? 濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 穎 李曉娜

數(shù)學(xué)學(xué)科是歷史上最悠久的學(xué)科之一,從古代的結(jié)繩計(jì)數(shù)到如今電子計(jì)算機(jī)的快速運(yùn)算,從丈量田畝的唯一用途到如今滲透到各學(xué)科的廣泛理論,大量數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的出現(xiàn)與發(fā)展,構(gòu)成了絢麗多彩的數(shù)學(xué)史.只有深入了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史才能更加全面地認(rèn)識(shí)這門學(xué)科,才能更加透徹地厘清人類文明的發(fā)展史.

融合可以解釋為兩個(gè)不同的系統(tǒng)(群體)在經(jīng)過一定的摩擦碰撞后融為一體,融合后二者會(huì)相互影響、相互促進(jìn).數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合,就是指在一定的教育目標(biāo)的指引下,將數(shù)學(xué)史合理地滲透到數(shù)學(xué)課堂中,更容易幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)思想方法等.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的有機(jī)融合要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)進(jìn)行,融合后會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)科固有的特征.如促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等,幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)獨(dú)有的思想方法,提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

1 數(shù)學(xué)史與教學(xué)有機(jī)融合的意義

陳省身先生曾經(jīng)說過:“了解歷史的變化,是了解這門科學(xué)的一個(gè)步驟.”數(shù)學(xué)史為數(shù)學(xué)研究者、數(shù)學(xué)教師提供了邁向更高思維層次的階梯.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)史,既能豐富課堂的文化內(nèi)涵,又能提高學(xué)生的歷史涵養(yǎng),因此全面了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的價(jià)值是必要的.

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師,不僅要掌握詳細(xì)、全面的學(xué)科知識(shí)、教育學(xué)知識(shí),還要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展背景、歷程,數(shù)學(xué)思想方法的形成、演變、發(fā)展過程等.數(shù)學(xué)涉及到的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是人類數(shù)千年思考與積累的結(jié)晶,數(shù)學(xué)中每一條定理、公理的出現(xiàn)在一定程度上都與社會(huì)生產(chǎn)生活密切相關(guān).教師只有深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)的起源、發(fā)展,才能將“活”的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生,加速學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,提高課堂教學(xué)效率.

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合,不僅能革新教師本身的知識(shí)體系、更新知識(shí)觀和教學(xué)觀,還能有效指導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、修正、再發(fā)展的文化脈絡(luò),體會(huì)數(shù)學(xué)在人類歷史發(fā)展進(jìn)程中的重要作用.

2 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的策略

2.1 教師方面

數(shù)學(xué)史是每一位數(shù)學(xué)教師的必備知識(shí),因此,如何提高數(shù)學(xué)史素養(yǎng)是教師值得深入思考的問題.結(jié)合文獻(xiàn)閱讀與思考,筆者認(rèn)為可采取以下措施:

(1)積極主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史知識(shí),提升數(shù)學(xué)史素養(yǎng)

數(shù)學(xué)史素質(zhì)的提升離不開數(shù)學(xué)史知識(shí)的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)與補(bǔ)充、數(shù)學(xué)史應(yīng)用能力的提升.教師在教學(xué)外的閑暇時(shí)間有意多讀一些數(shù)學(xué)史方面的著作與文章雜志;隨著信息時(shí)代的發(fā)現(xiàn),無紙化閱讀、短視頻講解逐漸成為常態(tài),因此還可以利用微信公眾號(hào)、視頻號(hào)等學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)史方面的知識(shí).另外,調(diào)整好學(xué)習(xí)心態(tài),學(xué)會(huì)利用碎片化時(shí)間去吸收一些短小精悍的數(shù)學(xué)史知識(shí).

(2)總結(jié)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的案例,創(chuàng)建教學(xué)資源庫

親自設(shè)計(jì)完整的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的案例,能快速提升教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng).但現(xiàn)實(shí)是殘酷的,一些數(shù)學(xué)教師并沒有積累足夠多的數(shù)學(xué)史知識(shí),加上平時(shí)教學(xué)任務(wù)繁重,沒有足夠多的時(shí)間設(shè)計(jì)并實(shí)踐一個(gè)完整數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的案例.因此,教師在教學(xué)過程中需多注意收集數(shù)學(xué)史知識(shí),并總結(jié)數(shù)學(xué)史知識(shí)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例,使之形成一個(gè)較為完整且有待補(bǔ)充的教學(xué)資源庫.若將每個(gè)教師總結(jié)的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源庫匯總起來,就會(huì)形成一個(gè)容量大、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源總庫.因此,如何迅速設(shè)計(jì)出融合數(shù)學(xué)史知識(shí)的教學(xué)案例,并有意識(shí)地總結(jié)、歸納使之整理形成一個(gè)資源庫是各位一線教師以及研究者們值得深入思考的問題.

通過查閱、閱讀、分析文獻(xiàn)可知,關(guān)于案例庫建設(shè)的研究約五成集中于高等教育,且多應(yīng)用于醫(yī)學(xué);僅有4%的研究集中于中學(xué)教育,且多用于政治、英語與漢語言.關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)資源庫建設(shè)的研究較少,關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫建設(shè)的研究更需投入大量時(shí)間與精力.

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫的建設(shè)主要采用一個(gè)個(gè)有教學(xué)意義與育人意義的真實(shí)教學(xué)片段,要求既包含完整的教學(xué)對(duì)話,又包含案例的思考與補(bǔ)充.案例庫素材的來源廣泛,包含各級(jí)各類一線教師親身經(jīng)歷的教學(xué)案例、重點(diǎn)教育期刊中的案例、網(wǎng)絡(luò)檢索得到的案例.案例入庫時(shí),內(nèi)容要做到完整準(zhǔn)確,格式要做到規(guī)范統(tǒng)一,并設(shè)置一定的編號(hào),便于后續(xù)檢索與修改[1].

例如,初一數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合案例庫的建設(shè)可以按照如下方式進(jìn)行:①按課本知識(shí)順序編號(hào)(順序與課本知識(shí)內(nèi)容順序一致,便于快速檢索),如北師大版七年級(jí)下冊(cè)2.1有理數(shù)——湯斯達(dá)故事;②按數(shù)學(xué)史內(nèi)容編號(hào)(該方式以數(shù)學(xué)史為線索提升教師的發(fā)散思維),如割補(bǔ)法——完全平方公式/勾股定理.

(3)積極參與并嘗試開展有關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的培訓(xùn)或者課題研究項(xiàng)目

教師專業(yè)素質(zhì)的提升離不開繼續(xù)教育和開展課題研究.有一些學(xué)校會(huì)進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)的培訓(xùn),要求教師積極參與并整理資料、總結(jié)經(jīng)驗(yàn).但是,部分學(xué)校并沒有意識(shí)到開展數(shù)學(xué)史培訓(xùn)的重要性.教師可通過深入了解數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的價(jià)值,勇于提出自己的想法,積極申請(qǐng)有關(guān)數(shù)學(xué)史的課題研究項(xiàng)目.做好該項(xiàng)工作需做到:閱讀、整理、提供大量經(jīng)典的數(shù)學(xué)史資料;把握最新發(fā)展方向并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐給出研究主題;制定合理規(guī)范的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn);撰寫完整的項(xiàng)目申請(qǐng)書.

2.2 教學(xué)方面

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的最佳途徑是課堂教學(xué),具體來說就是將與課堂知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)融入到課堂中.將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂要注意合理利用,不是為了講歷史故事而引入,而是追求歷史故事與數(shù)學(xué)知識(shí)的契合.用歷史故事解釋現(xiàn)實(shí)知識(shí),重現(xiàn)歷史知識(shí)的發(fā)展與演變,為數(shù)學(xué)知識(shí)注入生命力,使數(shù)學(xué)概念、定理等通俗易懂,開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合從宏觀上可分為直接融合法和間接融合法,下面展開詳細(xì)介紹.

(1)直接融合法

直接融合法是指將數(shù)學(xué)史直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前,為學(xué)生提供生動(dòng)的數(shù)學(xué)史材料.如通過以下方式將數(shù)學(xué)史直接融入課堂:

①介紹定理的發(fā)展過程.將多元的數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)發(fā)展史引入數(shù)學(xué)課堂中,首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞多樣的數(shù)學(xué)文化,其次鼓勵(lì)學(xué)生從多方面考慮問題,最后借助數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂碰撞產(chǎn)生的奇妙火花,促進(jìn)學(xué)生發(fā)展多元思維和創(chuàng)造性思維.豐富多彩的數(shù)學(xué)發(fā)展史會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到,在不同文化的孕育下會(huì)產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)而認(rèn)識(shí)到文化的多元性導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的多元化.

例如,勾股定理的證明可以追溯到我國數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖證明法、古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的演繹法.通過歷史故事的講解,一方面加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,另一方面向?qū)W生展示數(shù)學(xué)的無窮魅力,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

②介紹歷史上各種名題、悖論.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中常常會(huì)出現(xiàn)類似于題海戰(zhàn)術(shù)的機(jī)械訓(xùn)練,耗盡了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的濃烈興趣,導(dǎo)致部分學(xué)生談數(shù)學(xué)色變,更不敢嘗試學(xué)好數(shù)學(xué).著名教育心理學(xué)家布魯納認(rèn)為對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生興趣是引起學(xué)生注意的最佳刺激.如果教師在教學(xué)中有意引入一些內(nèi)涵豐富、生動(dòng)形象的教學(xué)材料,如數(shù)學(xué)史知識(shí),能大大提升數(shù)學(xué)課堂對(duì)學(xué)生的吸引力,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心,從根本上改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度.

例如,用尺規(guī)法無法完成的三大作圖難題、歐拉用一筆畫方法解決的哥尼斯堡七橋問題、引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的貝克萊發(fā)難、引發(fā)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的羅素悖論等.讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到:問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的心臟.每一個(gè)難題、每一個(gè)悖論的提出都是對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的一次挑戰(zhàn),需要數(shù)學(xué)家在原有的理論基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)或者創(chuàng)造出能解決難題的理論或方法,從而促進(jìn)數(shù)學(xué)理論的不斷完善,推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展.

(2)間接融合法

間接融合法不明確地講歷史,而是以歷史為線索展開教學(xué),用歷史上總結(jié)出來的思想方法來啟示教學(xué).該方法以歷史為背景、以數(shù)學(xué)家的角度、數(shù)學(xué)史的思想為依托讓學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)證明過程,使學(xué)生的思維得到質(zhì)的飛躍.

例如,在研究三角形的內(nèi)角和定理時(shí),在課堂中首先要求學(xué)生在提前準(zhǔn)備好的空白紙上用鉛筆和直尺畫出多個(gè)任意形狀的三角形,鍛煉學(xué)生動(dòng)手能力,鼓勵(lì)學(xué)生用量角器量出已畫出三角形所有內(nèi)角的大小,再自己探索三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的數(shù)量關(guān)系并展開小組討論.學(xué)生會(huì)陸續(xù)得出結(jié)論:三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和是180°.得到此結(jié)論后,拋磚引玉,提出問題:任意三角形的內(nèi)角和都是180°嗎?大多數(shù)學(xué)生很快給出他們猜想的答案,并給出肯定的回答.接下來,引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想,在驗(yàn)證的過程中讓學(xué)生學(xué)會(huì)推理論證等證明方法.通過教師的引導(dǎo),學(xué)生動(dòng)手在畫出的三角形中作平行線,借助平行線定理并利用等量代換驗(yàn)證先前的猜想是正確的.回顧整個(gè)驗(yàn)證的過程,實(shí)際上是讓學(xué)生自己經(jīng)歷歸納結(jié)論、猜想結(jié)論、演繹結(jié)論的完整過程.

數(shù)學(xué)致力于研究現(xiàn)實(shí)世界抽象出的數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡(jiǎn)言之,數(shù)學(xué)致力于研究數(shù)與形的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中常用且重要的一種思想方法,源于數(shù)與形之間的密切聯(lián)系與相互影響.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有著深刻的理解:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休.”這首詩將數(shù)與形之間的微妙關(guān)系展現(xiàn)得淋漓盡致.數(shù)形結(jié)合思想可以理解為將嚴(yán)謹(jǐn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀明確的幾何圖形融為一體,以形助數(shù)、以數(shù)釋形.

例如,在學(xué)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”這節(jié)課時(shí),設(shè)計(jì)如下活動(dòng):根據(jù)給定坐標(biāo),繪出適宜的圖形;根據(jù)給定圖形,寫出準(zhǔn)確的點(diǎn)的坐標(biāo).在學(xué)習(xí)的過程中向?qū)W生介紹笛卡兒坐標(biāo)系以及笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻(xiàn),以達(dá)到加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想理解的目的,同時(shí)提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,增強(qiáng)學(xué)生的共情能力[2].

間接融合法對(duì)教師的要求很高,需要教師了解所學(xué)主題背后的歷史,理解知識(shí)點(diǎn)發(fā)展過程中的關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn),重構(gòu)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展環(huán)節(jié),使之與課堂教學(xué)契合.但是,無論何種引入方式都要注意立足于學(xué)生的實(shí)際情況[3].

2.3 學(xué)生方面

教育的宗旨是培養(yǎng)人.要更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史與課堂教學(xué)相融合,必須將落腳點(diǎn)放在學(xué)生本身,換句話說,教學(xué)要基于學(xué)生.但是教學(xué)仍需超越學(xué)生、讀懂學(xué)生、尊重學(xué)生,數(shù)學(xué)史的選擇與組織要符合學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律、認(rèn)知水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)[4].

教師可從以下三方面定位學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn):(1)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn),換言之,關(guān)注學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握程度及對(duì)將要學(xué)習(xí)知識(shí)的了解程度;(2)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的困難點(diǎn),有針對(duì)性地設(shè)置一堂課的重點(diǎn)教學(xué)環(huán)節(jié);(3)關(guān)注學(xué)生的頓悟點(diǎn),預(yù)設(shè)合適的教學(xué)環(huán)節(jié),思考如何才能最大程度地啟發(fā)學(xué)生[5].

例如,“一次函數(shù)”第1課時(shí)引入環(huán)節(jié)中,介紹李善蘭(中國數(shù)學(xué)家)著作的發(fā)展歷程,了解函數(shù)二字的由來、意義,加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念、表示方法的理解.該設(shè)計(jì)既銜接了學(xué)生已掌握的知識(shí)、擴(kuò)展了“函數(shù)”的內(nèi)涵與外延,又契合了本堂課教學(xué)的重難點(diǎn).數(shù)學(xué)史與教學(xué)過程的融合離不開學(xué)生本身的體驗(yàn)與思考,如何落實(shí)以生為基、以史立人、研史促育,值得各位一線教師深入思考.

3 反思與展望

隨著素質(zhì)教育的提出,數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合受到越來越多的關(guān)注,國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教育家發(fā)表了許多關(guān)于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的論文,但是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的具體教學(xué)案例不多,且沒有形成系統(tǒng)的案例庫.因此,需要教師結(jié)合數(shù)學(xué)史開展具體的教學(xué)設(shè)計(jì),并在實(shí)踐中不斷修改與完善.