關(guān)燕鵬 李子鳴 賈新春

摘 要：針對鯨魚優(yōu)化算法（WOA）在解決高維、多峰、最優(yōu)值非原點等問題時存在的收斂精度低、易被局部最優(yōu)捕獲等缺陷，提出了一種基于多維度變異學習與收散歸優(yōu)的鯨魚優(yōu)化算法（MLDOWOA）。首先，引入自適應(yīng)權(quán)值以及優(yōu)勢個體干擾動態(tài)調(diào)整個體螺旋包圍的方向，提高了算法的全局搜索能力和收斂精度；然后提出多維度變異學習機制對種群變異方向進行自適應(yīng)規(guī)劃，進一步擴大了算法的搜索范圍；最后引入收散歸優(yōu)機制協(xié)調(diào)了搜索步長，幫助種群突破了中后期搜索停滯的局限。通過8個高維基準函數(shù)和4個固定維基準函數(shù)對MLDOWOA算法進行測試，結(jié)果表明同基本算法WOA、SSA以及改進的ACWOA、AWOA、MSIWOA、ADWOA相比，該算法在收斂精度和應(yīng)對高維函數(shù)的能力上具有顯著的優(yōu)越性。將該算法應(yīng)用于FOPID控制器的參數(shù)整定，并將實驗結(jié)果同近年來該工程問題的研究成果進行對比分析，證明了該算法在FOPID參數(shù)整定問題中具有卓越的性能。

關(guān)鍵詞：鯨魚優(yōu)化算法； 自適應(yīng)權(quán)值； 優(yōu)勢個體干擾； 多維度變異學習； 收散歸優(yōu)； FOPID控制器

中圖分類號：TP301.6?? 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）09-018-2674-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0049

Whale optimization algorithm based on multi-dimensional variationlearning and distributed optimization

Guan Yanpeng， Li Ziming， Jia Xinchun

（School of Automation & Software Engineering， Shanxi University， Taiyuan 030031， China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of low convergence accuracy and easy to be captured by local optimum when whale optimization algorithm（WOA） solved problems such as high dimension， multi-peak and non-origin of optimal value， this paper proposed a whale optimization algorithm based on multi-dimensional variation learning and distributed optimization（MLDOWOA）. Firstly， this algorithm introduced adaptive weights and dominant individual interference to dynamically adjust the direction of individual spiral surround， which improved the global search ability and convergence accuracy of the algorithm. Then， in order to further expand the search range of the algorithm， it used a multi-dimensional variation learning mechanism to adaptively plan the direction of population variation. Finally， it put forward the distributed optimization mechanism to coordinate the step size of search， so as to help the population break through the limitation of search stagnation in the middle and late stage. The test results on 8 high dimensional benchmark functions and 4 fixed dimensional benchmark functions show that， compared with the basic WOA， SSA and the improved ACWOA， AWOA， MSIWOA， ADWOA， the MLDOWOA has significant advantages in convergence accuracy and ability to cope with high dimensional functions. This paper used the MLDOWOA to tune the parameters of the FOPID controller， and compared the control results with the research results of this engineering problem in recent years. It proves the excellent performance of the proposed algorithm in FOPID parameter tuning problems.

Key words：whale optimization algorithm; adaptive weights; dominant individual interference; multi-dimensional variation learning; distributed optimization; FOPID（fractional order PID） controller

0 引言

群智能算法通過模擬自然界中生物種群的追捕、運動、等級機制、晉級與淘汰機制等構(gòu)造出多種搜索優(yōu)化方法。群智能優(yōu)化算法有較強的穩(wěn)定性和自組織性，已被廣泛用來解決高維和目標函數(shù)非凸等復雜優(yōu)化問題［1］。鯨魚優(yōu)化算法（WOA）是由Mirjalili等人［2］通過模擬鯨魚捕食行為提出的一種新型元啟發(fā)式算法，由于結(jié)構(gòu)簡單、兼容性強等優(yōu)點在解決工程實際問題中有著出色的表現(xiàn)。Abbas等人［3］將WOA應(yīng)用于圖像的特征選擇，相較于傳統(tǒng)方法更大程度地降低了訓練模型的復雜度。Falehi等人［4］將WOA用于優(yōu)化SOSMC抑制器在抑制電力系統(tǒng)區(qū)域振蕩過程中的不確定參數(shù)。Liu等人［5］通過WOA幫助聚類技術(shù)尋找最優(yōu)聚類方案，提高了無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)質(zhì)量。然而，WOA在應(yīng)對復雜多變工況下的實際問題時，存在收斂精度低、容易落入局部最優(yōu)等缺陷。為此，黃清寶等人［6］提出一種同步余弦慣性權(quán)值與多項式變異策略，提高了算法的搜索精度和跳出局部最優(yōu)的能力；Saafan等人［7］通過WOA移動策略與樽海鞘群算法移動策略靈活切換有效地解決了算法陷入局部最優(yōu)的問題。

以上所述的改進對WOA的搜索性能雖然有一定的提升，但改進后的算法仍存在因為步長受限導致中后期搜索停滯、局部搜索不充分等問題。本文基于WOA本身存在的缺陷提出了一種基于維度變異學習與收散歸優(yōu)的鯨魚優(yōu)化算法。a）引入自適應(yīng)權(quán)值以及優(yōu)勢個體干擾提高了算法的全局搜索能力以及收斂精度；b）引入多維度變異學習機制進一步擴大了搜索范圍；c）引入收散歸優(yōu)機制協(xié)調(diào)了種群的移動步長，幫助算法突破中后期搜索停滯的局限。

3 實驗分析

3.1 實驗函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

為了驗證MLDOWOA的性能，本文將MLDOWOA同WOA、混合策略改進鯨魚算法（MSIWOA）［11］、自適應(yīng)動態(tài)鯨魚優(yōu)化算法（ADWOA）［12］、自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法（AWOA）［13］、人工蜂群混合鯨魚優(yōu)化算法（ACWOA）［14］、麻雀算法（SSA）［15］對于12個不同類型測試函數(shù)的搜索結(jié)果進行比較分析，其中不定維單峰函數(shù)、不定維多峰函數(shù)以及固定維多峰函數(shù)分別如表1～3所示。

3.2 變異學習參數(shù)分析

為了確定合適的變異概率，保證充分發(fā)揮變異性能的同時避免冗余計算，本文分別選擇單峰函數(shù)F4和多峰函數(shù)F5對MLDOWOA在變異概率分別為0.1、0.4、0.7和1情況下測試結(jié)果的平均值（ave）、標準差（std）以及程序運行時長（time）進行分析，問題維度選擇為500維，其余參數(shù)設(shè)置與3.4節(jié)一致，測試結(jié)果如表4所示。

通過表4所示的測試結(jié)果容易發(fā)現(xiàn)，當變異概率從0.1升高到0.4時，高維函數(shù)F4和F5性能指標的平均值和標準差都發(fā)生了明顯下降，表明變異概率的升高顯著提升了算法的搜索精度，隨著變異概率從0.4上升到0.7，以及從0.7上升到1，算法的精度未發(fā)生明顯變化。變異概率的升高同樣導致了程序運行時間的延長，因此為同時保證變異充分性以及減少變異帶來的冗余計算量，本文設(shè)置變異概率為0.4。

3.3 精度與搜索范圍分析

優(yōu)化問題的目的是搜索目標的最優(yōu)值，而測試函數(shù)的理論最優(yōu)值是先驗確定的，因此本文利用個體各維度與理論最優(yōu)相應(yīng)維度位置間距離的變化來分析種群在迭代過程中的搜索精度以及種群的搜索范圍。設(shè)維度j上的距離表達式如式（19）所示。

disj=|XT*j-Xj|（19）

其中：XT*j表示維度j上的理論最優(yōu)位置。選擇MLDOWOA與WOA對30維函數(shù)F5進行測試，j設(shè)置為1，計算dis1，繪制圖像如圖4所示。

從圖4可以看出，WOA得到的dis1值在中后期保持在一個小范圍中，表明其中后期搜索范圍較小，種群趨于集中，且最小值未突破10-4，表明該算法在中后期由于步長受限陷入搜索停滯。得益于收散歸優(yōu)機制產(chǎn)生的豐富而精細的步長，MLDOWOA在迭代中后期擺脫了搜索停滯并持續(xù)突破最小值，達到了10-10，表明MLDOWOA搜索到的最優(yōu)值比WOA更接近理論最優(yōu)值。一系列分布于100～102的距離值表明，收散因子使得個體取得了在中后期搜索最優(yōu)值外圍空間的能力，提高了算法在中后期跳出局部最優(yōu)的能力。證明本文策略在提高算法精度的同時減緩了種群過度集中的趨勢。

3.4 各算法性能對比

此處設(shè)置種群個數(shù)N=50，最大迭代次數(shù)max_t=500，為了測試算法應(yīng)對高維問題時的表現(xiàn)，設(shè)置函數(shù)維度為30、100和500。各算法的參數(shù)設(shè)置如表5所示，每個算法獨立運行30次，對得到的結(jié)果分別計算平均值（ave）和標準差（std）作為各算法搜索精度和穩(wěn)定性的評價指標，得到的算法測試結(jié)果如表6～8所示。

所有的仿真實驗均在CPU：AMD Ryzen 3 2200U with Radeon Vega Mobile Gfx、2.50 GHz主頻的計算機設(shè)備上實現(xiàn)，軟件環(huán)境為MATLAB R2018b（64 bit）。

通過分析表6和7容易發(fā)現(xiàn)，針對所給出的12個測試函數(shù)的測試結(jié)果，除ADWOA在最優(yōu)值為原點的函數(shù)F1～F3上的表現(xiàn)與MLDOWOA持平外，對于其余函數(shù)，MLDOWOA均取得了最小的平均值和標準差，并且對于測試函數(shù)F1～F12，MLDOWOA均收斂到了理論最優(yōu)值。對于500維的單峰函數(shù)F1～F4以及多峰函數(shù)F5～F8，算法精度分別達到了10-16和10-11，表明本文提出的策略顯著提高了算法的收斂精度和穩(wěn)定性。

隨著維度的升高，除MLDOWOA和ADWOA對函數(shù)F1～F3的優(yōu)化結(jié)果未受影響外，其他函數(shù)的測試性能都表現(xiàn)出不同程度的下降，對于多峰函數(shù)F6，維度升高導致ACWOA和AWOA測試結(jié)果的標準差從10-1和10-2上升至102和103，這兩種算法開始變得不穩(wěn)定。反觀MLDOWOA，雖然其搜索性能也有所下降，但是對于高維函數(shù)F6仍能夠在30次獨立搜索中每次都得到測試函數(shù)的理論最優(yōu)值，標準差從10-12上升至10-3，仍然遠小于其他算法。這表明MLDOWOA在優(yōu)化低維和高維函數(shù)時都擁有較高的收斂精度。

通過每個算法經(jīng)過30次獨立實驗得到的迭代過程適應(yīng)度均值繪制平均收斂曲線，其中部分曲線如圖5和6所示。由圖5、6可以看出，在優(yōu)化多峰函數(shù)F5上，WOA、ADWOA、MSIWOA算法均陷入局部最優(yōu)且未能跳出，而除MLDOWOA之外的其余算法在跳出局部最優(yōu)之后由于步長受限導致搜索停滯。通過觀察MLDOWOA的收斂曲線容易發(fā)現(xiàn)，迭代過程優(yōu)化曲線在前期出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，表明MLDOWOA依靠維度變異學習機制和收散歸優(yōu)機制跳出了局部最優(yōu)。對于100維函數(shù)F5，MLDOWOA在第73次迭代跳出局部最優(yōu)，并分別在第104次和第165次迭代追上并超越ACWOA和SSA；對于最優(yōu)值非原點單峰函數(shù)F4，MLDOWOA由于加入了優(yōu)勢個體干擾來增強搜索充分性，減緩了前期種群向最優(yōu)位置聚集的速度，所以在前期的收斂速度略慢于ACWOA和SSA。但是，對于低維度和高維度的函數(shù)F4，MLDOWOA均取得了最高的收斂精度；對于100維函數(shù)F4，MLDOWOA分別于第76次和第129次迭代追上并超越了ACWOA和SSA，并且其收斂曲線在迭代全程以穩(wěn)定的速度持續(xù)下降，這表明引入到局部搜索策略中的自適應(yīng)權(quán)值以及收散歸優(yōu)因子使算法得到了隨迭代靈活變化的搜索步長，使得本文算法在迭代中后期能夠穩(wěn)定精細地搜索，推動算法最終以高精度收斂到全局最優(yōu)值。

3.5 FOPID參數(shù)整定

FOPID控制器是控制領(lǐng)域一種有著優(yōu)秀控制性能的模型，相較于傳統(tǒng)PID，F(xiàn)OPID將模型參數(shù)拓展到了五個，即在原基礎(chǔ)上將積分和微分的階次推廣到了分數(shù)階，從而擴大了PID模型性能的調(diào)整空間，使控制參數(shù)的調(diào)節(jié)具有了更高的靈活性；與此同時，控制參數(shù)的增加也帶來了更高的設(shè)計難度。其傳遞函數(shù)表達式如式（20）所示。

G（s）=Kp+KIsλ+KDsμ（20）

其中：λ為積分階次；μ為微分階次。

為了測試MLDOWOA在實際應(yīng)用中的性能，本文以尋找一組FOPID中的最優(yōu)控制參數(shù)［KP，KI，KD，λ，μ］為目標，進行優(yōu)化模型的搭建和測試。以找到控制偏差最小的控制模型為目標，優(yōu)化模型的適應(yīng)度函數(shù)Q設(shè)置為響應(yīng)過程產(chǎn)生的誤差總和，如式（21）所示。

Q=∫∞0e（t）dt（21）

算法優(yōu)化FOPID參數(shù)的控制框圖如圖7所示。

本文設(shè)置參數(shù)的取值范圍為：KP∈［0，200］，KI，KD∈［0，100］， λ，μ∈［0，2］，設(shè)置粒子數(shù)為N=6，待優(yōu)化問題的維數(shù)為m=5，最大迭代次數(shù)為max_t=10。在執(zhí)行變異時，由于各參數(shù)的取值范圍存在差異，無法直接進行替換，所以在變異之前對維度位置進行歸一化之后再執(zhí)行變異，其表達式為

Xi，j2=Xi，j1-lbj1ubj1-lbj1×（ubj2-lbj2） +lbj2（22）

其中：lb與ub分別為優(yōu)化問題的下界和上界；j1與j2分別為主動維度與被動維度索引。

選擇一個典型的二階被控系統(tǒng)為

Gp（s）=14.32s2 + 19.1810s+1（23）

文獻［16］采用人工蜂群算法（ABC）設(shè)計的FOPID控制器為

CABC（s）=179.8920+12.4811s-0.5822+50.300s0.7501

文獻［17］利用自適應(yīng)布谷鳥算法（CS）設(shè)計的FOPID控制器為

CCS（s）=78.9279+80.7954s-0.3215+88.4179s0.6843

文獻［18］通過改進麻雀算法設(shè)計的FOPID控制器為

CISSA（s）=148.8479+20.9524s-0.2825+76.4190s0.7843

本文通過MLDOWOA算法整定得到的控制器為

CMLDOWOA （s）=183.6831+69.30168s-0.1184+65.83443s0.8888

以上得到的四個控制器對被控系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖8所示，對每個控制器對應(yīng)算法的優(yōu)化實驗獨立進行30次，取其響應(yīng)曲線的性能指標——上升時間tr、總誤差值Q、調(diào)節(jié)時間ts、超調(diào)量σ的平均值作為實驗結(jié)果，計算調(diào)節(jié)時間的誤差帶選擇為Δ=0.02。系統(tǒng)Gp（s）的指標如表9所示。

由圖8和表9所示可知，MLDOWOA設(shè)計的控制器滿足系統(tǒng)的響應(yīng)要求，在系統(tǒng)響應(yīng)曲線的四個指標上均取得了優(yōu)于文獻［16～18］中提出的控制器結(jié)果，保證了控制效果的快速性、準確性和穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

為了彌補鯨魚優(yōu)化算法搜索不充分、收斂精度低、缺乏跳出局部最優(yōu)的能力等不足，本文將自適應(yīng)權(quán)值以及優(yōu)勢個體干擾引入局部搜索策略，彌補了原算法搜索方向單一的缺陷；同時提出了一種多維度變異學習機制以及收散歸優(yōu)機制，為中后期的種群提供了更廣的可到達區(qū)域和更高的搜索精度，幫助算法突破了后期搜索停滯的局限。通過對12個基準函數(shù)進行測試表明，MLDOWOA能夠在30次獨立實驗中得到所有算法中最好的搜索結(jié)果，并且在應(yīng)對低維和高維函數(shù)時都表現(xiàn)出了優(yōu)秀的性能。將一個典型二階系統(tǒng)作為被控系統(tǒng)，利用MLDOWOA進行FOPID控制器的參數(shù)整定實驗，驗證了MLDOWOA所設(shè)計控制器的優(yōu)越性，其在調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量、總誤差等方面具有明顯的優(yōu)勢。下一步研究重點是將MLDOWOA應(yīng)用于多目標問題，并將其應(yīng)用拓展到圖像識別、數(shù)據(jù)分析、工程建模等工程問題中。

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收稿日期：2023-02-15；修回日期：2023-04-06? 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61973201）；山西省科技廳資助項目（202103021224030）；山西省省籌資金資助回國留學人員科研項目（2022-009）

作者簡介：關(guān)燕鵬（1984-），男（通信作者），山西澤州人，副教授，碩導，博士，CCF會員，主要研究方向為網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)、智能計算與機器學習（y.guan@sxu.edu.cn）；李子鳴（1999-），男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向為智能計算與機器學習；賈新春（1964-），男，山西大同人，教授，博導，博士，主要研究方向為網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)與智能控制．