李璇, 瞿偉斌, 壽任禎, 馬兆有, 王曉玉

(1.公安部交通管理科學(xué)研究所, 江蘇 無錫 214151;2.山東省交通規(guī)劃設(shè)計院集團有限公司, 山東 濟南 250101)

公路平面線形指標恢復(fù)在公路改擴建、交通事故路段安全性鑒定中應(yīng)用較多。從工程實踐和研究情況來看,當設(shè)計圖已知,即平面線形中直緩點、緩圓點、圓緩點、緩直點等特征點位置明確時,通過實測道路中線平面坐標,采用數(shù)值分析、軟件輔助等方法恢復(fù)得到的路段平面線形指標差異不大且足夠精確。張航等以某S形曲線(圓曲線半徑R1=330 m)路段為例,分別采用拉格朗日插值法、最小二乘擬合法、三次樣條插值法、緯地軟件擬合法進行分析,依次得到R1=331.55 m、R1=330.03 m、R1=330.25 m、R1=331.99 m,誤差分別為0.470%、0.009%、0.076%、0.603%[1]。

因公路設(shè)計時間久遠、原始設(shè)計圖丟失,根據(jù)測量坐標難以判斷特征點位置,須研究如何恢復(fù)公路平面線形指標。部分學(xué)者采用“先直線、圓曲線,后緩和曲線”的思路恢復(fù)公路平面線形指標,如楊軫等采用最小二乘法擬合直線,根據(jù)三點確定唯一圓原理計算若干圓心坐標,采用重心計算公式求解平均圓心坐標,若干測量坐標與平均圓心坐標的距離即為圓曲線擬合半徑,該方法對坐標測量誤差的容忍度高,擬合效果好且計算簡便[2-3];張航等將測量所得公路中線平面坐標導(dǎo)入CAD,人工判斷特征點位置并劃分恢復(fù)線元的區(qū)間,采用三次樣條插值法計算各區(qū)段的線形指標,該方法在測量精度較小時適用性好[4]。但上述方法沒有回答“哪些測量點納入直線坐標擬合,哪些測量點納入圓曲線坐標計算”,確定特征點位置的主觀性較強且相關(guān)人員須具備公路路線設(shè)計經(jīng)驗。為規(guī)避這一問題,鄔鎮(zhèn)倫等直接采用三次樣條函數(shù)對公路設(shè)計中線平面點云坐標進行插值[5],求得各測量點處的曲率,根據(jù)曲率變化確定線元屬性[6],其中圓曲線半徑取對應(yīng)線元范圍內(nèi)各點半徑的均值,緩和曲線參數(shù)采用黃金分割優(yōu)選法求得[7]。張志偉等將公路平面線形恢復(fù)分為兩個步驟,第一步采用三次B樣條函數(shù)對公路設(shè)計中線測量坐標進行插值,求出各測量點的曲率,并根據(jù)曲率變化劃分線元(直線、緩和曲線、圓曲線);第二步采用最小二乘法擬合直線和圓曲線參數(shù)[8-9]。Easa S. M.等通過衛(wèi)星地圖提取道路平面線形要素[10]。Li Z. X.等以曲線識別為基礎(chǔ)識別線形單元,利用線形單元特性進行擬合[11]。Ai C. B.等提出基于GPS數(shù)據(jù)的道路線形識別和線形要素測設(shè)方法[12]。Ding J. J.等提出基于MATLAB和CAD平臺的道路線形擬合方法[13]。

既有平面線形恢復(fù)方法總體上包括插值、擬合等數(shù)值分析法和軟件計算法兩大類,在實際應(yīng)用中指導(dǎo)性強,但對不同測量偏差數(shù)據(jù)源的線形指標恢復(fù)方法研究較少。此外,插值法應(yīng)用場景描述不夠明確,擬合法也需首先由人工判斷圓曲線、直線的大致范圍。為此,本文基于理想道路中線平面坐標數(shù)據(jù)及實測道路中線平面坐標數(shù)據(jù),研究三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地智能布線法的適用性和穩(wěn)定性,同時提出無須人工判斷線元屬性的等距分組最小二乘擬合圓曲線法,為完善既有公路平面線形恢復(fù)方法理論體系及公路改擴建、事故路段安全性鑒定等提供理論支撐。

1 公路平面線形恢復(fù)方法

1.1 三次樣條插值法

公路平面線形由直線、緩和曲線、圓曲線3種單元順適銜接而成,采用插值法恢復(fù)平面線形時,插值函數(shù)應(yīng)具有光滑性、凹凸性和精確性,分段低次多項式插值可提高插值精度并避免龍格現(xiàn)象,其中三次樣條插值法是恢復(fù)公路平面線形的有效方法[4]。

三次樣條插值法是在每兩點之間構(gòu)造三次函數(shù),使各分段函數(shù)之間二階及以下導(dǎo)數(shù)連續(xù),確保各點之間光滑銜接。假設(shè)在區(qū)間[a,b]上有n+1個樣本點,即[a,b]區(qū)間劃分為n個區(qū)間(x0,x1),(x1,x2),…,(xn-1,xn),其中兩個端點x0=a,xn=b,則三次樣條插值函數(shù)S(x)為:

每個區(qū)間有4個未知數(shù),共有n個區(qū)間。建立插值函數(shù)的條件如下:1) 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。除兩端點外,其余n-1個內(nèi)部點一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),即左右兩個三次函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)值相同。2) 二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。除兩端點外,其余n-1個內(nèi)部點二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),即左右兩個三次函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)值相同。3) 每個樣本點處連續(xù)。除兩端點外,其余n-1個內(nèi)部點連續(xù),即左右兩個三次函數(shù)值相同。4) 自然邊界條件。兩個端點處二階導(dǎo)數(shù)為零。

曲率半徑k大于10 000 m時,路段為直線;k接近某一定值R時,路段為圓曲線;R≤k≤10 000 m時,路段為緩和曲線[1]。

1.2 最小二乘擬合法

公路平面線形由直線、緩和曲線、圓曲線組成,從測量數(shù)據(jù)繪制的散點圖很難直接判斷特征點的位置,而且緩和曲線擬合較困難。為此,提出等距分組最小二乘擬合圓曲線法:將所有線元視作半徑不同的圓曲線,依次選擇若干數(shù)量的坐標點連續(xù)擬合圓曲線,根據(jù)半徑變化規(guī)律判斷線元屬性,規(guī)避首先由人工判斷直線、圓曲線范圍的步驟。圓曲線擬合方程為:

R2=x2-2Ax+A2+y2-2By+B2

令a=-2A,b=-2B,c=A2+B2-R2,圓曲線擬合方程變?yōu)?

x2+y2+ax+by+c=0

令目標函數(shù)Q最小,分別對a、b、c求偏導(dǎo)數(shù):

令:

D=N∑xiyi-∑xi∑yi

解得:

1.3 緯地平面智能布線法

緯地三維道路設(shè)計軟件具有智能布線功能,步驟如下:1) 將公路中線上測量的若干平面坐標點導(dǎo)入CAD。2) 打開緯地設(shè)計功能→智能布線→點擊“hpmnh”命令圖標。3) 選擇全部坐標點對象。4) 輸出擬合報告和擬合路線。

2 基于理想坐標及實測坐標的平面線形指標恢復(fù)

2.1 路段數(shù)據(jù)

某二級省道干線公路的設(shè)計速度為80 km/h。選取前后800 m范圍的某處彎道路段,該路段平曲線參數(shù)設(shè)計值見表1。

表1 某路段平曲線參數(shù)設(shè)計值

2.2 基于理想坐標的平面線形指標恢復(fù)

理想坐標數(shù)據(jù)是指平面坐標均嚴格落在道路中線上,由公路逐樁坐標表獲取。以坐標測量密度1處/(10 m)為例,將該路段的中線坐標導(dǎo)入CAD繪制散點圖(見圖1)。

圖1 分析路段中線坐標散點圖

2.2.1 三次樣條插值法恢復(fù)

采用三次樣條插值法恢復(fù)路段平面線形指標,以坐標測量密度1處/(10 m)為例,共計79個坐標點。對78個區(qū)間進行三次樣條插值,計算得到每個坐標點對應(yīng)的曲率半徑,根據(jù)曲率半徑變化判斷線元屬性(見表2)。

表2 三次樣條插值法所得路段各點曲率半徑

根據(jù)表2,坐標點32～56之間為圓曲線,半徑為449.56 m。選用CAD輔助計算緩和曲線長度,將坐標點24～32導(dǎo)入CAD,用樣條曲線依次連接,測量得到緩和曲線1的長度為80.03 m。同理,測量得到緩和曲線2的長度為85.01 m。依次計算不同坐標測量密度下平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表3。

表3 基于三次樣條插值法的不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.2 最小二乘擬合法恢復(fù)

采用最小二乘擬合法恢復(fù)路段平面線形指標,以坐標測量密度1處/(10 m)為例,共計79個坐標點。將該路段視為由不同半徑圓曲線組成的曲線,以20個點為一組,依次按照圓曲線方程擬合,計算得到每條圓曲線的半徑,根據(jù)半徑變化判斷線元屬性(見表4)。

表4 基于最小二乘擬合法的系列圓半徑

根據(jù)圓曲線半徑的變化,以坐標點5～24擬合結(jié)果為界限,對應(yīng)的圓曲線半徑減少幅度較大,認為坐標點24是直線和緩和曲線的臨界點。綜合計算結(jié)果來看,圓曲線半徑在450 m左右,圓曲線半徑擬合值為450 m左右時對應(yīng)的坐標點為30～49,認為坐標點30是緩和曲線和圓曲線的臨界點。同理,依次確定各線元范圍并計算長度,其中緩和曲線長度采用CAD輔助計算。

依次計算不同坐標測量密度下路段平曲線線元參數(shù),隨坐標測量密度的增加,選取的每組擬合點數(shù)量逐漸減少。計算結(jié)果見表5。

表5 基于最小二乘擬合法的不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.3 緯地平面智能布線法恢復(fù)

在緯地三維道路設(shè)計軟件中恢復(fù)平面線形,坐標測量密度為1處/(10 m)時,緯地平面智能布線結(jié)果見圖2。依次計算不同坐標測量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表6。

圖2 基于理想坐標的緯地平面智能布線(單位:m)

表6 基于緯地平面智能布線的不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.2.4 恢復(fù)方法比較

(1) 平面坐標點完全落在實際道路中線上時,采用三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑均可靠。

(2) 采用最小二乘擬合法恢復(fù)得到的緩和曲線長度的穩(wěn)定性差,采用三次樣條插值法和緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的緩和曲線長度較可靠。

2.3 基于實測坐標的平面線形指標恢復(fù)

由于測量儀器操作偏差、測量點定位誤差,加上從測量面域坐標中提取道路中線坐標時獲取的若干坐標通常難以嚴格落在理想的道路路線上,實測坐標往往存在一定偏差。將坐標測量密度設(shè)為1處/(10 m),采用GPS測量該路段數(shù)據(jù)(與2.2節(jié)道路中線實際坐標數(shù)據(jù)相比,此次測量坐標在偏實際道路中線±25 cm范圍內(nèi)),選擇三次樣條插值法、最小二乘擬合法及緯地平面智能布線法依次恢復(fù)不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)。

2.3.1 三次樣條插值法恢復(fù)

采用三次樣條插值法恢復(fù)該路段平面線形指標,以坐標測量密度1處/(10 m)為例,共計79個坐標點。對78個區(qū)間進行三次樣條插值,計算得到每個坐標點對應(yīng)的曲率半徑,根據(jù)曲率半徑變化判斷線元屬性(見表7)。

表7 基于三次樣條插值法的路段各點曲率半徑

各區(qū)段的端點測量坐標存在誤差,采用三次樣條插值法恢復(fù)線形指標時,在確保各區(qū)段光滑連接的情況下,各端點對應(yīng)的曲率半徑穩(wěn)定性差、跳躍性強,據(jù)此判斷線形指標較困難。

2.3.2 最小二乘擬合法恢復(fù)

采用最小二乘擬合法恢復(fù)該路段平面線形指標,以坐標測量密度1處/(10 m)為例,共計79個坐標點。認為該路段是由不同半徑圓曲線組成的曲線,以20個點為一組,依次按照圓曲線方程擬合,計算得到每條圓曲線的半徑,根據(jù)半徑變化判斷線元屬性(見表8)。

表8 基于最小二乘擬合法的系列圓半徑

根據(jù)圓曲線半徑的變化規(guī)律,判斷各特征點位置,并依次計算不同坐標測量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表9。

表9 基于最小二乘擬合法的不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.3.3 緯地平面智能布線法恢復(fù)

基于實測坐標,在緯地三維道路設(shè)計軟件中恢復(fù)平面線形,坐標測量密度為1處/(10 m)時緯地平面智能布線結(jié)果見圖3。依次計算不同坐標測量密度下路段平曲線線元參數(shù),結(jié)果見表10。

圖3 基于實測坐標的緯地平面智能布線(單位:m)

表10 基于緯地平面智能布線法的不同坐標測量密度下平曲線參數(shù)恢復(fù)

2.3.4 恢復(fù)方法比較

(1) 基于存在測量偏差的實測道路中線平面坐標數(shù)據(jù),采用三次樣條插值法恢復(fù)道路線形指標的適用性差,采用最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑相對可靠。

(2) 坐標測量密度足夠大,如1處/(5 m),對于提升緩和曲線長度恢復(fù)的可靠性有一定作用,但穩(wěn)定性不強。

3 結(jié)論

本文明確了三次樣條插值法在公路平面線形恢復(fù)中的概念,提出了恢復(fù)道路平面線形指標時無須人工判斷線元屬性的等距分組最小二乘擬合圓曲線法。針對某干線公路,分析三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地智能布線法用于公路平面線形指標恢復(fù)時的適用性和穩(wěn)定性,主要結(jié)論如下:

(1) 當?shù)缆分芯€測量坐標為理想數(shù)據(jù)或逼近實際道路中線時,采用三次樣條插值法、最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑均可靠,采用三次樣條插值法、緯地平面智能布線法得到的緩和曲線長度較可靠。

(2) 基于實測道路中線平面坐標數(shù)據(jù),采用三次樣條插值法恢復(fù)道路線形指標的適用性差,且增大測量點密度不能提升恢復(fù)結(jié)果的可靠性和穩(wěn)定性。

(3) 基于實測道路中線平面坐標數(shù)據(jù),采用最小二乘擬合法、緯地平面智能布線法恢復(fù)得到的圓曲線半徑相對可靠,且增大測量點密度可提升緩和曲線長度恢復(fù)的可靠性,但穩(wěn)定性不強。

(4) 公路改擴建工程中,恢復(fù)道路線形建議采用緯地平面智能布線法;道路交通事故鑒定中,涉及事故路段圓曲線半徑評估時,建議采用最小二乘擬合法。

道路線形恢復(fù)方法較多,本文僅對比分析了3種較常見的平面線形恢復(fù)方法,其他方法的適用場景及優(yōu)劣對比有待進一步研究。