呂增鋒|浙江省象山縣第二中學(xué)

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)是學(xué)生在備戰(zhàn)高考中必須經(jīng)歷的重要階段之一，它是在第一輪復(fù)習(xí)對高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理的基礎(chǔ)上，全面開展的專題性復(fù)習(xí).與第一輪復(fù)習(xí)相比，第二輪復(fù)習(xí)有兩個(gè)特色：關(guān)注重點(diǎn)、難點(diǎn)和易混淆點(diǎn)，重在對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深化和細(xì)化；注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，對已掌握的知識(shí)進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練和鞏固，重在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和應(yīng)對考試的信心.第二輪復(fù)習(xí)的目的是進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)體系與結(jié)構(gòu)，不斷總結(jié)破解數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和技巧方法，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

一、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵及其在數(shù)學(xué)解題中的作用

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是將數(shù)學(xué)的核心知識(shí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想方法形成縱向的聯(lián)結(jié)，并且在橫向?qū)哟紊辖Y(jié)合一般數(shù)學(xué)能力的一種綜合能力.從心理學(xué)角度分析，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力指的是學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動(dòng)的展開，在所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)的鋪墊下，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題的心理特征.《中國高考評價(jià)體系》從考試評價(jià)的視角把關(guān)鍵能力概括為三個(gè)能力群，即知識(shí)獲取能力群、實(shí)踐操作能力群和思維認(rèn)知能力群。它可以進(jìn)一步具化為：邏輯思維能力、抽象思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力［1］.

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力在數(shù)學(xué)解題中扮演著非常重要的角色.解題的第一步是分析問題，這就要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠把復(fù)雜的問題拆分成簡單的問題，能夠快速建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而為問題的正式解決做好準(zhǔn)備.在解題過程中，學(xué)生要能夠根據(jù)已知信息和問題要求，從多個(gè)方面思考分析，并及時(shí)調(diào)整自己的解題思路，合理選擇解題方法.同時(shí)，解題需要進(jìn)行大量的計(jì)算，學(xué)生不僅需要具備運(yùn)算求解能力，而且必須快速、準(zhǔn)確，并能夠判斷計(jì)算結(jié)果的正確性.因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力對于能否成功解題至關(guān)重要.

二、指向數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力發(fā)展的第二輪復(fù)習(xí)的思路

第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)須借助多方面的教學(xué)資源和技術(shù)手段，幫助學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.下面，筆者以“二面角”為例，談?wù)劸唧w的做法.

（一）在診斷中明確學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的短板

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)做到有的放矢，要實(shí)現(xiàn)這一目的，關(guān)鍵是教師能充分掌握學(xué)生的“前見”，即學(xué)生在新課學(xué)習(xí)之前已經(jīng)獲得的知識(shí)、技能和經(jīng)驗(yàn).這些前期獲取的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)可以對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生重要的影響和作用［2］.數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)也應(yīng)如此，首先應(yīng)該對學(xué)生的“前見”進(jìn)行全面分析，了解學(xué)生對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的掌握情況.診斷學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的方法和手段，一般有測驗(yàn)、觀察記錄、學(xué)生自我評價(jià)、同伴評價(jià)等幾種.

筆者先用2021 與2022 年新高考全國I 卷與II卷中“二面角”的真題對學(xué)生進(jìn)行了檢測，并對測驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)全班45人中，35人選擇用向量法，正確率為43%，10人選擇用幾何法，正確率為30%.這表明，多數(shù)學(xué)生選擇用向量法，并且做對的情況要好于用幾何法.接著，筆者從數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的視角對學(xué)生主要錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析（如表1所示）.

不難發(fā)現(xiàn)，在求二面角的過程中，學(xué)生在邏輯思維能力、空間想象能力、創(chuàng)新能力的表現(xiàn)上存在較大不足，這些不足需要通過后續(xù)的學(xué)習(xí)加以提升，同時(shí)這也為第二輪復(fù)習(xí)明確了方向與任務(wù).

（二）在展示中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的不足

學(xué)生雖然知道自己解題出錯(cuò)了，但對錯(cuò)誤是怎么發(fā)生的、有什么共同的特征、涉及哪些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力等一系列問題，還是一頭霧水.這就需要從加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)自我認(rèn)知入手.數(shù)學(xué)自我認(rèn)知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要因素之一，對學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、學(xué)習(xí)效果等都有巨大的影響.

展示典型的錯(cuò)誤與優(yōu)秀解法是學(xué)生開展數(shù)學(xué)自我認(rèn)知的最佳途徑.筆者先挑選一些解法錯(cuò)誤或答題不規(guī)范的案例，投影在屏幕上，采用學(xué)生互評的形式，讓學(xué)生找錯(cuò)誤、析錯(cuò)因、糾錯(cuò)法.通過深入地分析錯(cuò)誤的原因和表現(xiàn)方式，學(xué)生可以更好地理解錯(cuò)誤的本質(zhì)，進(jìn)而糾正錯(cuò)誤.同時(shí)，這也有助于學(xué)生強(qiáng)化正確的解題思路，從而讓錯(cuò)誤成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和深入思考的催化劑.接著，筆者呈現(xiàn)優(yōu)秀的解題案例，同樣采用學(xué)生互評的方式，讓學(xué)生找亮點(diǎn)、說感受、提建議，在幫助學(xué)生樹立解題規(guī)范的同時(shí)，引發(fā)學(xué)生思維的碰撞與情感的共鳴.通過對比展示，學(xué)生能夠領(lǐng)悟到優(yōu)秀的數(shù)學(xué)解題所具備的三大特征，即“清晰的思路、簡潔的過程、優(yōu)化的算法”，而要做到這些，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力起到了決定性的作用.

（三）在關(guān)聯(lián)中讓學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力得到強(qiáng)化

將問題中的各個(gè)部分聯(lián)系起來，從整體的角度來研究問題，可使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)具有更高的思維能力和處理能力，這就是整體關(guān)聯(lián)思想.在數(shù)學(xué)解題中的具體做法是：既要考慮知識(shí)前后的關(guān)聯(lián)性，又要分析數(shù)學(xué)思想方法之間的關(guān)聯(lián)性，還要兼顧學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)性；然后在充分認(rèn)識(shí)關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上，整合各種解題技巧，從而創(chuàng)造出更好的解題方案.在建立關(guān)聯(lián)性的過程中，學(xué)生不僅能夠更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和應(yīng)用場景，而且可以形成更廣泛、更深層的數(shù)學(xué)思維，從而進(jìn)一步強(qiáng)化個(gè)人已有的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

例題：（2022年新高考全國I卷第19題）如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4，△A1BC的面積為

圖1

（1）求A到平面A1BC的距離；

（2）設(shè)D 為A1C 的中點(diǎn)，AA1=AB，平面A1BC ⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C 的正弦值．

對于上述“二面角”問題，學(xué)生想到以下一些方法.

定義法1：直接作二面角ABD-C 的平面角.易證 △ABD 與△CBD 全等，過A 點(diǎn)在面ABD 上作AF⊥BD，連接C、F，則∠AFC 就是二面角A-BD-C 的平面角，用余弦定理求出cos∠AFC.

定義法2：利用三垂線定理作出二面角A-BD-C 的平面角.過A 點(diǎn)在面AA1B 上作AE⊥A1B，垂足為E，易證AE⊥面A1BC；過E 點(diǎn)在面A1BC 上作EF⊥BD，垂足為F；連接A、F，由三垂線定理得AF⊥BD，則∠AFE就是二面角A-BD-C 的平面角的補(bǔ)角，在直角三角形AFE中求出sin∠AFE.

射影面積法：利用公式在“定義法2”中，可知△BDE 是△ABD 在面A1BC的射影，則其 中θ 與 二 面 角A-BD-C 平面角互補(bǔ).

上述方法都是從幾何法衍生出來的，當(dāng)然，向量法也可以衍生出很多方法，例如，基底法、坐標(biāo)法等.但單純的方法羅列遠(yuǎn)不足以提升學(xué)生的解題水平，學(xué)生還需對這些方法進(jìn)行關(guān)聯(lián)性思考，比如，方法之間有什么聯(lián)系，是如何想到的，不同的方法表現(xiàn)出怎樣的優(yōu)勢等，由此激發(fā)學(xué)生的深度思考，進(jìn)而對學(xué)生在求二面角中所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力來一次大的梳理與強(qiáng)化.筆者通過讓學(xué)生畫思維導(dǎo)圖的方式來實(shí)現(xiàn)這一目的，學(xué)生所畫的思維導(dǎo)圖進(jìn)行整合后的成果如圖2所示.

（四）在微專題教學(xué)中讓學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力再生長

在數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)中，微專題教學(xué)可以很好地彌補(bǔ)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的短板.微專題指圍繞重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)的，利用具有緊密相關(guān)性的知識(shí)或方法形成的專項(xiàng)研究，或者結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)整合的，能夠在短時(shí)間內(nèi)專門解決的問題集.通常把以微專題為載體的“小切口”教學(xué)稱為微專題教學(xué)，與一般專題教學(xué)相比，它具有“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”等優(yōu)點(diǎn)［3］.通過前面的診斷，教師已經(jīng)充分了解了學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的薄弱面，圍繞薄弱面來設(shè)計(jì)微專題可以確保選題的精準(zhǔn).比如，針對“創(chuàng)新能力”的不足，筆者設(shè)計(jì)“借助多種視角求二面角為主題”的微專題，主要由“一道例題+一個(gè)變式+若干道練習(xí)”組成.

例題：如圖3，平行六面體ABCDA1B1C1D1，棱長都為2，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=600，求平面C1BD與平面BDD1B1所成角的余弦值.

圖3

相對于直棱柱，斜棱柱模型更適合作為發(fā)展學(xué)生空間想象能力的載體，因?yàn)樾崩庵鶝]有現(xiàn)成的可以作為空間建系的垂直關(guān)系，這就需要學(xué)生對空間位置關(guān)系進(jìn)行深入的觀察與挖掘，由此可引發(fā)對解題思路的新思考.在教學(xué)過程中，除了常規(guī)的“直接作二面角的平面角”與“坐標(biāo)法”外，學(xué)生還想到了“角的轉(zhuǎn)化”，即把二面角的平面角進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，并利用“基底法”求出結(jié)果.

這道例題打開了求二面角的新視角，對學(xué)生而言，實(shí)現(xiàn)了從“直接求角”走向“間接求角”的躍遷，從而為運(yùn)算的簡化提供了新的可能.為了進(jìn)一步強(qiáng)化這種求角的意識(shí)，筆者在原題基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了變式.

變式：平行六面體ABCD-A1B1C1D1，CC1＝4，CD＝2，CB＝3，∠C1CB=30°,∠C1CD=45°，∠BCD=60°，求平面C1BD 與平面BDD1B1所成角的余弦值.

對于變式，解題思路不變，但運(yùn)算量增加了，這有助于進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生運(yùn)算求解的能力.最后，筆者設(shè)計(jì)對應(yīng)的習(xí)題，讓學(xué)生經(jīng)歷更多類型的“角的轉(zhuǎn)化”，比如，把二面角的平面角轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的余角、補(bǔ)角等，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力得到持續(xù)的拓展.

綜上，高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)一直面臨著諸多問題，如：重視題型教學(xué)，忽視思維暴露；重視技巧方法，忽視數(shù)學(xué)思想；重視教學(xué)進(jìn)度，忽視認(rèn)知基礎(chǔ)；過度練習(xí)，節(jié)奏錯(cuò)亂；被動(dòng)性學(xué)習(xí)，機(jī)械訓(xùn)練.這主要是因?yàn)閺?fù)習(xí)目標(biāo)定位出現(xiàn)了偏差，沒有把高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)指向發(fā)展學(xué)生的關(guān)鍵能力.也就是說，超越高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)困境的路徑，根本在于復(fù)習(xí)目標(biāo)的轉(zhuǎn)變，教師要以發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力為導(dǎo)向，通過對復(fù)習(xí)內(nèi)容的整合與重構(gòu)，讓復(fù)習(xí)教學(xué)處于辯證發(fā)展和持續(xù)優(yōu)化之中.