張?zhí)┠?,雒志學,王汝軍

(1.蘭州交通大學環(huán)境與市政工程學院,甘肅蘭州 730070;2.蘭州交通大學數(shù)理學院,甘肅蘭州 730070;3.河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅張掖 734000)

1 引言

近年來,鼠害已成為惡化草地生態(tài)環(huán)境、遏制畜牧業(yè)可持續(xù)發(fā)展的生物災害.害鼠可以傳播多種病毒性和細菌性疾病,對人體健康造成直接危害,對生產(chǎn)經(jīng)濟活動造成巨大損失.鼠類繁殖次數(shù)多、孕期短、產(chǎn)仔率高,數(shù)量能在短期內(nèi)急劇增加.目前主要的防治方法有: 生物防治、化學防治、物理防治、生態(tài)防治.此外,不育控制是國際上興起的控制害鼠新技術(shù)之一,主要通過減少繁殖以控制其數(shù)量.這種技術(shù)比傳統(tǒng)的治理方法更能達到防治的目的,還具有操作安全和不易對環(huán)境造成污染等特點.于是,利用不育技術(shù)防治害鼠引起不少學者的關(guān)注[1–3].

個體尺度是描述種群動力學行為的重要參數(shù)之一,例如,要描述植物或魚類的動力學行為,個體尺度比年齡更好地模擬種群演化.種群的擴散與其空間分布密度息息相關(guān),諸多學者對具有擴散的年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的最優(yōu)控制進行了研究,取得了較為豐富的成果[4–11],其中,專著[4]研究具有擴散的線性和非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,且非線性系統(tǒng)更貼近實際狀況.文獻[7]討論了依賴年齡和空間擴散的n維食物鏈模型的最優(yōu)收獲策略.另一方面,對于尺度結(jié)構(gòu)的種群系統(tǒng),目前對擴散的情形研究較少,這里簡介近年幾項研究成果.文獻[12]首次提出具有空間擴散的線性尺度結(jié)構(gòu)種群模型.文獻[13]研究一類具有空間擴散和尺度結(jié)構(gòu)競爭種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題.受上述工作的啟發(fā),本文考慮如下的最優(yōu)化問題:

的解;控制變量α ∈U={h ∈L2(Q3);0 ≤h(s,t)≤La.e.(s,t)∈Q3},這里L>0表示害鼠個體誤食雌性不育劑的最大量.? ?Rn(n=1,2,3)是一個具有充分光滑邊界??的非空有界區(qū)域,v是??處的外法單位向量.Q=(0,l)×(0,T)×?,Σ=(0,l)×(0,T)×??,Q1=(0,T)×?,Q2=(0,l)×?,Q3=(0,l)×(0,T).p(s,t,x)表示害鼠位于x處在t時刻尺度為s的個體密度;k表示害鼠在?內(nèi)的擴散率;g(s,t)表示害鼠個體尺度的增長率;β(s,t)表示個體的出生率;m(s,t)表示雌性個體比例;P(t,x)表示t時刻在空間x處害鼠的總數(shù)量;α(s,t)表示害鼠個體誤食雌性不育劑的平均量,δ2α(s,t)表示雌性個體的不育率.可分離死亡率μ的結(jié)構(gòu)為

其中:μ0(s,t)表示個體的自然死亡率;μ1(P(t,x))表示個體因種內(nèi)競爭導致的額外死亡率;δ1α(s,t)表示個體因誤食不育劑導致的額外死亡率.

本文做如下基本假設:

3)g(s,t)是有界的連續(xù)函數(shù),且關(guān)于s滿足局部利普希茨條件.對任意(s,t)∈Q3,g(s,t)>0,且對任意t ∈[0,T],有g(shù)(l,t)=0,g(0,t)=1;

4)u0∈L2(0,l),u0(s) ≥0 a.e.s ∈(0,l),q0∈L2(?),q0(x)≥0 a.e.x ∈?;

5)0 ≤δiα(s,t)<1,0

6)g1:R→R+是非負連續(xù)凸函數(shù),且有界.

2 狀態(tài)系統(tǒng)的適定性

狀態(tài)系統(tǒng)(2)屬于“可分離”模型類,定義可分離形式解為

其中:u(s,t)是下列線性系統(tǒng)(3)的解

q(t,x)是下列非線性系統(tǒng)(4)的解

定義1初值問題s′(t)=g(s,t),s(t0)=s0的唯一解s=φ(t;t0,s0,x0)稱為系 統(tǒng)(2)通過點(t0,s0,x0)的特征曲線.特別地,記z(t)=φ(t;0,0,x0)為系統(tǒng)(2)過點(0,0,x0)的特征曲線.

定義2若函數(shù)p ∈L2(Q)沿著每條特征曲線φ都絕對連續(xù),且滿足

則稱p為系統(tǒng)(2)的解.這里Dφp(s,t,x)表示p沿特征曲線φ的方向?qū)?shù),即

定理1對任意的α ∈U,則子系統(tǒng)(3)–(4)有唯一的非負有界解(u(s,t),q(t,x)).

證首先證明系統(tǒng)(3)有唯一的非負有界解.不失一般性,假設α(s,t)≡0.對于系統(tǒng)(3),在sot平面上任意固定點(s,t),當s≤z(t)時,定義其初始時刻τ=τ(s,t),則φ(t;τ,0)=s ?φ(τ;t,s)=0.當s>z(t)時,定義其初始尺度η=η(s,t),類似的有φ(t;0,η)=s ?φ(0;t,s)=η.從而利用特征曲線法,系統(tǒng)(3)的解可寫為

其 中:τ=t-z-1(s),T>z-1(l).當T≤z-1(l)時同法處理.

令b(t)=g(0,t)u(0,t),則

則b(t)滿足如下積分方程:

由假設知,K(t,z(δ);α)≥0,Fα(t)≥0 且Fα(t)∈L∞(0,T),K(t,z(δ);α)∈L∞(Q3).

對式(6)做積分變換,得到

對任意的α∈U,定義算子Aα:L∞(0,T)→L∞(0,T),則

在空間L∞(0,T)上定義等價范數(shù)如下:

對于任意的ρ1,ρ2∈L∞(0,T)有

當λ>‖K‖L∞(Q3)時,Aα為(L∞(0,T),‖·‖)上的壓縮算子.根據(jù)Banach不動點定理知,算子Aα有唯一的不動點,即式(6)有唯一解b(t)∈L∞(0,T).

進一步,根據(jù)Banach不動點定理,式(6)的解是如下迭代序列的極限:

由K(t,z(δ);α) ≥0 a.e.(z(δ),t)∈Q3,Fα(t) ≥0 a.e.t ∈(0,T),則bn≥0,其極限b(t)≥0.因此對任意的α ∈U,系統(tǒng)(3)有唯一非負解uα ∈L∞(Q3).

由式(5)可得

根據(jù)Bellman引理,得到

接下來證明系統(tǒng)(4)有唯一的非負有界解.對任意的y ∈L2(Q1;R+),考慮如下系統(tǒng):

由定理4.1.3[4]知,式(7)有唯一非負解qy ∈L2(Q1;R+).根據(jù)比較原理知,qy(t,x)≤(t,x),其中(t,x)為系統(tǒng)(4)相應于μ1=0的解.

對任意的(y1,y2)∈L2(Q1;),其相應的解為(q1,q2).令w=q1-q2,則w滿足下列系統(tǒng):

在系統(tǒng)(8)中的第一式兩端同乘以w(t,x)并在Q1上積分,可得

由Bellman引理,得到

由式(9)可得

因此,映射F是空間(B,‖·‖?)上的壓縮映射.根據(jù)Bana ch不動點定理知,映射F存在唯一的不動點.即q(t,x)為系統(tǒng)(4)的唯一解.令M1=Ess sup|(t,x)|,則有0≤q(t,x)≤M1a.e.(t,x)∈Q1.綜合以上分析,子系統(tǒng)(3)–(4)有唯一的非負有界解(u(s,t),q(t,x)).

證畢.

3 最優(yōu)策略的存在性

定理2最優(yōu)控制問題(1)至少存在一個最優(yōu)解.

由式(12)得

對系統(tǒng)(14)取極限,得到系統(tǒng)(2)對應于α?的解p?,即p?=pα?.由式(10)知

另一方面,由假設(A6)以及式(11)(13)可得

4 最優(yōu)性條件

定理3若(α?,pα?)是最優(yōu)控制問題(1)的最優(yōu)對,pα?是系統(tǒng)(2)相應于α?的解,則最優(yōu)策略α?有如下結(jié)構(gòu):

其中ξ(s,t,x)為下列共軛系統(tǒng)(16)的解:

證對任意ν ∈TU(α?)(集合U在α?處的切錐),當ε>0充分小時,有αε:=α?+εν.令pαε為系統(tǒng)(2)相應于α=αε的解.由α?的最優(yōu)性知

將式(17)兩邊同時除以ε,并令ε →0+可得

在系統(tǒng)(19)的第1式兩邊同乘以ξ(s,t,x),然后在區(qū)域Q上積分,得到

將式(20)代入式(18)有

從 而[δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)-1]×pα?(s,t,x)∈NU(α?)(表示U在α?處的法錐),再利用法錐性質(zhì)[14],結(jié)論成立.證畢.

5 數(shù)值模擬

圖1 自然出生率Fig.1 Natural fertility

圖2 自然死亡率Fig.2 Natural mortality

圖3 系統(tǒng)(3)的數(shù)值解Fig.3 The numerical solution of system(3)

圖4 系統(tǒng)(4)的數(shù)值解Fig.4 The numerical solution of system(4)

對于自然出生率和死亡率的變化趨勢,由圖1–2可知,當害鼠達到中等尺度時其出生率最高,當尺度達到其最大或者最小時其死亡率最高,這符合實際情形,因此參數(shù)β(s,t)和μ0(s,t)的選取合理.在模擬過程中還發(fā)現(xiàn),隨著時間的增加,β(s,t)和μ0(s,t)呈現(xiàn)周期性變化.

6 結(jié)論

系統(tǒng)(2)的解關(guān)于尺度和空間位置可分離,在一組并不苛刻的假設條件下,定理1表明存在唯一的非負有界解.接著,第3節(jié)和第4節(jié)分別給出了最優(yōu)策略的存在性和必要性條件.最后,通過數(shù)值模擬主要驗證了第2節(jié)理論結(jié)果的正確性.在實際應用時,結(jié)合狀態(tài)系統(tǒng)(2)和共軛系統(tǒng)(16)計算出最優(yōu)狀態(tài)、最優(yōu)指標和J(α?).由定理3得到以下結(jié)論:當δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)<1時,即害鼠的有效繁殖率較低時,不需要投放雌性不育劑;當δ2β(s,t)m(s,t)ξ(0,t,x)+δ1ξ(s,t,x)>1時,即害鼠的有效繁殖率較高時,對害鼠種群進行干預控制其出生率,需要投放雌性不育劑,且投放量L為最優(yōu).

容易驗證,當g(s,t)≡1,?(s,t)∈Q3時,本文討論的內(nèi)容即為具有擴散的年齡結(jié)構(gòu)種群系統(tǒng)的相應結(jié)果.