王 印

（白城師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，吉林 白城 137000）

0 引言

1911年，Rutherford根據(jù)α粒子散射實(shí)驗(yàn)結(jié)果，給出了原子的有核模型，同時(shí)也開啟了人們對(duì)原子核結(jié)構(gòu)的理論研究［1］.原子核理論研究難點(diǎn)在于原子核是復(fù)雜的多體系統(tǒng)且統(tǒng)計(jì)規(guī)律又不太適用，為了描述觀測(cè)到的現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)給出的結(jié)果，大部分理論研究借助于唯象模型［2］.原子核結(jié)構(gòu)的唯象模型是從實(shí)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，突出主要因素，將原子核內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立相對(duì)易于求解的多體體系.隨著高能加速器實(shí)驗(yàn)的發(fā)展，原子核相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也越來越豐富，進(jìn)而也逐步發(fā)展起來多個(gè)成功的唯象模型，這些模型可以分別從某些方面解釋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并能一定程度上預(yù)言未知的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

通過實(shí)驗(yàn)可以測(cè)定原子核的壽命，人們發(fā)現(xiàn)當(dāng)原子核含有的質(zhì)子或中子數(shù)目為某些特殊數(shù)值時(shí)，這個(gè)原子核相對(duì)于附近的其他核素壽命要長(zhǎng).這樣的一系列數(shù)值被這個(gè)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)者M(jìn)ayer稱為“幻數(shù)”，并且她和Jensen，Wigner 等［3］類比原子中電子的殼層結(jié)構(gòu)，提出了原子核結(jié)構(gòu)的殼模型，成功地解釋了原子核的幻數(shù).Nilsson 進(jìn)一步發(fā)展了殼模型，構(gòu)建了形變平均場(chǎng)理論.該理論引入了形變的線性諧振子勢(shì)，也被稱為Nilsson模型或形變殼模型，該模型是研究較大形變的核素能譜的重要工具［4］.

潘峰等［5］在Nilsson 模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮剩余相互作用中的對(duì)力，并將對(duì)力形式選為高斯型對(duì)力，稱為鄰近軌道對(duì)力模型.該模型使殼模型的大維度求解本征問題能夠快速對(duì)角化，并取得了與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果［6-7］.本文在鄰近軌道對(duì)力模型的框架下，質(zhì)子部分選取統(tǒng)一對(duì)力參數(shù)，分析過渡區(qū)Sm 同位素的結(jié)合能、奇偶能差和對(duì)激發(fā)能級(jí).

1 鄰近軌道對(duì)力模型理論框架

為了更好地描述大形變核素，Molique和Dudek采用與殼模型單粒子軌道相關(guān)的對(duì)力形式得到了較好的結(jié)果［8］.文獻(xiàn)［7］中采用高斯型對(duì)力：

其中：α和β是單粒子能級(jí)的標(biāo)記，εα和εβ是相應(yīng)的單粒子能級(jí)；A和B是模型的參量，取值都大于0.如此定義的對(duì)力取決于單粒子能級(jí)間的能級(jí)差，按照能級(jí)差的平方呈現(xiàn)出指數(shù)衰減.文獻(xiàn)［6］在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步近似，僅考慮相鄰的單粒子能級(jí)之間的對(duì)力，忽略其他情況的對(duì)力相互作用，給出了鄰近軌道對(duì)力［9-10］，即

Nilsson平均場(chǎng)加鄰近軌道對(duì)力模型的哈密頓量為

其中：第一項(xiàng)是對(duì)單粒子（不配對(duì)）占據(jù)的單粒子能級(jí)求和，在奇A核或拆對(duì)情況下該項(xiàng)會(huì)有貢獻(xiàn)是單粒子軌道ρ的粒子數(shù)算符是的時(shí)間反演態(tài)產(chǎn)生算符；第二項(xiàng)求和號(hào)的“*”上標(biāo)，表示求和取遍所有被核子對(duì)占據(jù)的軌道是單粒子軌道α的對(duì)產(chǎn)生算符；tαβ是三對(duì)角矩陣t的矩陣元：

文獻(xiàn)［8］中給出了哈密頓量（3）的k對(duì)核子的本征態(tài)：

其中：求和是分別對(duì)單和對(duì)占據(jù)的單粒子軌道求和；E(ξi)是矩陣的第ξi個(gè)本征值.

2 過渡區(qū)Sm同位素鏈實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合

為了能夠描述核素的結(jié)合能，選取核素鏈對(duì)應(yīng)的雙幻核為“核芯”，該雙幻核的結(jié)合能實(shí)驗(yàn)值為零點(diǎn)能.每個(gè)價(jià)核子對(duì)結(jié)合能的貢獻(xiàn)之和等于核素與雙幻核結(jié)合能的差值.引入中子和質(zhì)子平均結(jié)合能，每個(gè)核子對(duì)結(jié)合能的貢獻(xiàn)等于平均結(jié)合能與該核子單粒子能級(jí)之差.平均結(jié)合能是擬合結(jié)合能時(shí)可以調(diào)節(jié)的參數(shù)，對(duì)于一個(gè)同位素鏈的所有核素平均結(jié)合能是相同的，即平均結(jié)合能不會(huì)影響奇偶能差.選取Sm同位素中穩(wěn)定的核素152Sm與其差一個(gè)中子的153Sm，比較兩者結(jié)合能的差，確定中子平均結(jié)合能的取值范圍；比較152Sm 和153Eu 兩者結(jié)合能，確定質(zhì)子的平均結(jié)合能取值范圍.本文擬合中子和質(zhì)子的平均結(jié)合能分別為6.0 MeV和7.0 MeV.在以上的限定下，理論計(jì)算的單粒子能級(jí)為

其中：εNilsson是Nilsson 形變殼模型計(jì)算得到的單粒子能級(jí)；εcore是核芯的最外層核子所處軌道的Nilsson單粒子能級(jí)；εˉ是平均結(jié)合能.對(duì)于能夠系統(tǒng)地反映結(jié)合能變化的奇偶能差，本文采用文獻(xiàn)［5］中的三點(diǎn)公式：

其中EB(A)是核素A的結(jié)合能.可以證明奇偶能差和εcore都是無關(guān)的，僅由對(duì)力參數(shù)確定.

在利用鄰近軌道對(duì)力模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)合能對(duì)參數(shù)B的變化不敏感，這是因?yàn)閰?shù)B僅影響相鄰軌道的對(duì)力，而不影響同一條軌道上核子對(duì)力，兩者相比，前者對(duì)力弱了很多.所以本文在模擬結(jié)合能時(shí)，所有核素的參數(shù)B按照計(jì)算經(jīng)驗(yàn)都選取為B= 0.1；另外凍結(jié)質(zhì)子部分對(duì)結(jié)合能的貢獻(xiàn)也是近似方法之一，本文并沒有凍結(jié)質(zhì)子部分，而是所有核素的質(zhì)子對(duì)力強(qiáng)度取相同值為Aπ= 3，由于質(zhì)子部分的Nilsson 單粒子能級(jí)不同，相同的對(duì)力參數(shù)也會(huì)有不同的對(duì)力貢獻(xiàn)；對(duì)于每個(gè)核素，通過擬合結(jié)合能和奇偶能差確定中子對(duì)力強(qiáng)度參數(shù)Aμ.

本文選取Sm 同位素鏈進(jìn)行研究，選取質(zhì)量數(shù)150～156 的核素.表1 給出了模型所選參數(shù)和結(jié)合能與奇偶能差的擬合結(jié)果，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作比較.圖1 和圖2 分別給出了對(duì)應(yīng)的直觀圖像比較，圖3 和圖4分別給出了第一和第二對(duì)激發(fā)能的擬合情況.

圖1 Sm同位素鏈結(jié)合能理論擬合

圖2 Sm同位素鏈奇偶能差理論擬合

圖3 Sm同位素鏈第一對(duì)激發(fā)能理論擬合

圖4 Sm同位素鏈第二對(duì)激發(fā)能理論擬合

表1 鄰近軌道對(duì)力模型參數(shù)和結(jié)合能與奇偶能差的擬合結(jié)果

從表1、圖1和圖2可以看出，鄰近軌道對(duì)力模型可以很好地?cái)M合原子核基態(tài)的結(jié)合能，能基本反映核素鏈的結(jié)合能系統(tǒng)的奇偶差異.圖3和圖4給出的對(duì)激發(fā)能擬合則存在一定誤差，特別是第二激發(fā)態(tài)，雖然考慮了中子和質(zhì)子激發(fā)但是偏差仍然較大.

3 結(jié)論和展望

從擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的過程和實(shí)際運(yùn)算結(jié)果中可以得到，鄰近軌道對(duì)力模型優(yōu)勢(shì)是可以快速對(duì)角化，并且能很好地描述較大形變核素的結(jié)合能和奇偶能差，在描述對(duì)激發(fā)能時(shí)存在一定的誤差.對(duì)于第二對(duì)激發(fā)能擬合偏差較大，可以理解為模型更適合描述基態(tài)和低激發(fā)態(tài)性質(zhì)，而對(duì)于較高的激發(fā)態(tài)需要考慮其他的影響.另外，由于Nilsson 平均場(chǎng)本身也破壞了轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性，使得模型得到的本征態(tài)沒有角動(dòng)量量子數(shù)，不能進(jìn)一步與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.解決這些問題期望于引入中子和質(zhì)子相互作用以及采用角動(dòng)量恢復(fù)技術(shù)，使得模型進(jìn)一步完善并檢驗(yàn)和預(yù)言更多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).