陽(yáng)成 王建波 許小可 杜占瑋

摘 要：流行病的傳播會(huì)對(duì)整個(gè)人類(lèi)社會(huì)構(gòu)成巨大威脅，因此迅速識(shí)別傳播源并及時(shí)采取控制措施至關(guān)重要。然而，由于流行病傳播過(guò)程具有多樣性、信息不確定性等因素，使得快速準(zhǔn)確識(shí)別傳播源成為一項(xiàng)挑戰(zhàn)。結(jié)合反向感染算法、復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型以及馬爾可夫鏈理論，提出了一個(gè)在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中識(shí)別傳播源的新算法。該算法首先利用馬爾可夫鏈來(lái)初步估計(jì)子種群被感染的時(shí)間，被感染子種群根據(jù)感染時(shí)間獲得自己的身份信息，然后遍歷所有獲得感染子種群身份信息的子種群，將收集到的感染子種群身份信息傳播給其所有鄰居，最后根據(jù)獲得所有感染子種群身份信息的時(shí)間順序推斷出復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的傳播源。在真實(shí)的航空網(wǎng)和人造復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行大量仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)無(wú)論在已知全部感染快照還是部分感染快照的情況下，該算法與其他傳播溯源算法相比，識(shí)別傳播源的準(zhǔn)確性都有顯著提升。該算法非常適合用于航空網(wǎng)這類(lèi)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的流行病傳播溯源和控制也具有參考意義。

關(guān)鍵詞：復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)； 傳播溯源算法； 反向感染； 計(jì)算機(jī)仿真

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.9?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2023）09-019-2681-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0034

RIA-based tracing algorithm for propagation of metapopulation networks

Yang Cheng1， Wang Jianbo1，2， Xu Xiaoke3，4， Du Zhanwei2

（1.School of Computer Science， Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China; 2.School of Public Health， University of Hong Kong，Hong Kong 999077， China; 3.Center for Computational Communication Research， Beijing Normal University， Zhuhai Guangdong 519085， China; 4.School of Journalism & Communication， Beijing Normal University， Beijing 100875， China）

Abstract：The spread of epidemics poses a significant threat to the entire human community. Therefore， it is critical to identify the sources of transmission quickly and take timely control measures. However， the diversity of epidemic transmission processes and information uncertainty makes it challenging to identify the sources of transmission quickly and accurately. This paper proposed a new algorithm for identifying transmission sources in a metapopulation network by combining the reverse infection algorithm and Markov chain theory. The algorithm firstly used a Markov chain to initially estimate the time when a subpopulation was infected， and the infected subpopulation obtained its own identity information based on the infection time. Then， it traversed all subpopulations that obtained the identity information of the infected subpopulation and spreaded the collected identity information of the infected subpopulation to all its neighbors. Finally， the spreading source of the metapopulation network could be inferred based on the temporal order in which all the identity information of the infected subpopulation was obtained. Simulation experiments conducted on real airports networks and artificial networks show that the accuracy of this algorithm is significantly improved compared to other algorithms， regardless of whether all or partial of the infection snapshots are known. This algorithm is well-suited for metapopulation networks such as aviation networks and is also useful for real-world epidemic transmission tracing and control.

Key words：metapopulation network; propagation traceability algorithm; reverse infection algorithm; computer simulation

0 引言

非典型性肺炎［1］ 、甲型H1N1流感［2］、新冠肺炎［3］等呼吸道傳染病具有高致死率和傳染性，嚴(yán)重威脅人類(lèi)健康，成為了制約人類(lèi)社會(huì)發(fā)展的阻礙之一［4］。在互聯(lián)網(wǎng)上，電腦病毒［5，6］的存在也給人們帶來(lái)了許多負(fù)面的影響。2003年，出現(xiàn)了一種被稱為“2003蠕蟲(chóng)王病毒”的病毒，當(dāng)電腦感染該蠕蟲(chóng)病毒后，網(wǎng)絡(luò)帶寬被大量占用，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)癱瘓。這種病毒在亞洲、美洲、澳大利亞等地迅速傳播，造成了全球性的網(wǎng)絡(luò)災(zāi)害。2006年，一種被稱為“熊貓燒香”的病毒在互聯(lián)網(wǎng)上傳播，上百萬(wàn)的用戶受到影響。同時(shí)，隨著人們交流的便捷，謠言［7～9］也很容易流行開(kāi)來(lái)，影響了人們的生活。傳播溯源［10，11］旨在基于感染快照、感染者流動(dòng)信息等來(lái)識(shí)別傳播源頭的節(jié)點(diǎn)（例如，電腦病毒、謠言和流行病的傳播［12］），被廣泛地應(yīng)用在流行病源頭推測(cè)、互聯(lián)網(wǎng)病毒源識(shí)別、社交網(wǎng)絡(luò)中的謠言源追蹤等方面。

傳播溯源問(wèn)題包括流行病在人群和個(gè)體網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)空傳播溯源，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的病毒溯源，以及社交網(wǎng)絡(luò)上的謠言溯源。對(duì)于傳播溯源問(wèn)題的研究挑戰(zhàn)主要來(lái)自以下幾個(gè)方面：

a）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣。從小世界網(wǎng)絡(luò)［13］、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)［14，15］再到多層網(wǎng)絡(luò)［16，17］、高階網(wǎng)絡(luò)［18，19］，流行病或信息傳播的載體越來(lái)越復(fù)雜。在多尺度視角下，單個(gè)個(gè)體作為節(jié)點(diǎn)組成的接觸網(wǎng)絡(luò)可以傳播流行??；多個(gè)個(gè)體組成的城市作為節(jié)點(diǎn)組成的航空網(wǎng)也可以傳播流行病。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得傳播溯源往往需要對(duì)不同類(lèi)型的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)不同的識(shí)別算法。

b）流行病類(lèi)型多樣。在流行病傳播過(guò)程中，個(gè)體可以處于最常見(jiàn)的四個(gè)狀態(tài)，即易感態(tài)（susceptible，記為S）、潛伏態(tài)（exposed，記為E）、感染態(tài)（infected，記為I）以及恢復(fù)態(tài)（re-covered，記為R）。生活中多種流行病可以用其組合的傳播模型描述，例如：易感—感染（susceptible-infected，SI）、易感—感染—易感（susceptible-infected-susceptible，SIS）［20］、易感—感染—恢復(fù)（susceptible-infected-recovered，SIR）、易感—潛伏—感染—恢復(fù)（susceptible-exposed-infected-recovered，SEIR）等模型。

c）已知信息不確定。在流行病傳播過(guò)程中，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，得到了包含每個(gè)節(jié)點(diǎn)的感染狀態(tài)的快照。這里的傳播時(shí)間t在某些情況下為已知量［21，22］，有時(shí)候，傳播時(shí)間t也是未知量［23～25］；同時(shí)，感染快照中的狀態(tài)信息有時(shí)候包含了所有的節(jié)點(diǎn)［26］，有時(shí)候只覆蓋了部分節(jié)點(diǎn)［27～29］。

面對(duì)如此情況，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了各種方法來(lái)克服這些挑戰(zhàn)。2010年，Shah等人［30］針對(duì)正則樹(shù)上的 SI 傳播模型提出一個(gè)謠言中心性（rumor centrality）指標(biāo)，并據(jù)此提出了第一個(gè)解決溯源問(wèn)題的算法。在該算法中，會(huì)構(gòu)建一個(gè)正則樹(shù)，某個(gè)節(jié)點(diǎn)是傳播源的概率，與流行病從該節(jié)點(diǎn)出發(fā)感染其他節(jié)點(diǎn)的所有可能順序的計(jì)數(shù)成正比。因此，依據(jù)文獻(xiàn)［30］定義的傳播中心性，得分最大的節(jié)點(diǎn)作為傳染源的估計(jì)。2016年，Zhu等人［31］提出，依據(jù)流行病傳播路徑和傳播源頭的關(guān)系，用最可能的傳播路徑對(duì)應(yīng)的源點(diǎn)來(lái)推斷傳播源。文獻(xiàn)［31］借鑒文獻(xiàn)［32］中離心率（eccentricity）的思想，定義感染離心率（infection eccentricity）為到所有被感染節(jié)點(diǎn)距離的最大值，并類(lèi)比于Jordan中心（Jordan center）的概念，定義Jordan感染中心（Jordan infection center）作為感染離心率最小的節(jié)點(diǎn)，并將之稱為反向感染算法（reverse infection algorithm）。Antulov-Fantulin等人［33］考慮在已知傳播過(guò)程中T時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)的情況下，提出了基于蒙特卡羅模擬的定位算法。算法非常容易理解，即通過(guò)直接模擬流行病傳播的方法來(lái)估計(jì)傳播源。對(duì)每個(gè)可能的傳播源，重復(fù)做多次獨(dú)立的、傳播時(shí)間為T(mén)的蒙特卡羅模擬傳播，然后通過(guò)計(jì)算T時(shí)刻所有節(jié)點(diǎn)狀態(tài)來(lái)估計(jì)傳播源。2017年，Xu等人［34］通過(guò)貝葉斯估計(jì)法提出了一種算法，在具有稀疏觀察者的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中定位流行病源并找到初始時(shí)間。2019年，Xu等人［35］基于網(wǎng)絡(luò)中有限的觀察者，利用了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)之間的相關(guān)性，提出了一種算法，用以識(shí)別推斷傳播源。2021年，Das等人［36］結(jié)合多種中心性算法，提出了一種組合網(wǎng)絡(luò)中心性方法（CNCA）來(lái)推測(cè)傳播源。

然而，現(xiàn)有方法可能在某一類(lèi)溯源檢測(cè)上具備一定的準(zhǔn)確性，但如果擴(kuò)展到其他的網(wǎng)絡(luò)上時(shí)，會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)確率的下降。比如，謠言中心性算法［30］能夠在多種網(wǎng)絡(luò)上取得一定的效果，但其準(zhǔn)確率卻沒(méi)有特別高；反向感染算法［31］為了最小化源頭到其他節(jié)點(diǎn)的最大距離而忽略了流行病傳播的動(dòng)態(tài)性；蒙特卡羅模擬的算法［33］需要了解傳播時(shí)間?；谏鲜龇治觯疚奶岢隽诵滤惴?，該算法首先利用馬爾可夫鏈來(lái)初步估計(jì)子種群被感染的時(shí)間，然后所有感染子種群基于感染時(shí)間將自己的身份信息傳播給其所有鄰居，最先獲得所有感染子種群身份信息的子種群推斷為傳播源。通過(guò)在多個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的實(shí)驗(yàn)以及多個(gè)方法的對(duì)比，本文算法的準(zhǔn)確率較高，并且在不完全快照的情況下也能夠識(shí)別部分傳播源。本文的創(chuàng)新性主要有三點(diǎn)：a）基于反向感染算法，結(jié)合復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型以及馬爾可夫鏈理論，提出了一個(gè)在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中識(shí)別傳播源的新算法；b）利用馬爾可夫鏈說(shuō)明了子種群感染時(shí)間與感染人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移的正相關(guān)性，并給出了Pearson相關(guān)系數(shù)和Spearman系數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果；c）在真實(shí)航空網(wǎng)上驗(yàn)證了本文算法的正確性，證明了本文算法在全部快照和部分快照的情況下，都具有推斷傳播源的優(yōu)良性能。

1 復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的流行病傳播溯源問(wèn)題

1.1 復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)

在現(xiàn)實(shí)生活中，個(gè)體處于諸如社區(qū)和城市這樣的社會(huì)單位中。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型中，對(duì)于社區(qū)和城市這樣的社會(huì)單位，定義為子種群，不同的子種群通過(guò)交通路線的相互連接，從而形成人口流動(dòng)。流行病的傳播依賴于人與人之間的接觸，在子種群內(nèi)部，通過(guò)感染態(tài)個(gè)體與其他個(gè)體的接觸，使得流行病在子種群內(nèi)部進(jìn)行傳播；通過(guò)子種群之間的人口流動(dòng)，使得流行病在不同的子種群之間擴(kuò)散。

對(duì)于復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)，考慮使用一個(gè)有向圖G={V，E，W}來(lái)表示，其中V是節(jié)點(diǎn)的集合，表示復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中的子種群，E是邊的集合，表示不同子種群之間的聯(lián)系，W是節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間遷移率的集合。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以是一個(gè)社區(qū)、城市、甚至國(guó)家。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部有多個(gè)個(gè)體，各個(gè)個(gè)體之間能夠進(jìn)行隨機(jī)接觸，并發(fā)生相互反應(yīng)（按SIR模型等）。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)于不同的子種群，如果子種群i、j之間存在連邊eij∈E， 那么兩個(gè)種群i、j之間的人口就能夠依據(jù)遷移率wij∈W進(jìn)行流動(dòng)，否則不能進(jìn)行人口流動(dòng)。在每一個(gè)子種群內(nèi)部，不同個(gè)體之間能夠隨機(jī)接觸。圖1給出了復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的示意圖，不同的節(jié)點(diǎn)表示不同的子種群，當(dāng)兩個(gè)子種群之間存在連邊時(shí)，它們的人口能夠進(jìn)行流動(dòng)。在子種群內(nèi)部，不同的個(gè)體之間是能夠自由移動(dòng)并相互接觸。

1.2 流行病傳播的SIR模型

在流行病模型中，每個(gè)個(gè)體可以處于最常見(jiàn)的四個(gè)狀態(tài)：易感（S）、潛伏（暴露）（E）、感染（I）和恢復(fù)（R）。在本文中，使用SIR模型。最初，除了傳播源子種群v*中的部分個(gè)體處于感染態(tài)，其他所有的個(gè)體都處于易感態(tài)。本文設(shè)置一個(gè)時(shí)間間隔（時(shí)間步），子種群內(nèi)的每個(gè)個(gè)體在每個(gè)時(shí)間步開(kāi)始時(shí)改變它們的狀態(tài)。在每個(gè)時(shí)間步的開(kāi)始，每個(gè)感染態(tài)個(gè)體以感染率β感染它的易感態(tài)鄰居，使得易感態(tài)個(gè)體的狀態(tài)能夠轉(zhuǎn)換為感染態(tài)；每個(gè)感染態(tài)個(gè)體以恢復(fù)率γ恢復(fù)至恢復(fù)態(tài)。由于易感態(tài)個(gè)體與恢復(fù)態(tài)個(gè)體均未表現(xiàn)出癥狀，所以這兩個(gè)狀態(tài)的個(gè)體在觀測(cè)時(shí)是不能區(qū)分的。個(gè)體a在時(shí)間t時(shí)刻的狀態(tài)用Pa（t）表示，它的取值如下：

Pa（t）=1? t時(shí)刻a個(gè)體處于感染態(tài)0? t時(shí)刻a個(gè)體處于易感態(tài)或恢復(fù)態(tài)（1）

在SIR模型中，將s（i，r）表示種群內(nèi)的易感態(tài)（感染態(tài)，恢復(fù)態(tài)）的個(gè)體的比例。一個(gè)種群內(nèi)，SIR模型中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以由以下微分方程組表示：

dsdt=-βsi? didt=βsi-γi? dsdt=γi（2）

上述方程中忽略了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這些微分方程可以用于個(gè)體自由移動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)粗略近似。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型中，在一個(gè)種群內(nèi)，例如在子種群i，設(shè)置所有個(gè)體均可以自由移動(dòng)并隨機(jī)接觸，使用Si（Ii，Ri）表示其易感態(tài)（感染態(tài)，恢復(fù)態(tài)）的人口數(shù)，那么對(duì)于子種群i，可以使用方程式（3）來(lái)表示種群內(nèi)部人口狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。同時(shí)，在SIR模型中，對(duì)于不同狀態(tài)的人口，還具備以下性質(zhì)：易感態(tài)個(gè)體可能被他/她的受感染的鄰居感染，感染態(tài)個(gè)體可能恢復(fù)，并且恢復(fù)的個(gè)體不能被再次感染。

dSidt=-βSiIiNi? dIidt=βSiIiNi-γIi? dRidt=γIi（3）

對(duì)于被感染的子種群c∈V，當(dāng)其中的傳播源個(gè)體1被感染時(shí)，發(fā)生的流行病傳播過(guò)程可以用圖2表示。

在圖2中，圖（a）是不同個(gè)體之間的流行病傳播示意圖，個(gè)體1是傳播源。個(gè)體1在t=0時(shí)刻被感染，并分別在t=1和t=2時(shí)刻感染個(gè)體2和3。在t=3時(shí)刻獲取快照時(shí)，獲得的快照如圖（b）所示。對(duì)于子種群c，在時(shí)間t中的快照信息表示為Xc（t）={Pi（t）}。在t=3時(shí)刻，能夠知道個(gè)體1～7是否處于感染態(tài)，本文將這個(gè)信息定義為Xc（3）。由于方程式（1），將無(wú)法區(qū)分恢復(fù)態(tài)的個(gè)體和易感態(tài)的個(gè)體，所以此時(shí)擁有的信息是

Xc（3）={0，1，0，0，1，1，1}

即某一個(gè)子種群c的快照用數(shù)學(xué)表示為

Xc（t）={Pi = 1， i∈VIc，Pj=0，j∈Vc＼VIc}（4）

其中：VIc表示子種群c內(nèi)的所有感染個(gè)體的集合；Vc表示子種群c內(nèi)所有個(gè)體的集合。上式表示在t時(shí)刻獲得的子種群c內(nèi)部的快照信息，其中，處于感染態(tài)的個(gè)體使用1表示，處于易感態(tài)或恢復(fù)態(tài)的個(gè)體用0表示。

1.3 傳播溯源問(wèn)題描述

在流行病的傳播中，由于子種群v∈V內(nèi)部的易感態(tài)個(gè)體和恢復(fù)態(tài)個(gè)體是不可區(qū)分的，所以也不能區(qū)分易感態(tài)的個(gè)體（子種群）和恢復(fù)態(tài)的個(gè)體（子種群）。所以，在時(shí)間t獲取的快照為Y（t）={Yv（t），v∈V}，其中：

Yv=1? 如果Xv（t）不全為00? 如果Xv（t）全為0（5）

即當(dāng)某個(gè)子種群內(nèi)所有個(gè)體處于易感態(tài)或恢復(fù)態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)子種群的信息為0，其余情況取1。復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)傳播源檢測(cè)問(wèn)題是在給定復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)圖G和感染快照Y的情況下識(shí)別v*，其中t是未知參數(shù)。表1列出了所有符號(hào)的描述。

2 基于樣本路徑的傳播溯源

在流行病傳播中，傳播源經(jīng)常處于感染快照的中心。反向感染算法［31］是尋找感染快照的Jordan感染中心。在該算法中，首先定義網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)體i、 j的距離為d（i，j），其物理意義為兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短距離，數(shù)值上的取值為最短距離的值。依據(jù)圖論中的偏心率的定義，頂點(diǎn)v的偏心率e（v）是v和圖中任何其他頂點(diǎn)之間的最大距離。圖的Jordan中心是具有最小離心率的節(jié)點(diǎn)。按照類(lèi)似的術(shù)語(yǔ)，定義感染偏心率e（v）：給定感染快照Y和網(wǎng)絡(luò)圖G，節(jié)點(diǎn)v與所有感染節(jié)點(diǎn)距離的最大值作為感染偏心率。同樣地，定義圖的Jordan感染中心為具有最小感染偏心率的節(jié)點(diǎn)。d（v1，v2）是v1與v2之間的距離，例如，在圖3中，d（v1，v2）=1。感染網(wǎng)絡(luò)的感染偏心率e（i）是某個(gè)節(jié)點(diǎn)i與其他所有感染態(tài)節(jié)點(diǎn)j∈VI之間的距離的最大值。也就是說(shuō)，感染偏心率e（v）表示節(jié)點(diǎn)v與其他感染節(jié)點(diǎn)的最大距離，即e（v）=arg maxj∈VId（v，j）。在反向感染算法中，推斷源是圖的Jordan感染中心，即具有最小感染偏心率e（v）的節(jié)點(diǎn)：

v=argminv∈V e（v）=argminv∈V argmaxj∈VI d（v，j）（6）

在圖3中，節(jié)點(diǎn)v3、v6、v8和v9被感染。v1、v2、v3、v4的感染偏心率分別為2、3、4、3，Jordan感染中心為v1。該方法依據(jù)感染快照的路徑，Zhu等人［31］命名為最佳樣本路徑推測(cè)，其對(duì)應(yīng)的算法稱之為反向感染算法（reverse infection algorithm，RIA），對(duì)應(yīng)的傳播源是具有最小感染偏心率的節(jié)點(diǎn)。

3 基于反向感染的復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)傳播溯源

反向感染算法在一般網(wǎng)絡(luò)特別是樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)上的誤差較小，該算法認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)個(gè)體，它們的權(quán)重相同。然而，隨著交通越來(lái)越便利，流行病往往會(huì)很快傳播到大尺度的空間范圍，不同個(gè)體之間的連接關(guān)系（連邊）也常常會(huì)發(fā)生變化。因此，現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)需要適應(yīng)性地調(diào)整，流行病傳播溯源常在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)（即一個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)城市/社區(qū)）上進(jìn)行考慮。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，直接使用反向感染算法常常會(huì)出現(xiàn)誤差，因?yàn)樵趶?fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，不同的節(jié)點(diǎn)代表著不同的子種群而不是某一個(gè)個(gè)體，所以不同的子種群的感染狀態(tài)并不完全相同，即很少出現(xiàn)不同的子種群之間處于感染態(tài)的人數(shù)、處于感染態(tài)人數(shù)的比例等信息完全一致，所以不同的感染子種群之間的權(quán)重應(yīng)當(dāng)不同。針對(duì)上述反向感染算法對(duì)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中的流行病傳播溯源的不完全適應(yīng)問(wèn)題，結(jié)合復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)，提出了本文算法，可以解決復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中的流行病溯源問(wèn)題。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，不同子種群的權(quán)重應(yīng)當(dāng)與該子種群內(nèi)部感染狀態(tài)有關(guān)。首先，先分析不同子種群的人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的 SIR 模型中，對(duì)子種群i而言，其感染態(tài)人口的變化按照下述方程進(jìn)行變化：

dIdt=βSiIiNi-γIj+∑j∈N（i）wjiIj-∑j∈N（i）wijIi

dIdt=∑Sk=0（βIiNi）k（1-βIiNi）1-k+∑j∈N（i）∑Ijn=1n！∏nm=1wmjiNjm！-∑j∈N（i）∑Iin=1n！∏nm=1wmijNim！（7）

其中：S、I、N 分別代表易感態(tài)人口數(shù)、感染態(tài)人口數(shù)、總?cè)藬?shù)。對(duì)于子種群i而言，人口狀態(tài)的轉(zhuǎn)移包括自身人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移以及人口的遷移。其中對(duì)于其所有鄰居的遷移對(duì)它的影響可以表示為

P=Ni∑j∈N（i）wij-∑j∈N（i）Niwji（8）

而兩鄰居種群i、 j之間的遷移人數(shù)為

Qij=NiwijQji=NjwjiQij=Qji（9）

根據(jù)人口流動(dòng)分析，兩城市之間的人口變化很小，所以式（8）約為0，即P≈0，即忽略人口的遷移現(xiàn)象。此時(shí)，不同時(shí)刻的人口狀態(tài)與上一個(gè)時(shí)刻相關(guān)，人口狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程用馬爾可夫鏈表示為

Si（t+1）=Si（t）-βSi（t）Ii（t）Ni（t）Ii（t+1）=Ii（t）+βSi（t）Ii（t）Ni（t）-γIi（t）Ri（t+1）=Ri（t）+γIi（t）（10）

通過(guò)式（10）可以看到，對(duì)于某一個(gè)子種群而言，所處的時(shí)間不同，其內(nèi)部不同狀態(tài)的人口規(guī)模不同。忽略遷移影響較小的人口變化，可以依據(jù)式（10）來(lái)初步估計(jì)不同子種群的感染時(shí)間tv，來(lái)估計(jì)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型下不同子種群的權(quán)重。

對(duì)于相鄰的子種群，如果在t時(shí)刻i種群被感染，t+1時(shí)刻其鄰居種群j被感染，顯然，他們的感染時(shí)間差與距離差相同，即dt（vi，vj）=d（vi，vj）=tvi-tvj=1。如果在t時(shí)刻i種群被感染，t+m（m＞1）時(shí)刻其鄰居種群j被感染，顯然，他們的感染時(shí)間差大于1，即tvi-tvj＞1，那么兩者之間的感染時(shí)間差表示為dt（vi，vj）=tvi-tvj＞d（vi，vj）=1。如果在t時(shí)刻i子種群被感染，t+m（m≥1）時(shí)刻其鄰居子種群j被感染，t+n（n≥1）時(shí)刻其鄰居子種群k被感染，顯然，此時(shí)dt（vi，vj）≥1，dt（vi，vk）≥1，但另外兩個(gè)不相鄰的子種群j與k之間的距離可能會(huì)大于時(shí)間之差，即tvj-tvk＜2，d（vj，vk）≥2，而在傳播過(guò)程中，顯然由子種群j傳播流行病信息至子種群k的時(shí)間不會(huì)小于距離，即連個(gè)不相鄰的子種群j與k的感染時(shí)間差表示為dt（vi，vj）=max（d（vi，vj），tvj-tvk）。統(tǒng)一表示，兩個(gè)不同的子種群i、 j之間的時(shí)間差為

dt（vi，vj）=max（d（vi，vj），tvi-tvj）（11）

所以，在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，子種群i的感染偏心率表示為dt（vi）=argmin（max（dt（vi，vj）））。那么，推斷的傳播源可以表示為

v=argminvi∈V，vj∈VI（max（dt（vi，vj）））=argminvi∈V dt（vi）（12）

依據(jù)上述思想，本文得到了算法1（reverse infection-based-detection source-algorithm，RIDSA）。算法1的時(shí)間復(fù)雜度為VI+c×dI×VI，空間復(fù)雜度為VI+V×VI，其中，VI是被感染子種群的數(shù)量，V是所有子種群的數(shù)量，c是復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)G的平均度，dI是感染快照Y的直徑。在本算法中，首先需要估算被感染個(gè)體的馬爾可夫鏈時(shí)間，此時(shí)，時(shí)間復(fù)雜度為VI；其次，在傳播溯源階段，被感染子種群的信息需要傳遞給其鄰居，耗時(shí)c×VI，在推斷出傳播源時(shí)，信息已傳遍整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，耗時(shí)c×VI×dI，總時(shí)間復(fù)雜度為VI+c×dI×VI。在傳播溯源過(guò)程中，本算法需要保存的信息為感染時(shí)間矩陣，占空間VI，還需要為每一個(gè)子種群儲(chǔ)存接收到的感染信息，占空間V×VI，總空間復(fù)雜度為VI+V×VI。

算法1 基于反向感染的復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)傳播溯源算法（RIDSA）

輸入：感染快照Y；傳播網(wǎng)絡(luò)G。

輸出：推斷的傳播源v。

1 for v∈Y do

2? 通過(guò)方程式（10）計(jì)算馬爾可夫鏈估計(jì)的時(shí)間MTv

3? 添加估計(jì)的時(shí)間到矩陣MT（v，MTv）

4 根據(jù)MTV對(duì)時(shí)間矩陣MT進(jìn)行排序

5 初始化時(shí)間t

6 while true do

7? for v∈Y do

8?? if 子種群 v not in G

9??? if 子種群v估計(jì)的感染時(shí)間MTv≥t do

10???? 添加子種群v到G

11? else

12?? 反向感染子種群v的鄰居

13?? for vi∈N（v） do

14???? 將子種群v添加到子種群vi的信息集合Infvi

15? t=t+1

16? if Infv=Y do

17?? 推斷的傳播源v=v并退出循環(huán)

18? else

19?? 重復(fù) 7～19行

20 返回推斷的傳播源v

4 計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證

本章評(píng)估了本文算法在不同網(wǎng)絡(luò)上的性能，包括人造網(wǎng)絡(luò)和真實(shí)世界網(wǎng)絡(luò)。

4.1 基于復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的蒙特卡羅模擬隨機(jī)流行病過(guò)程方法

在模擬流行病的傳播中，本研究采用蒙特卡羅方法來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?？紤]到實(shí)驗(yàn)的偶然性偏差，本文在不同的傳播網(wǎng)絡(luò)中篩選出人口和度數(shù)不同的子種群設(shè)計(jì)傳播實(shí)驗(yàn)，每一個(gè)子種群進(jìn)行10次的傳播模擬，使用得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行傳播溯源。

本仿真的模擬過(guò)程主要包括種群內(nèi)部的傳播以及不同種群之間的擴(kuò)散兩個(gè)方面。

a）傳播過(guò)程，即子種群內(nèi)部的感染過(guò)程。在每一個(gè)子種群內(nèi)部，易感態(tài)個(gè)體、感染態(tài)個(gè)體和恢復(fù)態(tài)個(gè)體是均勻混合的，每一個(gè)個(gè)體都有幾率接觸到其他個(gè)體。在一個(gè)時(shí)間步上，根據(jù)SIR傳播模型，人數(shù)的變化的期望值是一個(gè)確定的值，但考慮到現(xiàn)實(shí)生活中的隨機(jī)變化，本文采用二項(xiàng)分布來(lái)模擬人數(shù)變化的隨機(jī)性。需要注意的是，人數(shù)變化的期望值應(yīng)當(dāng)是SIR模型下的人數(shù)變化值，即本文采用的模擬過(guò)程使得人數(shù)在期望值附近波動(dòng)。

b）擴(kuò)散過(guò)程，即子種群之間的人口遷移，相當(dāng)于現(xiàn)實(shí)生活中的人員流動(dòng)。每座城市或者社區(qū)之間，會(huì)存在一定的人員流動(dòng)，且每一個(gè)時(shí)間步流動(dòng)的人口數(shù)量可能會(huì)有所不同。此處，本文采用多項(xiàng)分布進(jìn)行模擬，對(duì)每一種人口均設(shè)置流動(dòng)性，而子種群的總的流動(dòng)人數(shù)的期望符合本文給定的遷移率。此處需要注意的是，每個(gè)子種群的人數(shù)不同，遷移率也不同。

4.2 馬爾可夫鏈下的傳播時(shí)間相關(guān)性分析

為了驗(yàn)證方程式（10）對(duì)感染時(shí)間先后順序的估計(jì)，本文設(shè)計(jì)了在六個(gè)不同的人造網(wǎng)絡(luò)（artificial network，AN）上進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，網(wǎng)絡(luò)信息如表2所示。

在現(xiàn)實(shí)生活中，不同子種群之間的感染率與恢復(fù)率會(huì)受到氣溫、醫(yī)療等影響而不同，因此本實(shí)驗(yàn)通過(guò)設(shè)計(jì)不同感染率與恢復(fù)率來(lái)模擬流行病在不同地區(qū)的傳播情況。在不同的人造網(wǎng)絡(luò)中，從感染開(kāi)始時(shí)，記錄不同網(wǎng)絡(luò)每天的感染狀況與真實(shí)時(shí)間，根據(jù)真實(shí)的傳播時(shí)間與通過(guò)方程式（10）得到的馬爾可夫鏈下估計(jì)的時(shí)間的數(shù)組，通過(guò)方程式（13）來(lái)計(jì)算Pearson相關(guān)系數(shù)和Spearman系數(shù)，分析不同感染率與恢復(fù)率下的相關(guān)性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

r=N∑xi×yi-∑xi∑yiN∑x2i-（∑xi）2×N∑y2i-（∑yi）2r=∑i （xi-）（yi-）∑i （xi-）2∑i （yi-）2（13）

通過(guò)圖4可以看到，SIR模型下，當(dāng)感染率與恢復(fù)率發(fā)生變化時(shí)，真實(shí)傳播時(shí)間與估計(jì)時(shí)間的相關(guān)性得分很高，均在0.80以上?？梢哉f(shuō)明，通過(guò)馬爾可夫鏈估計(jì)時(shí)間能夠代表不同子種群感染的先后順序。

4.3 真實(shí)航空網(wǎng)上和人造網(wǎng)絡(luò)完整快照的傳播溯源結(jié)果

本節(jié)使用真實(shí)航空數(shù)據(jù)構(gòu)建的美國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)（American airlines network，AAN）和四種常用的人造網(wǎng)絡(luò)（規(guī)則網(wǎng)絡(luò)RG、ER網(wǎng)絡(luò)、WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)）進(jìn)行傳播過(guò)程仿真。美國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)中，知道網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，包括子人口?guī)模和旅行人數(shù)和旅客的城市人口。人造網(wǎng)絡(luò)中，本文依據(jù)美國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)中的遷移率分布等信息，參考文獻(xiàn)［37］構(gòu)造出了對(duì)應(yīng)的人造網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于傳播源子種群的篩選，本實(shí)驗(yàn)中選擇了低于平均度的子種群占40%，高于平均度的子種群占60%；同時(shí)，低于人口平均數(shù)和高于人口平均數(shù)的子種群均約占50%。考慮到不同算法是溯源條件不同，選擇與本文算法與溯源條件相同的算法如謠言中心性算法［30］、RIA算法［31］、STC算法［35］、CNCA算法［36］、有效距離溯源［38］、K-center算法［39］進(jìn)行比較，通過(guò)不同算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)分析本文算法的準(zhǔn)確率。

在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)置感染概率β=0.3、恢復(fù)概率γ=0.2進(jìn)行流行病的傳播仿真。持續(xù)時(shí)間t是依據(jù)傳播范圍進(jìn)行選擇的整數(shù)。對(duì)于整個(gè)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)對(duì)感染規(guī)模的估計(jì)，當(dāng)所有子種群均出現(xiàn)感染者時(shí)，停止感染仿真，并獲取這個(gè)時(shí)候的快照。依據(jù)此時(shí)的快照數(shù)據(jù)，對(duì)不同算法的溯源準(zhǔn)確率和誤差距離進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下。

為了直觀地表示本文算法的準(zhǔn)確率，給出了圖5和6的實(shí)驗(yàn)圖。

在圖5（a）、圖6（a）中，本文算法的準(zhǔn)確率在80%以上，具備較高的準(zhǔn)確率；而其他對(duì)比算法的準(zhǔn)確率較低。常用的統(tǒng)計(jì)方式還有溯源誤差距離，本文統(tǒng)計(jì)了真實(shí)傳播源頭和推斷源頭之間的距離，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5（b）、圖6（b）所示。在圖5（b）、圖6（b）中，本文算法的誤差距離在0.2跳以下，即真實(shí)的傳播源與推斷的傳播源之間的平均差距為0.2。STC算法利用了感染時(shí)間與路徑的相關(guān)性，誤差距離在0.7～0.9。而原始的反向感染算法、謠言中心性算法、K-center算法、有效距離的溯源算法的誤差距離在1.0～1.6，誤差大于本文算法。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法能夠減小溯源誤差距離。同時(shí)，考慮到同一個(gè)子種群在網(wǎng)絡(luò)的位置相同，那么它的溯源結(jié)果很有可能具有收斂的性質(zhì)，本文統(tǒng)計(jì)了相同子種群的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)90%左右的子種群在多次模擬中的結(jié)果收斂，10%左右的子種群實(shí)驗(yàn)結(jié)果不收斂。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，這些子種群的度值遠(yuǎn)大于平均度，從而在本實(shí)驗(yàn)中偶然性的影響下導(dǎo)致了實(shí)驗(yàn)結(jié)果不收斂。

在準(zhǔn)確率的測(cè)試中，本文算法取得了更好的準(zhǔn)確率。分析主要原因如下：本文算法考慮了子種群內(nèi)部的感染信息與未感染子種群的信息；其次，STC算法的表現(xiàn)優(yōu)于其他的算法，是因?yàn)槠淇紤]了節(jié)點(diǎn)感染先后順序和有效距離路徑的相關(guān)性；再次，其他算法幾乎只從傳播路徑的角度分析了傳播源，而沒(méi)有考慮復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播的更多信息，比如節(jié)點(diǎn)感染時(shí)間與節(jié)點(diǎn)感染先后順序。RC、RIA會(huì)考慮了感染節(jié)點(diǎn)與傳播路徑的關(guān)系；CNCA雖然考慮了多種中心性算法，但這些中心性算法之間本身就存在一定的耦合性；ED、K-center提出了設(shè)置有效距離的方法，但是對(duì)子種群本身的感染狀態(tài)等信息未加以利用。從結(jié)果上來(lái)看，本文算法可以利用復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的更多信息，從而能更準(zhǔn)確地推斷真正的傳播源。當(dāng)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的信息減少，比如，當(dāng)所有的子種群的人數(shù)進(jìn)行坍縮至1人時(shí)，復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)退化為普通的傳播網(wǎng)絡(luò)，此時(shí)，本文算法也會(huì)坍縮至RIA算法，從而會(huì)使實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確率下降。值得一提的是，當(dāng)將復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)看做普通網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其余算法的傳播溯源的結(jié)果仍能夠保持一定的準(zhǔn)確率，而當(dāng)復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)快照進(jìn)行減小時(shí)，本文算法的準(zhǔn)確率也會(huì)下降。復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法能夠提高溯源準(zhǔn)確率。接著，本文統(tǒng)計(jì)了不同算法在不同誤差距離的分布情況，得到的結(jié)果如圖7和8所示。

可以看到，本文算法90%以上的誤差為0，即找到了傳播源頭，而未找到傳播源頭時(shí)，誤差也在1跳內(nèi)。STC算法的誤差距離在0～2，也具備較高的準(zhǔn)確率。而其他算法的誤差距離多在1～2，誤差大于本文算法。RC、RIA、CNCA算法利用感染節(jié)點(diǎn)在感染快照中的位置來(lái)進(jìn)行傳播溯源，卻沒(méi)有考慮到復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，不同節(jié)點(diǎn)之間的距離與節(jié)點(diǎn)之間的遷移率存在關(guān)系；ED、K-center算法通過(guò)設(shè)置有效距離來(lái)進(jìn)行傳播溯源，考慮了遷移率的因素；STC算法使用節(jié)點(diǎn)感染順序與有效距離之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行傳播溯源，準(zhǔn)確率高于其他的算法；本文算法考慮了復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中的子種群內(nèi)部的信息，結(jié)合子種群在感染快照中的位置來(lái)進(jìn)行傳播溯源，相較于其他算法，結(jié)果有明顯的提升。在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，不同的子種群內(nèi)部感染人數(shù)和感染比例不同，那么處于子種群被感染的時(shí)間越久，那么該子種群是感染源的概率越大；該子種群所占的權(quán)重也應(yīng)當(dāng)越大。這是復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的特性，也是現(xiàn)實(shí)生活中個(gè)體的現(xiàn)實(shí)屬性，是如今的傳播溯源算法需要考慮的問(wèn)題。

4.4 真實(shí)航空網(wǎng)上部分快照的傳播溯源結(jié)果

對(duì)于信息獲取不完全的情況，通過(guò)隨機(jī)減少快照的比例來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。假設(shè)獲取快照的比例為20%、30%、50%、70%、100%時(shí)，本文算法的準(zhǔn)確率和誤差距離的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示。

在圖9中，可以看到，當(dāng)能夠獲取20%的感染快照時(shí)，本文算法已經(jīng)能夠達(dá)到20%左右的溯源準(zhǔn)確率，且誤差距離在1.0附近。在不同的復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)快照規(guī)模達(dá)到50%時(shí)，本文算法溯源準(zhǔn)確率已經(jīng)達(dá)到50%；當(dāng)獲取完整快照時(shí)，幾乎已經(jīng)能夠準(zhǔn)確找到所有感染源頭。圖9（a）（b）顯示了本文算法在獲取不同快照信息時(shí)的準(zhǔn)確率和誤差距離。隨著獲取信息的增加，準(zhǔn)確率在逐漸增加，誤差距離在逐漸減小。在不要求更高的準(zhǔn)確率時(shí)，部分快照的信息已經(jīng)能夠用來(lái)溯源；如果要求更高的準(zhǔn)確率，本文算法需要更準(zhǔn)確的快照。在不同的流行病的感染率、恢復(fù)率可能會(huì)不同。為了驗(yàn)證本文算法的魯棒性，本節(jié)在美國(guó)航空網(wǎng)絡(luò)（AAN）設(shè)置不同的感染率、恢復(fù)率進(jìn)行流行病傳播仿真，使用仿真結(jié)果進(jìn)行溯源實(shí)驗(yàn)，得到的結(jié)果如圖10所示。

圖10（a）（b）分別表示在AAN中的不同感染率、恢復(fù)的溯源結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，不論是在固定感染率并設(shè)置不同的恢復(fù)率，還是固定恢復(fù)率并設(shè)置不同的感染率的實(shí)驗(yàn)中，本文算法的準(zhǔn)確率均在80%以上，準(zhǔn)確率的分布相近。本文算法在不同的流行病參數(shù)下均表現(xiàn)出較高的準(zhǔn)確率，表明其具有良好的擴(kuò)展性。

4.5 2022年上海市新冠疫情的傳播溯源結(jié)果

2020年3月份左右，上海市爆發(fā)了新冠疫情。本節(jié)收集了上海市16個(gè)區(qū)的感染數(shù)據(jù)。依據(jù)2022年4月5日至8日的數(shù)據(jù)，使用重力模型［40］進(jìn)行來(lái)模擬人口流動(dòng)，當(dāng)人口變化保持穩(wěn)定時(shí)，構(gòu)造出的上海市的網(wǎng)絡(luò)如圖11所示。使用本文算法進(jìn)行傳播溯源。不同區(qū)的得分如圖12所示。

在圖12中可以看到，從2022年4月5日至8日，浦東區(qū)的得分均為最高，從而推斷浦東區(qū)為傳播源頭。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了流行病在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)中的傳播，通過(guò)分析不同子種群的感染規(guī)模及狀態(tài)來(lái)進(jìn)行傳播源檢測(cè)的問(wèn)題。結(jié)合RIA算法以及流行病在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性，本文考慮了復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)與普通網(wǎng)絡(luò)的區(qū)別、流行病傳播的馬爾可夫鏈、時(shí)間變化等因素，提出了一種適合復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)的傳播溯源算法。在幾個(gè)不同的網(wǎng)絡(luò)上評(píng)估了本文算法的性能。仿真結(jié)果表明，該算法在傳播源檢測(cè)問(wèn)題上表現(xiàn)良好。同時(shí)，當(dāng)實(shí)驗(yàn)只能獲取部分快照時(shí)，本文算法也表現(xiàn)出了良好的準(zhǔn)確率。本文算法考慮了子種群內(nèi)部的感染信息與未感染子種群的信息，以及考慮了感染快照的路徑信息。其次，STC算法的表現(xiàn)優(yōu)于其他的算法，是因?yàn)槠淇紤]了節(jié)點(diǎn)感染先后順序和有效距離路徑的相關(guān)性。再次，其他算法幾乎只從傳播路徑的角度分析了傳播源，而沒(méi)有考慮復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播的更多信息，比如節(jié)點(diǎn)感染時(shí)間與節(jié)點(diǎn)感染先后順序。值得注意的是，其他算法幾乎沒(méi)有依賴于網(wǎng)絡(luò)的特殊性，所以這些方法在許多網(wǎng)絡(luò)上均具備一定的魯棒性，而本文算法則更加依賴復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)上的快照的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這將直接與本文算法的準(zhǔn)確率相關(guān)聯(lián)。作為進(jìn)一步的研究，有三個(gè)方向值得探索。a）通過(guò)真實(shí)傳播時(shí)間與馬爾可夫鏈下估計(jì)的時(shí)間的相關(guān)性分析，本文發(fā)現(xiàn)在復(fù)合種群網(wǎng)絡(luò)模型中，給定感染率與恢復(fù)率，流行病的傳播先后順序能夠進(jìn)行估計(jì)。如果能夠準(zhǔn)確地估計(jì)不同子種群的傳播時(shí)間，或許能夠更加準(zhǔn)確地識(shí)別傳播源。b）到目前為止，本文已經(jīng)得出了SIR模型下的單一信息源的方法，將它擴(kuò)展到其他模型下的多信息源檢測(cè)，對(duì)它們進(jìn)行擴(kuò)展是很有意義的。c）當(dāng)快照足夠完整時(shí)，如果能夠準(zhǔn)確估計(jì)傳播時(shí)間，那么新的方法或許能夠不依賴于傳播路徑，即能夠在時(shí)變網(wǎng)絡(luò)等模型下進(jìn)行傳播溯源。

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收稿日期：2023-02-07；修回日期：2023-04-06? 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（62173065）

作者簡(jiǎn)介：陽(yáng)成（1996-），男，四川綿陽(yáng)人，碩士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)；王建波（1980-），男（通信作者），四川成都人，講師，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)（phyjbw@gmail.com）；許小可（1979-），男，遼寧人，教授，博導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)樯缃痪W(wǎng)絡(luò)大數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)可視化、計(jì)算傳播學(xué)；杜占瑋（1988-），男，河北人，副研究員/研究助理教授，博導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算流行病學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)、數(shù)據(jù)科學(xué).