梁貴書,周安東

(華北電力大學 電氣與電子工程學院,河北 保定 071003)

0 引 言

電氣設備與器件的分數(shù)階電路模型構建離不開電路綜合理論。由于自然界中的材料固有的分數(shù)階本質[1],電氣設備與器件實際上也具有分數(shù)階的特性。在電氣與電子工程領域中,分數(shù)階理論已經(jīng)廣泛應用于單相逆變器的分數(shù)階建模[2]、分數(shù)階控制[3-4]、分數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究[5]。分數(shù)階電路綜合即利用分數(shù)階元件與傳統(tǒng)整數(shù)階元件構建電網(wǎng)絡來實現(xiàn)分數(shù)階策動點阻抗函數(shù)。其綜合方法通常存在兩種方式,一種是通過整數(shù)階電路以逼近擬合的方式來實現(xiàn)分數(shù)階電路,另一種是直接通過分數(shù)階元件構建電路模型來實現(xiàn)。相比之下,后者得到的電路模型更為簡潔,因此可有效降低元件的冗余度,且精確度更高更易于仿真分析。隨著材料科學的發(fā)展與制造水平的提升,已經(jīng)可制造出分數(shù)階元件[6],因此可直接使用分數(shù)階元件來實現(xiàn)分數(shù)階電路。電路實現(xiàn)的關鍵環(huán)節(jié)就在于選擇合適的電路綜合方法,考慮到無源網(wǎng)絡在仿真過程中的穩(wěn)定性要優(yōu)于有源網(wǎng)絡,因此研究探索分數(shù)階電網(wǎng)絡的無源綜合理論方法具有重要意義。

由于分數(shù)階電路的策動點阻抗函數(shù)復雜度較高,國內(nèi)外目前難以有一個通用的實現(xiàn)方法。文獻[7-8]研究了由整數(shù)階二端口RLC阻抗網(wǎng)絡端接分數(shù)階電容與分數(shù)階電感元件來實現(xiàn)特殊的分數(shù)階電路,但該方法對超過兩個分數(shù)階電抗元件的情形并不適用?；陔p變量達林頓綜合方法,文獻[9]解決了分數(shù)階雙元次阻抗網(wǎng)絡的綜合問題,然而該綜合方法的缺點是必須借助多口變壓器,不利于分數(shù)階電網(wǎng)絡的建模與分析。文獻[10]提出了一個三端口電阻網(wǎng)絡端接兩個分數(shù)階電抗元件的的最少儲能元件綜合方法,但該方法可適用的范圍太小。

目前,尚未見分數(shù)階三種元件電路綜合的相關報道。文章對分數(shù)階RLαCβ三種元件電路的綜合問題進行了探索。首先,基于特勒根能量函數(shù)的多變量域表達形式,推導出RLαCβ三種元件電路的Foster綜合方法以及Cauer綜合方法,其中,Foster綜合方法是基于部分分式的展開的思想來實現(xiàn)電路,Cauer綜合方法基于連分式的展開的思想來實現(xiàn)電路。進一步,給出了分數(shù)階RLαCβ三種元件電路阻抗函數(shù)的一般表達形式,最后,以一個具體的實例計算與仿真,驗證了文中電路綜合方法。與以往綜合方法相比較,所提出的綜合方法不必使用多口變壓器來實現(xiàn)電路,計算方法且較為簡單實用,因此更有利于分數(shù)階電路系統(tǒng)的建模與分析。

1 分數(shù)階電抗元件

分數(shù)階電抗元件主要是指分數(shù)階電感與分數(shù)階電容。分數(shù)階電感的時域特性方程為[11]:

(1)

分數(shù)階電感的電感值與階次一般表示為(Lα,α),電感值單位為H/s1-α,其中,0≤α≤1。

分數(shù)階電容的時域特性方程為[11]:

(2)

分數(shù)階電容的電容值與階次一般表示為(Cβ,β),電容值單位為F/s1-β。其中,0≤β≤1。對式(1)與式(2)取拉式變換,得到分數(shù)階電感與分數(shù)階電容的頻域特性方程為:

U(s)=LαsαI(s)

(3)

(4)

圖1給出了分數(shù)階電感與分數(shù)階電容的電路符號。其中u(t)表示分數(shù)階電感或分數(shù)階電容的端電壓,i(t)表示流過分數(shù)階電感或分數(shù)階電容的電流。且u(t)與i(t)為關聯(lián)參考方向。

圖1 分數(shù)階電抗元件的電路符號

2 分數(shù)階RLαCβ電路多變量域綜合

2.1 RLαCβ電路阻抗函數(shù)的多變量域Foster電路實現(xiàn)

包含RLαCβ三種元件的一般支路如圖2所示。基于特勒根定理及其能量函數(shù),得到圖2所示的單端口策動點阻抗函數(shù)為:

圖2 分數(shù)階RLαCβ的一般支路

(5)

基于變量代換sα=p1,sβ=p2,式(5)變?yōu)?

(6)

進一步對式(6)整理得到:

(7)

根據(jù)式(6)與式(7)可知Rk=Rk1+Rk2,對于式(7),由于Rk,Lk,Ck均為實常數(shù),令:

(8)

進一步,令:

(9)

將式(8)與式(9)帶入式(7),從而可使得式(7)可簡化整理為:

(10)

顯然,在式(10)中,Z(q)是一個關于變量q的奇函數(shù),其表達式為:

(11)

根據(jù)文獻[12]的結論,具有式(11)形式的Z(q)為q域的電抗函數(shù),其可寫為式(12)所示的部分分式展開的形式為:

(12)

Z(q)可實現(xiàn)為梯形電抗網(wǎng)絡,在式(12)中:k∞,k0是q平面上Z(q)在無窮遠與原點處的留數(shù);ki表示q平面Z(q)在虛軸上極點留數(shù)之和,k∞,k0,ki均為非負實數(shù)。根據(jù)式(8)～式(12),得到RLαCβ三種元件電路分數(shù)階阻抗函數(shù)多變量域的展開式為:

(13)

在式(13)中,k∞,k0,ki為:

(14)

顯然,根據(jù)式(13)可知,第一項可以實現(xiàn)為電感串聯(lián)電阻的形式,第二項可以實現(xiàn)為電容串聯(lián)電阻的形式,剩余的其他項可以實現(xiàn)為電感串聯(lián)電阻之后整體并聯(lián)電容串聯(lián)電阻的形式,之后將每一項所實現(xiàn)的部分依次串聯(lián)起來,最終整體阻抗函數(shù)所實現(xiàn)的Foster形式的電路如圖3所示。

圖3 RLαCβ阻抗函數(shù)的Foster電路

此外,可以完全對偶地推出RLαCβ電路的導納函數(shù)多變量域部分分式展開式為:

(15)

2.2 RLαCβ電路阻抗函數(shù)多變量域Cauer梯形實現(xiàn)

RLαCβ電路多變量域阻抗函數(shù)為Z(p1,p2),假定其在p1→∞處有一極點,則可以得到:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+Z2(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(16)

移去Z(p1,p2)在p1→∞處的極點,根據(jù)式(16)可知,k∞1(p1+a)可以實現(xiàn)為電感k∞1p1串聯(lián)電阻k∞1a的串聯(lián)支路形式,且余函數(shù)Z2(p1,p2)仍然為RLαCβ電路的阻抗函數(shù),進一步,根據(jù)式(13)可知,Z2(p1,p2)在p2=-b-1處,有:

(17)

根據(jù)式(17)可知Z2(p1,p2)在p2=-b-1處有一零點,所以Y2(p1,p2)在p2=-b-1處有一極點,根據(jù)式(15),得到:

(18)

(19)

(20)

重復進行式(16)～式(20)的極點提取過程,每提取一次p1→∞處的極點便得到一個電感串電阻的串聯(lián)支路,每提取一次p2=-b-1處的極點一個電容串電阻的并聯(lián)支路,最終阻抗函數(shù)Z(p1,p2)的Cauer梯形電路的實現(xiàn)如圖4所示。

圖4 RLαCβ阻抗函數(shù)的Cauer電路

需要說明的是,以上推導過程首先假定在p1→∞處為阻抗函數(shù)Z(p1,p2)的極點,若在p1→∞時,RLαCβ阻抗函數(shù)Z(p1,p2)→0,此時首先對Y(p1,p2)進行極點的移出,其電路實現(xiàn)步驟與式(16)～式(20)的過程是完全相同的。

根據(jù)式(16)～式(20),我們可以得到圖4所對應的阻抗函數(shù)Z(p1,p2)的連分展開式為:

Z(p1,p2)=k∞1(p1+a)+

(21)

2.3 分數(shù)階RLαCβ電路阻抗函數(shù)s域一般表達式

根據(jù)式(12),Z(q)為q域的電抗函數(shù),所以Z(q)為奇函數(shù),分兩種情況討論并最終得到分數(shù)階RLαCβ阻抗函數(shù)s域的一般表達形式:

(1)當Z(q)在原點處有零點時,由于q域網(wǎng)絡僅由電感和電容組成,所以,Z(q)可表示為[12]:

(22)

式中ci,di(i=0,1,2,…),k均為正實數(shù),且要求有[12]di

Z(s)=(sα+a)·

(23)

式中A0,…,AM,B0,…,BN>0。

(2)當Z(q)在原點處有極點時,由于q域網(wǎng)絡僅由電感和電容組成,所以,Z(q)可表示為[12]:

(24)

式中c′i,d′i(i=0,1,2,…),k均為正實數(shù),且要求有[12]c′i

(25)

同理可知,A0,…,AM,B0,…,BN>0。

綜上所述,分數(shù)階RLαCβ電路的阻抗函數(shù)s域表達形式必然為式(23)或式(25)的形式。

3 算例驗證與仿真

如式(24)所示的分數(shù)階s域的阻抗函數(shù):

(26)

對式(26)重新整理,得到:

(27)

將式(27)與式(25)對比可知,二者形式一致。因此式(27)一定可以實現(xiàn)為圖3與圖4所示的RLαCβ電路。對式(26)變量代換s0.1=p1,s0.2=p2,進而得到式(26)的多變量域表達形式為:

(28)

(1)Foster電路實現(xiàn)

根據(jù)式(13)與式(14)得到式(28)的部分分式展開式為:

(29)

根據(jù)式(29),得到其Foster電路如圖5所示。

圖5 阻抗函數(shù)的Foster電路

(2)Cauer電路實現(xiàn)

根據(jù)式(16)～式(20)的過程,移去式(28)在p1→∞處與p2=-1處的極點,得到式(28)的連分式展開:

(30)

根據(jù)式(30),得到其Cauer電路如圖6所示。

圖6 阻抗函數(shù)的Cauer電路

為驗證圖5與圖6所得到的分數(shù)階電路的正確性,我們進行頻域仿真驗證,將圖7所示的正弦穩(wěn)態(tài)電壓激勵與階躍暫態(tài)電壓激勵應用于式(26)的分數(shù)階阻抗函數(shù)與圖5與圖6的分數(shù)階阻抗網(wǎng)絡,進行數(shù)學計算與電路仿真兩方面的互相印證,從而得到圖8所示的端口電流響應。其中,數(shù)學計算是基于端口阻抗頻域表達式U(s)=Z(s)·I(s),計算穩(wěn)態(tài)與暫態(tài)電壓激勵下的電流響應,之后通過快速傅里葉變換得到端口電流時域響應曲線;電路計算是通過借助分數(shù)階電抗元件的分數(shù)階微積分定義以及L1插值法得到分數(shù)階電抗元件的離散化模型,進一步,通過改進節(jié)點法編寫程序軟件對得到的分數(shù)階電路進行離散仿真。由圖8可知,其電路仿真曲線與數(shù)學計算曲線是相吻合的,因此圖5與圖6所得到的分數(shù)階電路實現(xiàn)是正確的。

圖7 電壓激勵

圖8 電流響應

與傳統(tǒng)綜合方法相比,文中所提出的分數(shù)階電路綜合方法有以下顯著的特點與優(yōu)勢:

(1)與傳統(tǒng)的雙變量達林頓電路綜合法相比,文中所提出的電路綜合方法大大降低了計算量與計算難度。傳統(tǒng)雙變量達林頓綜合法必須借助雙變量矩陣的譜分解理論來實現(xiàn)電路,計算難度較高,因此不利于計算機的編程分析;

(2)與傳統(tǒng)的基于阻抗換標思想的電路綜合方法相比,文中所提出的綜合方法適用于分數(shù)階RLαCβ三種元件電路,因此具有更廣的適用范圍;

(3)在電路結構的實現(xiàn)方面,傳統(tǒng)的分數(shù)階電路綜合方法必須使用多口變壓器來實現(xiàn)電路,得到的電路模型復雜度較高,因此不利于對電氣設備的分數(shù)階電路模型進行仿真分析。文中所提出的綜合方法克服了這一缺點。

4 結束語

基于特勒根定理與RLαCβ單端口網(wǎng)絡的能量函數(shù),推導出了分數(shù)階RLαCβ阻抗函數(shù)的部分分式展開形式的Foster電路綜合方法,以及連分式展開形式的Cauer電路綜合方法。通過具體算例的計算與仿真,驗證了所提出的電路綜合方法。文中提出的綜合方法計算方法簡單且實用性更強,更有利于分數(shù)階電路系統(tǒng)的建模與分析,同時進一步完善了分數(shù)階電路綜合的理論體系。