王國慶,姚鳳麒
(安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,安徽馬鞍山 243032)
眾所周知,隨機擾動和時滯現(xiàn)象廣泛存在于實際工程系統(tǒng)中,包括隨機時滯微分系統(tǒng)在內(nèi)的隨機泛函微分系統(tǒng)在電力系統(tǒng)分析以及控制工程領(lǐng)域中有著非常深刻的影響[1].因此,近年來該系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究引起了眾多研究者的關(guān)注,并在此趨勢下誕生了一系列新的研究成果[2–5].另一方面,脈沖效應(yīng)也是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的干擾因素之一,它會使系統(tǒng)狀態(tài)在某一時刻突然變化或者重置.脈沖可分為3種類型,分別為輸入干擾型脈沖、中立型脈沖和穩(wěn)定型脈沖[6].
脈沖與時滯的引入將使隨機泛函微分系統(tǒng)的研究更加復(fù)雜.最近,在對該系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究方面有許多新的進展[7–14].在這些文章中,研究者們都利用了Lyapunov-Like函數(shù)法與It?公式相結(jié)合,求解李亞普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后進行系統(tǒng)穩(wěn)定的研究.在這其中,文獻[7–9]應(yīng)用Razumikhin技巧建立了脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定的條件,其優(yōu)點是不要求Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為負定,減少了一些保守性.參考文獻[10,13]主要是對具有無限時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究.Yao等人[11]利用比較原理得到了脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性定理.在參考文獻[15]中作者提出了平均脈沖區(qū)間的概念,其允許脈沖發(fā)生的頻率在不同區(qū)間內(nèi)是不同的.顯然,這個概念在描述非均勻分布脈沖的頻率方面具有優(yōu)勢.基于這一優(yōu)勢,該條件從提出起就受到了許多研究人員的廣泛關(guān)注[9–12,16–18].
然而,上述這些研究主要是討論隨機脈沖泛函微分系統(tǒng)的p階矩指數(shù)穩(wěn)定,而很少有對該系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定進行研究.有限時間穩(wěn)定的概念是由俄羅斯研究者Kamenkov[19]在大約70年前首次提出的,并且在20世紀60年代和70 年代也有少量提及[20].有限時間穩(wěn)定不同于Lyapunov穩(wěn)定,它要求系統(tǒng)狀態(tài)在有限的時間內(nèi)收斂到一個固定的范圍.近年來,各種類型系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定理論得到廣泛研究,如非線性系統(tǒng)[2,21–22]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]、隨機系統(tǒng)[17,23]等.Weiss 和Infante在文獻[24]中基于有限時間穩(wěn)定提出了有限時間漸近穩(wěn)定這一新概念,其要求系統(tǒng)的狀態(tài)在滿足有限時間穩(wěn)定的前提下收斂到一個小于初始值的閾值內(nèi).隨著兩個概念的提出,研究者們在這一方向上進行了更深入的研究與拓展.在文獻[25]中,作者利用Lyapunov-Razumikhin法建立了時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定以及有限時間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準則,并將結(jié)論應(yīng)用于一類線性時變系統(tǒng).而含有脈沖的隨機時滯系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題一直是研究的熱門話題之一[26–28].文獻[18]利用平均脈沖區(qū)間條件和多重Lyapunov-like函數(shù)建立了非線性脈沖隨機時滯系統(tǒng)的均方有限時間穩(wěn)定.但很少有研究者提及如何建立脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定和有限時間漸近穩(wěn)定這類問題,這促使本文接下來的工作.
本文將利用Lyapunov-Razumikhin法和平均駐留時間的概念研究具有有界時滯的脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定和有限時間漸近穩(wěn)定問題.文章的結(jié)構(gòu)如下: 首先,第2節(jié)將介紹相關(guān)系統(tǒng)的概念,符號的含義和定理中將使用的基本定義;第3節(jié)將介紹主要結(jié)論及其證明過程;在第4節(jié)中,將給出具體數(shù)值的例子來驗證本文的結(jié)論;最后,第5節(jié)會對文章進行總結(jié).
在本文中除非另有說明,否則將采用以下符號.令(?,F,{Ft}t≥0,P)為完備概率空間,{Ft}t≥0滿足右連續(xù)并且F0包含所有P的空集.令w(t)=(w1(t)···wm(t))T是定義在概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的m維布朗運動.E[·]是關(guān)于概率測度的期望算子.R,R+,N分別代表實數(shù)、非負實數(shù)和正整數(shù).Rn記為歐幾里得范數(shù)|·|的n維實數(shù)空間.Rn×m是n×m實矩陣.對于τ>0,用C1,2([t0-τ,+∞)×Rn,R+)表示定義在[t0-τ,+∞)×Rn上所有非負實值函數(shù)V(t,x)的族,其對t有一次偏導(dǎo),對x有二次偏導(dǎo).若a,b為常數(shù),則a∨b=max{a,b};a∧b=min{a,b};mod(a,b)表示a除以b取余.若A是一個向量或矩陣,則AT表示其轉(zhuǎn)置.
若τ>0,PC([-τ,0];Rn)={φ: [-τ,0]→Rn|φ(t),在[-τ,0]上所有但至多有限個點存在φ(t-)且φ(t-)=φ(t)},式中φ(t-),φ(t+)分別表示函數(shù)φ(t)在t處的左右極限.另外其范數(shù)定義為‖φ‖τ=
定義1如果存在正常數(shù)T,c1,c2滿足c1 則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時間穩(wěn)定. 定義2如果存在正常數(shù)T,c1,c2,η,σ滿足η 則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時間漸近穩(wěn)定. 注1相較于文獻[21–22,25,27]的有限時間穩(wěn)定分析,本文綜合考慮了脈沖、時滯以及隨機噪聲的影響,使得所研究的系統(tǒng)(1)更具有一般性. 注2區(qū)別于Lyapunov穩(wěn)定,滿足有限時間穩(wěn)定的系統(tǒng)可能不會滿足Lyapunov穩(wěn)定,反之亦然.定義1描述了一個系統(tǒng)從給定的初始狀態(tài)開始運動,并且其狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)不超過指定的閾值.有限時間漸近穩(wěn)定在滿足有限時間穩(wěn)定的前提下,還需要在到達終止時刻之前將狀態(tài)變量收縮到小于初始狀態(tài)的范圍內(nèi). 在本節(jié)中,將利用Lyapunov-Razumikhin法建立脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)(1)的有限時間穩(wěn)定和有限時間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準則. 定理1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β為正常數(shù),γ ∈R,其中η 則稱系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時間漸近穩(wěn)定. 注3與文獻[17]相比,本文綜合考慮了鎮(zhèn)定型與反鎮(zhèn)定型兩種脈沖對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響. 證令x(t;t0,?)表示系統(tǒng)(1)在(t0,?)處的解,簡寫為x(t;t0,?)=x(t).令V(t,x)=V(t),且 EV(t)在t ∈[t0,T]內(nèi)是一個連續(xù)函數(shù).首先對于?t ∈[tl,tl+1),l=0,1,···,需驗證 在區(qū)間t ∈[t0-τ,T]內(nèi)定義 其中ε是足夠小的正數(shù).因此,證明式(2)只需證明 下面,將使用數(shù)學(xué)歸納法對式(3)進行證明. 步驟1首先將證明式(3)在t ∈[t0,t1)時成立.若t ∈[t0,t1)時,由于N(t,t0)=0,式(3)可以寫成 由?ε(t)的定義有 如果式(4)不成立,則存在t ∈[t0,t1)使得 定義t?=inf{t∈[t0,t1):?ε(t)>EV0}.由函數(shù)連續(xù)性可以看出 結(jié)合式(5)–(6)得出 然后對于?s ∈[-τ,0],有 結(jié)合條件ii)可知ELV(t?)<Γ(t?)EV(t?).由It?公式得到 這與式(7)相矛盾,因此式(3)在t ∈[t0,t1)內(nèi)成立. 步驟2假設(shè)式(3)在t ∈[tl,tl+1),l=1,2,···,k-1內(nèi)成立,然后需要證明式(3)在l=k時成立,即 結(jié)合條件iii),有 由反證法,如果式(8)不成立,則存在t ∈[tk,tk+1)內(nèi)使得 通過式(9)–(10)得到 上式等價于 情形1+s≥t0,則式(12)可以寫成 考慮脈沖序列{tk}k∈N的平均脈沖間隔等于Ta,得到 因此,對于?β>0,由式(14)–(15)可得 將式(16)代入到式(13)得到 情形2t0-τ≤+s≤t0.式(12)可以寫成 與式(16)類似的,可以得到 將式(19)代入式(18)得出 結(jié)合式(17)(20),并且令ε→0,則有 利用條件ii)有 這與式(11)相矛盾.因此式(8)成立.即式(3)在t ∈[tk,tk+1)時都成立.通過數(shù)學(xué)歸納,式(3)在t∈[t0,T]上成立.所以式(2)成立. 由條件i)可知 因此,如果E‖?‖p 再由平均脈沖區(qū)間的概念可知,如果β<1,有 由式(22)–(24)和條件v),得到 因此,系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時間穩(wěn)定.根據(jù)式(22),條件vi)和條件vii)推導(dǎo)出:如果β<1,則 如果β≥1,則 由式(26)–(27)表明 因此系統(tǒng)(1)是關(guān)于(c1,c2,η,T,σ)的p階矩有限時間漸近穩(wěn)定.證畢. 注4定理1中的條件ii)是Razumikhin型條件.條件iii)中利用函數(shù)ψ(t,s)處理時滯的影響.Γ(·):R+→R的取值范圍表明Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)˙V并非必須滿足負定或半負定.對比文獻[27]定理1的條件ii)要求D+V(t,x(t))<0,本文結(jié)論更具一般性.此外,結(jié)合本文定理1的條件iv)和條件v),若α1c2>α2c1,即在[t0,T]內(nèi)可能存在某些時刻使得Γ(·)>0;而條件vi)和條件vii)表明在[T-σ,T]內(nèi)必須有Γ(·)<0成立,從而保證系統(tǒng)的有限時間漸近穩(wěn)定. 注5定理1中,當脈沖強度β<1時,其對系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有鎮(zhèn)定作用,此時平均脈沖區(qū)間Ta內(nèi)發(fā)生的脈沖次數(shù)越多,越利于系統(tǒng)穩(wěn)定.而脈沖強度β>1對系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有反鎮(zhèn)定作用.其對系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的影響較小.但對于有限時間漸近穩(wěn)定而言,脈沖強度越大會使條件ii)中構(gòu)造的函數(shù)ψ(·)的保守性越高.另外從ψ(t,s)的表達式可知,β取值應(yīng)接近于1,以保證系統(tǒng)連續(xù)部分增長不會太快. 當系統(tǒng)(1)是不考慮脈沖影響的隨機泛函微分系統(tǒng) 參照定理1的證明過程,下面將直接給出該系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的結(jié)論. 推論1令c1,c2,η,σ,T,α1,α2,p,β為正常數(shù),γ ∈R,其中η 則稱系統(tǒng)(28)是關(guān)于(c1,c2,T)的p階矩有限時間穩(wěn)定.此外,如果存在常數(shù)<0使得 則稱系統(tǒng)(28)是關(guān)于(c1,c2,η,σ,T)的p階矩有限時間漸近穩(wěn)定. 例1考慮如下一個具有鎮(zhèn)定型脈沖的隨機時滯系統(tǒng): 構(gòu)建的脈沖區(qū)間如圖1所示,其中:Ta=0.4,?=0.2,N0=3.取函數(shù)V(t,x)=x2,α1=α2=1,并且Γ(t)=-0.02tcost2-5 cost2+0.013.由系統(tǒng)(29)的第2個等式可知β=0.81.因此 假設(shè)只考慮系統(tǒng)(29)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的有限時間穩(wěn)定,通過計算得到 即有EV(t+s)≤0.164EV(t).由It?公式可得 推導(dǎo)可得,t ∈[0,π]時 令c1=1,結(jié)合定理1的條件v)可知 則系統(tǒng)(29)是關(guān)于(1,1.88,π)的均方有限時間穩(wěn)定.取σ=0.5,則有 由定理1的條件vii)得 則系統(tǒng)(29)是關(guān)于(1,1.88,0.12,0.5,π)的均方有限時間漸近穩(wěn)定.系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如圖2所示. 圖2 例1系統(tǒng)均方狀態(tài)軌跡Fig.2 The mean square state trajectory of Example 1 注6由文獻[9–10,27]的數(shù)值例子可見,如何構(gòu)造輔助函數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵.相較于文獻[27]例1中直接令其為H(t)=1,本文例1中先假設(shè)出Γ(t)的最大值求解出式(31)的下確界,再通過It?公式以及不等式的放縮估算Γ(t).此方法雖有改進但同樣存在一定保守性. 例2考慮如下一個具有反鎮(zhèn)定型脈沖的隨機時滯系統(tǒng): 其中τ(t)=1-e-t.脈沖信號滿足式(30).令Ta=?=0.5,即tk-tk-1=0.5.取V(t,x)=x2,α1=α2=1,且顯然β=1.21.通過定理1以及仿照例1的證明可以得出E|x(t)|2<14,t ∈[0,3].再根據(jù)有限時間漸近穩(wěn)定的條件得到當σ=1.5 時,即t ∈[1.5,3],E|x(t)|2<6.系統(tǒng)在t ∈[0,3]內(nèi)的均方狀態(tài)軌跡如圖3所示.圖4是t ∈[0,10]內(nèi)系統(tǒng)的均方狀態(tài)軌跡表明系統(tǒng)(32)是有限時間穩(wěn)定以及有限時間漸近穩(wěn)定的,但不滿足Lyapunov穩(wěn)定. 圖3 例2系統(tǒng)t ∈[0,3]均方狀態(tài)軌跡Fig.3 The mean square state trajectory on t ∈[0,3]of Example 2 圖4 例2系統(tǒng)t ∈[0,10]均方狀態(tài)軌跡Fig.4 The mean square state trajectory on t ∈[0,10]of Example 2 本文研究了脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的p階矩有限時間穩(wěn)定以及有限時間漸近穩(wěn)定的相關(guān)準則.本文的重點是對時滯項的處理,即利用Razumikhin型條件,引入輔助函數(shù)來處理時滯的影響.通過脈沖控制和平均停留時間方法得到該系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件,并通過數(shù)值例子證明了結(jié)論的有效性.由于本文研究的系統(tǒng)時滯是有界的.因此接下來的研究方向可以是討論具有無窮時滯的脈沖隨機泛函微分系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定及其漸近穩(wěn)定問題.另一方面,本文研究的是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,對于研究結(jié)果也可以應(yīng)用于線性系統(tǒng).3 主要結(jié)果
4 數(shù)值例子
5 結(jié)論