劉岳　歐陽英圖　葉雯

摘 要：加速壽命試驗是利用加速應力水平下的壽命特征去外推評估正常應力水平下的壽命特征的試驗技術。針對在汽車智能化發(fā)展中起著重要作用的汽車電子器件，本文將服從對數正態(tài)分布的樣本在步進應力加速壽命試驗中的統(tǒng)計分析結合貝葉斯統(tǒng)計推斷，得出了基于貝葉斯統(tǒng)計的加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法，從而實現了對汽車電子器件的壽命估計。本文通過有機發(fā)光二極管的案例應用，驗證了貝葉斯對數正態(tài)分布加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法的可行性和有效性，對相關理論研究和工程試驗的開展具有借鑒意義。

關鍵詞：汽車電子產品 壽命分析 加速壽命試驗 貝葉斯統(tǒng)計推斷

1 緒論

隨著汽車電氣化乃至智能化的發(fā)展，汽車電子器件在車身各關鍵設備上的應用日漸廣泛[1]。汽車電子器件的工作狀態(tài)、功能、壽命與汽車的正常行駛息息相關，若出現問題，輕則造成財產損失，重則造成人員傷亡。因此，對汽車電子器件進行壽命分析，具有重大的實際意義。

1.1 加速壽命試驗與加速模型

為了快速地暴露產品的薄弱環(huán)節(jié)，在較高應力下以更短的試驗時間推斷正常應力下的壽命特征，常采取加速壽命試驗（Life Accelerated Testing，ALT）。即在失效機理不變的基礎上，通過加速模型，利用加速應力水平下的壽命特征去外推評估正常應力水平下的壽命特征的試驗技術。加速壽命試驗方法因其可縮短試驗時間、提高試驗效率、降低試驗成本等優(yōu)勢已經被廣泛應用于各類工程實際問題之中[2]。

為了能夠利用ALT中搜集到的產品壽命信息外推產品在正常應力條件下的壽命特征，必須建立產品壽命特征與加速應力水平之間的關系，即加速模型。常用的加速模型分為物理模型和統(tǒng)計模型，具體有阿倫尼斯模型、艾琳模型、廣義艾琳模型、沖蝕磨損模型、逆冪律模型、Coffin-Manson模型、Norris-Landzberg模型等[3]。

ALT的統(tǒng)計分析是通過估計壽命分布函數的參數和確定加速模型的參數，從而外推評估正常應力水平S0下的壽命特征。

1.2 貝葉斯理論

在工程和實際試驗中，對于待估計參數常常會有一定的現有經驗和信息，為了利用好這一部分信息，同時通過新的數據對已有信息進行更新，則常用貝葉斯統(tǒng)計方法[4]進行統(tǒng)計推斷。

p（θ|y）稱為后驗密度函數；p（θ）稱為先驗密度函數；m（y）是數據的邊沿密度函數；f（y|θ）是數據的抽樣密度函數。

由于汽車為批量生產的產品，因此其電子器件也具有相當多的歷史信息，故采用基于貝葉斯統(tǒng)計ALT分析，能夠更準確地評估汽車電子器件壽命，并對產品已有信息進行更新。

2 基于貝葉斯統(tǒng)計的ALT分析方法

2.1 基本假設

以對數正態(tài)分布場合下的步進應力加速壽命試驗（Step-Stress Accelerated Life Testing， SSALT）為例，試驗數據的統(tǒng)計分析是在以下四個假定下進行的[2]。

假設1：在正常應力水平S0和k個加速應力水平S1

式中，?為對數均值，σ2為對數方差。

其分布函數為

假設2：產品在加速應力水平S1

假設3：產品的某壽命特征ξ與施加的應力水平Si有如下的對數線性關系

在對數正態(tài)分布中我們用中位壽命e?來表征壽命特征，所以常用的加速模型例如阿倫尼斯模型、逆冪律模型、指數率模型的加速模型表達式為

假設4：產品的殘余壽命僅依賴于已累積失效的部分和當時的應力水平，而與累積方式無關（Nelson累積失效假定）。

2.2 假設檢驗

假設檢驗是指根據樣本提供的信息來推斷總體特性的某些假設是否成立，步驟如下：

1.提出原假設H0：即需要檢驗的假設內容；

2.引進統(tǒng)計量：根據H0的內容選取合適的統(tǒng)計量；

3.確定統(tǒng)計量的精確分布或漸近分布；

4.根據觀測到的樣本值算出統(tǒng)計量的值；

5.確定適當的顯著性水平α；

6.根據統(tǒng)計量分布，由顯著性水平確定臨界點P{統(tǒng)計量計算值>Kα}=α

現針對基本假設1和2做分布檢驗和參數檢驗。

2.2.1 壽命分布的假設檢驗

分布檢驗針對基本假設1，使用正態(tài)分布偏峰度檢驗[2]進行對數正態(tài)分布分布檢驗。

偏度描述分布密度函數的對稱程度，分布密度越對稱，偏度越??；峰度描述分布密度函數的陡峭程度，分布密度越陡峭，峰度越大。偏度和峰度分別定義為

式中，?3為三階中心矩，?4為四階中心矩，σ2為方差。以正態(tài)分布為例，由于正態(tài)分布N（?，σ2）的偏度為0，峰度為3，因此可以通過樣本偏度和峰度是否接近0和3來判斷數據是否服從正態(tài)分布，具體判斷方法如下：

1）偏度檢驗

檢驗原假設H0：Cs=0，即原假設認為分布密度函數是對稱的，若偏度Cs估計的絕對值超過它的1-α分位數，則在顯著水平α下拒絕原假設，檢驗統(tǒng)計量|Cs|的1-α分位數可查表[5]得到，偏度檢驗適用于樣本量n≥8。

2）峰度檢驗

3）檢驗原假設H0：Ce=3，即原假設認為分布密度函數是對稱的，若Ce大于3，則說明峰度過度，這時備擇假設H1：Ce>3，若Ce小于3，則說明峰度不足，這時備擇假設H1：Ce<3，峰度檢驗適用于樣本量n≥8。其中統(tǒng)計量Ce的臨界值可查[5]得到。

2.2.2 形狀參數相等的假設檢驗

形狀參數檢驗目的是確認加速應力是否改變了產品的失效機理，該檢驗針對基本假設2。

對于對數正態(tài)分布，可以把形狀參數的檢驗問題轉化成方差一致性的檢驗問題[6]。對于假設檢驗

根據試驗數據用最好線性無偏估計（BLUE）計算σi的估計值。構造巴特利特檢驗統(tǒng)計量，即

式中，lri，ni為的方差系數。則在H0成立下，B2/C近似的服從自由度為K-1的χ2分布，給定顯著性水平?，若，拒絕H0；否則接受H0。

2.3 特征數據的統(tǒng)計分析

2.3.1 數據折算

在應力水平Si下，產品工作ti時間內累積失效的概率Fi（ti）相當于此種產品在Sj下工作tj時間內累積失效的概率Fj（tj）[2]。由假設2，可得在應力水平Si下的工作時間τi折算到應力水平Sj下的折算時間τij為

記a1=0，。則產品在Si下的真實壽命數據為

其中b為假設3中加速方程：中的待估參數；φ（Si）為已知函數，記為φi。即在每一個應力水平Si下，ri個失效產品的折算壽命為

式中：;，除外，它們都是b的函數。

2.3.2 貝葉斯統(tǒng)計推斷

聯立壽命分布和加速模型：

得下式：

可知，待估參數為a、b、σ。

1）確定先驗分布

進行貝葉斯統(tǒng)計推斷的第一步是為待估參數確定先驗分布。根據待估參數的先驗信息的多少，可分為無信息先驗分布和有信息先驗分布。

a）無信息先驗分布

若試驗前有關待估參數a、b、σ的信息相對較少，可以假設其先驗分布為均勻分布，例如：a～U[x1， y1]，b～U[x2， y2]，σ～U[x3，y3]；xi，yi的取值可由現有信息、經驗決定。確定無信息先驗分布的方法還有Jeffrey法則[7]等。

b）有信息先驗分布

若試驗前有比較充足的關于待估參數的先驗信息時，可根據先驗信息確定先驗分布。常見的先驗信息主要來源于：物理/化學理論、仿真分析、工程試驗和質量控制測試結果、一些通用的可靠性數據、相似產品信息以及專家經驗。

確定有信息先驗分布的方法[8]主要有：直方圖法、選定先驗密度分布函數形式再估計其超參數、變分讀法與定分度法以及多層先驗等。

2）觀測數據先驗分布的更新

先驗分布p（θ）代表了試驗前對待估參數的初始估計。在得到數據后，可以利用“新的信息”對先驗分布進行更新，得到后驗分布。根據貝葉斯定理，后驗分布是由似然函數和先驗分布相乘得到的。

后驗分布似然函數×先驗分布

在本文中，似然函數即

具體計算是由馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法得出[9]：通過模擬的方法直接從后驗分布中生成參數向量的仿真樣本，基于樣本進行后續(xù)統(tǒng)計推斷。

在本文算例中，具體計算通過WinBUGS軟件實現。在WinBUGS中輸入三個參數的先驗分布、似然函數，以及試驗失效數據，運行后能夠給出參數的仿真樣本，即一系列服從對應的后驗分布的a、b、σ的值。

3）分位壽命的計算

第三步則是通過估計參數計算出分位壽命tp=f（a，b，p），可分為點估計和區(qū)間估計。

a）點估計

主要有三種方法：一是極大后驗密度估計（maximum a posteriori estimate， MAP），即后驗密度函數取極大值處相應的待估參數值；二是取參數的后驗均值；三是取參數的后驗中位數。通過點估計得到a，b的值后，即可計算出分位壽命tp。

b）區(qū)間估計

區(qū)間估計時可以通過a， b的樣本值，兩兩配對各算出一個分位壽命——tp=f（a，b，p）；然后對其取置信區(qū)間即可（例如，取置信度為α的置信區(qū)間，則除去tp取值中前α/2和后α/2的取值，所得的[tpmin， tpmax]即為置信區(qū)間）。

3 案例分析

本文借鑒文獻[10]中的案例和試驗數據進行貝葉斯對數正態(tài)步進ALT統(tǒng)計分析。

試驗對象采用汽車電子器件——有機發(fā)光二極管（Organic Light-Emitting Diode， OLED）。對于OLED，影響其壽命的主要因素是電流，因而選擇電流為加速應力進行分析。根據試驗設計要求，在對OLED電子產品進行試驗階段，施加的應力，即電流，應該介于最大應力和最小應力中，且最大應力不應該超過極限應力，并且所施加的應力水平由目前的制造技術可以達到?？紤]到試驗時長與成本，采用SSALT。此外，隨著電流的增大，不能夠對OLED電子產品引發(fā)新的失效機理。OLED電子產品的失效判據為：當OLED的亮度降低到原亮度的50%以下時，認為這個樣本失效，并記錄相應的失效時間。

3.1 基本假設

進行SSALT試驗數據的統(tǒng)計分析的基本假設同2.1節(jié)。其中，在對數正態(tài)分布中用中位壽命來表征壽命特征，本文中的應力為電流，所以選擇逆冪律模型作為加速模型：

3.2 數據折算處理

1.原始數據

試驗中一共投入了32個樣本進行試驗，假定正常的工作條件中，應力I0=3.20mA。在SSALT中選擇了四個應力水平，分別為：I1=9.64mA，I2=12.36mA，I3=17.09mA，I4=22.58mA，在每個應力水平下收集八個失效數據，示意圖如圖1，試驗數據記錄如表1。

對數據進行折算：

其中，τji為加速因子，且，β=-1.8154，，，。將所有的數據折算到應力為I1的水平。

3.3 基于貝葉斯的SSALT統(tǒng)計分析

將壽命分布的模型、先驗信息以及折算數據導入到winbugs中進行求解，求解的結果如圖２所示。

通過winbugs的求解，得到參數a和b的貝葉斯估計，即后驗樣本值，代入到壽命分布函數中即可計算在正常應力下的各種壽命指標的估計。

顯然，0.5分位壽命是參數a和b的函數，即t0.5=（a，b）；每一組a，b可以計算一個p=0.5的分位壽命，取均值，得到0.5分位壽命t0.5=24100h。

先對參數a和b進行點估計，常用的方法有眾數/平均數和中位數。

眾數：求得a和b的眾數，帶入到壽命分布中，得到相關的分位壽命，t0.5=20647h，這個結果和分位壽命均值的結果有所差異，通過分析a和b的概率密度函數（如圖3）可知原因為：參數a和b通過數據的迭代會逐漸向著最終的分布形式過渡，但是由于目前的試驗數據較少，概率密度函數都還具有均勻分布和正態(tài)分布的特點，因而處于過渡階段。

平均數：求得a和b的平均數，帶入到壽命分布中，得到相關的分位壽命t0.5=16400h；

中位數：求得a和b的中位數，帶入到壽命分布中，得到相關的分位壽命t0.5=16200h；

0.5分位點壽命的置信區(qū)間：對于winbugs生成的參數a和b的后驗樣本，帶入壽命分布函數中求解一組0.5分位點的壽命值t0.5，對這些t0.5進行分布擬合，可以得到如圖4的概率密度函數。

相應地，根據置信區(qū)間的計算方法，可以得到置信度為0.9的t0.5的置信區(qū)間為[3639.1041， 76083.1355]。

4 總結

本文針對汽車電子器件，介紹了基于貝葉斯統(tǒng)計推斷的對數正態(tài)步進應力加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法。利用已有歷史數據的信息，同時通過新的數據對已有信息進行更新；結合加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法，對服從對數正態(tài)的汽車電子器件壽命進行了點估計及區(qū)間估計。通過案例應用，驗證了該方法的可行性和有效性。同時，基于貝葉斯統(tǒng)計推斷的對數正態(tài)步進應力加速壽命試驗統(tǒng)計分析方法也可以進一步推廣應用于各類加速壽命試驗統(tǒng)計分析中，對工程應用具有指導意義。

項目資助：

湖南省教育廳科學研究項目，項目編號21C1659

湖南省自然基金科教聯合項目，項目編號2022JJ60113。

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