“分段函數(shù)——分區(qū)間研究其性質(zhì)”。

題型1:分段函數(shù)的求值問題

分段函數(shù)求值,可依據(jù)自變量的值,選擇對應(yīng)的解析式求值。當(dāng)自變量不確定時(shí),先合理分類,再利用區(qū)間上的解析式求值。

題型2:分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值問題

分析:求f[g(π)]的值,需認(rèn)清由內(nèi)向外的順序,合理選擇區(qū)間上的解析式求值。

解:因?yàn)棣?為無理數(shù),所以g(π)=-1。又-1<0,所以f[g(π)]=f(-1)=-2。

分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求值,注意由內(nèi)向外的復(fù)合過程,每一次都由自變量的范圍合理選擇區(qū)間上對應(yīng)的解析式求值。本題先求g(π)的值,再求f[g(π)]的值。

題型3:分段函數(shù)的不等式問題

分析:求f(a)>3,需依據(jù)a的取值范圍選擇解析式,這就要對a進(jìn)行分類討論,利用f(a)構(gòu)建不等式組,最后求并集。

求分段函數(shù)的不等式,關(guān)鍵是先利用區(qū)間上的解析式,對整體變量進(jìn)行合理分類,構(gòu)建不等式組,再求并集,凸顯了“先分后合”的分類方法。

題型4:分段函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用問題

例4 某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水,有如下規(guī)定:每位職工每月用水量不超過10m3,按3元/m3收費(fèi);用水量超過10m3,超過部分按5元/m3收費(fèi)。某職工某月繳水費(fèi)55元,則該職工這個(gè)月實(shí)際用水量為____m3。

分析:先設(shè)出職工的月實(shí)際用水量,由題設(shè)構(gòu)建所交水費(fèi)與用水量的分段函數(shù),借助分段函數(shù)的函數(shù)值構(gòu)建方程,再求對應(yīng)的用水量。

解:設(shè)職工的月實(shí)際用水量為xm3,所繳水費(fèi)為y元。 結(jié)合題意可得y=

在閱讀理解的基礎(chǔ)上,構(gòu)建分段函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵。解題的難點(diǎn)是“當(dāng)x>10 時(shí),y=30+5(x-10)”的應(yīng)用。

題型5:分段函數(shù)的單調(diào)性問題

分段函數(shù)由區(qū)間單調(diào)到R 上單調(diào),既要考慮“同步單調(diào)”,也要考慮分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小關(guān)系。

題型6:新定義的分段函數(shù)問題

致圖像,如圖1所示。

圖1

關(guān)于x的方程f(x)=m有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn),所以0

解答本題的關(guān)鍵是由新定義的運(yùn)算法則得到函數(shù)