潘勇博 張 紅 馮 定 馮 云

(長江大學(xué)機械工程學(xué)院；湖北省油氣鉆完井工具工程技術(shù)研究中心)

0 引 言

石油鉆探行業(yè)中，隨著技術(shù)的不斷進步，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆具已成為相關(guān)工作者的最佳選擇之一[1-2]。造斜率作為導(dǎo)向鉆具的一個重要參數(shù)，常被用于衡量導(dǎo)向鉆具的造斜能力。實際鉆探過程中，造斜率影響因素眾多，如地層硬度、鉆頭、導(dǎo)向工具結(jié)構(gòu)[3]、溫度及壓力等。迄今為止，在無數(shù)學(xué)者的不懈努力下，已經(jīng)涌現(xiàn)出許多造斜率預(yù)測法。比較有代表性的有H.KARLSSON等[4-5]于1985年提出的三點定圓法、M.BIRADES等[6-7]于1989年提出的平衡曲率法、蘇義腦[8]于1992年提出的極限曲率法。此外，還有修正的三點定圓法[9-10]、鉆頭與地層相互作用理論[11]和回歸分析法[12]等也能較好地預(yù)測造斜率。幾何預(yù)測法雖然計算簡單，但是僅考慮了鉆具組合的幾何結(jié)構(gòu)，忽略了地層因素和工具材料的影響，預(yù)測精度已遠遠不能滿足當今的生產(chǎn)需求。與幾何預(yù)測法相比，力學(xué)預(yù)測法的預(yù)測精度有了大幅度提升，但計算復(fù)雜度要遠遠高于其他預(yù)測法。而回歸分析法中的Kriging代理模型預(yù)測法能夠通過已有的鉆井數(shù)據(jù)構(gòu)建一個響應(yīng)面模型，用該模型對目標點進行插值計算[13-14]，獲取目標點處的預(yù)測造斜率，以此來指導(dǎo)鉆井作業(yè)。前期研究發(fā)現(xiàn)[15-16]，Kriging代理模型能夠高效地處理“多變量單響應(yīng)”問題，且預(yù)測精度要優(yōu)于一階多項式模型、二階多項式模型以及RBF模型，對于鉆探行業(yè)中多因素影響下的造斜率預(yù)測具有較好的預(yù)測結(jié)果。

本文在前期對于Kriging代理模型研究的基礎(chǔ)上，將統(tǒng)計學(xué)中相關(guān)性這一概念加以運用，以便提高Kriging代理模型的預(yù)測精度?；谒拇ㄊ∧尘毋@井參數(shù)，計算造斜率與各個影響因素之間的相關(guān)系數(shù)，剔除相關(guān)系數(shù)處于(-0.2，0.2)區(qū)間內(nèi)的“無關(guān)因素”后，用剩余的影響因素(敏感因子)再次進行數(shù)據(jù)擬合并進行造斜率預(yù)測，并與未經(jīng)數(shù)據(jù)處理的Kriging代理模型預(yù)測結(jié)果對比，結(jié)果顯示：剔除“無關(guān)因素”后的預(yù)測模型不僅能夠大幅度降低計算量，更能夠在原有預(yù)測模型的基礎(chǔ)上提高預(yù)測精度，在一定程度上降低鉆探過程中鉆頭偏離目標地層的風(fēng)險。

1 Kriging代理模型構(gòu)建

Kriging代理模型又被稱為Kriging響應(yīng)面模型，它的產(chǎn)生依賴于Kriging插值法。Kriging插值法是基于地理學(xué)第一定律所衍生出來的插值方法，核心思想是空間內(nèi)任何一點處的響應(yīng)值與其附近若干個已知點的響應(yīng)值有關(guān)，并且該點與已知點的相關(guān)程度與距離有關(guān)[17-18]。此插值法可表示為：

(1)

式中：y(xi)表示第i個已知位置處每100 m的實際造斜率，(°)；λi表示第i個已知位置的造斜率對待估位置造斜率的影響程度，通常為距離的某種函數(shù)；y(x0)表示待估位置處每100 m造斜率的預(yù)測值，(°)。

為了得到待估點的預(yù)測造斜率y(x0)，必須求出系數(shù)λ。為此，引入統(tǒng)計學(xué)中“將未知函數(shù)看作是高斯靜態(tài)隨機過程的一個具體實現(xiàn)”的假設(shè)，此假設(shè)可表示為：

Y(x0)=m+p(x0)

(2)

式中：m為一個常數(shù)，它表示空間某個區(qū)域內(nèi)造斜率的數(shù)學(xué)期望，反映了待估造斜率的整體趨勢；p(x0)可以理解為待估位置處造斜率偏離其數(shù)學(xué)期望的程度，反映了待估造斜率的局部波動。實際問題中，p(x0)的數(shù)學(xué)期望為0，方差為σ2；Y(x0)表示目標位置每100 m造斜率預(yù)測值，(°)。

由地理學(xué)第一定律可知，一定范圍內(nèi)，空間內(nèi)不同位置處的響應(yīng)值(本文釋義為造斜率影響因素的不同取值組合所對應(yīng)的造斜率)具有一定的相關(guān)性，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中協(xié)方差相關(guān)理論不難得出：

(3)

即

Cov[p(x0)，p(x1)]=σ2R(x0，x1)

(4)

式(4)中，變量R表示影響因素的不同取值組合所對應(yīng)的造斜率的相關(guān)程度，常用高斯指數(shù)模型來擬合。

為使造斜率預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度，Kriging插值法要求預(yù)測結(jié)果的均方誤差SMSE最小，即求出合適的權(quán)重系數(shù)，使得下式取到最小值：

SMSE[y(x0)]=E{[y(x0)-Y(x0)]2}

(5)

(6)

經(jīng)過運算，最優(yōu)權(quán)重系數(shù)λi可由矩陣形式的線性方程組求出：

(7)

為方便表述，將式中：

記為矩陣R，R為對稱矩陣。

將(1 1 … 1)T記為矩陣M；將(R(x1，x0)，R(x2，x0) …R(xn，x0))T記為矩陣r；將(λ1λ2…λn)T記為矩陣λ；于是上式變?yōu)椋?/p>

(8)

即有：

(9)

將式(9)代入Kriging插值法的定義式，即可得到：

(10)

式中：y=(y1，y2，…，yn)T。

進一步簡化后可寫為：

rTR-1{y-[(MTR-1M)TMTR-1y]M}

(11)

在最終表達式中，除了矩陣r以外的所有參數(shù)僅與訓(xùn)練樣本有關(guān)，在實際使用過程中可在首次計算完成之后將訓(xùn)練好的造斜率預(yù)測模型存儲下來。預(yù)測不同待估點造斜率時僅需計算并代入矩陣r即可得到造斜率預(yù)測值。

2 造斜率預(yù)測模型優(yōu)化

前期研究的Kriging代理模型在預(yù)測造斜率前僅對獲取到的造斜率影響因素與實際造斜率進行擬合，并未對數(shù)據(jù)進行任何處理。在前期研究中雖已驗證Kriging代理模型的預(yù)測精度要優(yōu)于一階多項式模型、二階多項式模型以及RBF模型，但在鉆探行業(yè)不斷發(fā)展的今天，井眼軌跡的控制面臨著更大的挑戰(zhàn)，基于Kriging代理模型的造斜率預(yù)測精度仍有待提高。

在實際問題中，多因素問題比比皆是，如農(nóng)作物產(chǎn)量、電子產(chǎn)品使用壽命、鉆井時實際造斜率等。而各個因素對于響應(yīng)值的影響效果各不相同，甚至有些因素對于響應(yīng)值幾乎沒有影響。在信號處理中由于噪聲信號的存在使得人們很難獲取期望的輸出，在造斜率預(yù)測方面也存在相似問題，即鉆井作業(yè)時，影響實際造斜率的因素眾多，如鉆頭側(cè)向力、鉆頭偏轉(zhuǎn)角以及鄰井造斜率等。在獲取的初始數(shù)據(jù)中，有些影響因素對造斜率的影響效果較為顯著；而有些因素對于造斜率的影響甚微，倘若將這些“噪聲因素”也作為回歸擬合的自變量之一進行數(shù)值計算，不僅不能得到精準的擬合方程，甚至?xí)箻颖军c變得更加離散。因此，考慮剔除相關(guān)系數(shù)過低的因素，用剩下的敏感因子進行數(shù)據(jù)擬合并進行插值計算，以獲取精度更高的造斜率預(yù)測模型。

2.1 現(xiàn)場數(shù)據(jù)預(yù)處理

構(gòu)建造斜率預(yù)測模型時，有些因素的取值普遍較小，而有些因素的取值普遍較大。輸入的各個影響因素的數(shù)量級可能會影響造斜率預(yù)測精度，為了降低由各因素的數(shù)量級帶來的誤差，本文采用MinMaxScaler法對造斜率影響因素的實鉆數(shù)據(jù)進行歸一化處理，使所有數(shù)據(jù)均分布于區(qū)間[0，1]。MinMaxScaler歸一化的計算式為：

(12)

式中：x′為經(jīng)過歸一化處理后的變量；x為變量初始值；xmax、xmin分別為初始變量中的最大值和最小值。

2.2 現(xiàn)場數(shù)據(jù)相關(guān)性分析及數(shù)據(jù)加權(quán)變換

造斜率影響因素眾多，通過已知鉆井數(shù)據(jù)求出各個因素與實際造斜率間的相關(guān)系數(shù)，分析實際造斜率對各個影響因素的敏感程度。變量間的相關(guān)系數(shù)有多種定義方式，如Pearson相關(guān)系數(shù)、Spearman相關(guān)系數(shù)等。本文采用Pearson相關(guān)系數(shù)，其計算式為：

(13)

式中：rX，Y為某個影響因素X與造斜率Y之間的相關(guān)系數(shù)，取值范圍為[-1，1]，其絕對值越接近1，表示2個變量X、Y之間的線性相關(guān)程度越高；Cov(X，Y)為變量X、Y間的協(xié)方差；E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y)分別為變量X、變量Y的均值和方差。

利用Pearson相關(guān)系數(shù)評估各個影響因素與造斜率之間的相關(guān)性，依據(jù)相關(guān)程度表[19]剔除相關(guān)系數(shù)處于(-0.2，0.2)間的無關(guān)變量，將其余的變量作為敏感因子，分別按下式進行加權(quán)處理。

(14)

式中：r(x，i)y為第i個影響因素與實際造斜率之間的相關(guān)系數(shù)；n為參與構(gòu)建預(yù)測模型的敏感因子個數(shù)；xi0為第i個未經(jīng)加權(quán)處理的敏感因子；xi為第i個加權(quán)處理后的敏感因子。

不同相關(guān)系數(shù)對應(yīng)的相關(guān)程度如表1所示。

表1 不同相關(guān)系數(shù)對應(yīng)的相關(guān)程度Table 1 Correlativity corresponded by different correlation coefficients

2.3 造斜率預(yù)測精度評估標準

一個預(yù)測精度不足的模型對于實際生產(chǎn)需求毫無意義，因此，如何選取一個合適的標準來評判預(yù)測精度顯得尤為重要。本文由于樣本點較少，使用單個指標來評判Kriging模型的預(yù)測精度時，會因為個別特殊樣本點的存在使得預(yù)測結(jié)果缺少可信度。為了克服這個缺點，本文繼續(xù)采用文獻[16]中的3個預(yù)測指標(均方根誤差(ERMS)、最大絕對誤差(EMA)和平均絕對誤差(EAA))綜合評判預(yù)測模型的精度，計算式為：

(15)

用這3個誤差的均值作為最終衡量依據(jù)，誤差越小則預(yù)測模型的精度越高。

3 案例分析

為了驗證相關(guān)性分析后的Kriging代理模型能否提高造斜率預(yù)測精度，采用文獻[20]中四川省某井段鉆井參數(shù)進行預(yù)測模型構(gòu)建。鉆井參數(shù)如表2所示。

表2 四川省某井段鉆井參數(shù)Table 2 Drilling parameters of a hole interval in the Sichuan Basin

部分鉆井參數(shù)示意圖如圖1所示。

圖1 部分鉆井參數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of some drilling parameters

圖1中，X、Z分別指向井眼軸線的切線方向和井眼高邊方向；X、Y、Z共同構(gòu)成笛卡爾坐標系，以此確定Y的指向；向量ef、er和ea分別指向鉆頭合力方向、實際鉆進方向和鉆具軸線方向；F為鉆頭側(cè)向力；αa為鉆頭偏轉(zhuǎn)角、αf為鉆頭合力角、αr為鉆進趨勢角。

3.1 鉆井參數(shù)預(yù)處理

為了降低由樣本數(shù)據(jù)分布區(qū)間差異造成的造斜率預(yù)測精度不足，采用MinMaxScaler法對樣本數(shù)據(jù)進行歸一化處理。由于對初始參數(shù)中鉆頭側(cè)向力、鉆頭偏轉(zhuǎn)角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜進行了歸一化變換，其物理意義已不再是對應(yīng)的鉆井參數(shù)，但在某種意義上能夠反映對應(yīng)的鉆頭側(cè)向力等鉆井參數(shù)。故將變換后的鉆頭側(cè)向力、鉆頭偏轉(zhuǎn)角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜分別記為X1、X2、X3、X4、X5。歸一化后的鉆井數(shù)據(jù)如表3所示。

3.2 鉆井數(shù)據(jù)相關(guān)性分析及加權(quán)變換

該數(shù)據(jù)集僅有26個樣本，為了同時實現(xiàn)模型構(gòu)建及造斜率預(yù)測，由程序隨機抽取其中22組數(shù)據(jù)構(gòu)建造斜率預(yù)測模型，用剩余的4個樣本檢驗?zāi)Ｐ偷木取Ｓ捎诓煌挠?xùn)練樣本得到的預(yù)測模型精度不同，重復(fù)試驗300次，選取預(yù)測精度最高的預(yù)測模型作為最終輸出結(jié)果。下文涉及到的計算數(shù)據(jù)為最優(yōu)預(yù)測模型對應(yīng)的計算結(jié)果。

首先運用統(tǒng)計學(xué)相關(guān)理論分析該數(shù)據(jù)中各個影響因素與造斜率之間的相關(guān)性，得出對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)性分析結(jié)果如表4所示。

表4 各影響因素與造斜率之間的相關(guān)性分析結(jié)果Table 4 Correlation analysis results between influential factors and build-up rate

表4中，相關(guān)系數(shù)表示各個影響因素與造斜率之間的相關(guān)性大小，其絕對值越接近1，表示相關(guān)程度越高[21-22]。

為了直觀地比較相關(guān)性分析結(jié)果，將表4中各個數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為柱狀圖，如圖2所示。從圖2可以直觀地看出，鉆頭偏轉(zhuǎn)角與造斜率之間的相關(guān)程度最低且相關(guān)系數(shù)僅為0.04，故可以將其看作“無關(guān)變量”處理。將該因素剔除后用剩余的4個敏感因子再進行模型構(gòu)建。此處結(jié)論與文獻[19]中基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法的分析結(jié)果一致。

圖2 各影響因素與造斜率之間的相關(guān)系數(shù)柱狀圖Fig.2 Correlation coefficients between influential factors and build-up rate

剔除了無關(guān)變量之后，將剩余的4個敏感因子X1、X3、X4及X5根據(jù)下式進行加權(quán)變換：

(16)

式中：X1、X3、X4及X5分別表示經(jīng)過加權(quán)變換后的4個敏感因子；X10、X30、X40及X50分別為對應(yīng)于X1、X3、X4及X5加權(quán)變換前的敏感因子。

對數(shù)據(jù)進行加權(quán)變換后即可代入數(shù)學(xué)軟件構(gòu)建預(yù)測模型。用于構(gòu)建預(yù)測模型的最終數(shù)據(jù)見表5。

表5 用于構(gòu)建預(yù)測模型的最終數(shù)據(jù)Table 5 Final data for building prediction model

3.3 造斜率預(yù)測及精度分析

為了做對照，本文先采用初始數(shù)據(jù)(5個影響因素)中22個樣本構(gòu)建Kriging代理模型，并將剩余4個樣本代入預(yù)測模型進行造斜率預(yù)測；隨后，用表5中經(jīng)過多種處理后的數(shù)據(jù)(剔除無關(guān)因素

并進行數(shù)據(jù)處理后的數(shù)據(jù)集)重復(fù)上述操作，并與未經(jīng)數(shù)據(jù)處理的預(yù)測模型進行預(yù)測值對比。由于撰寫需要，下文中的所有計算結(jié)果僅保留兩位小數(shù)。造斜率預(yù)測結(jié)果如圖3所示。

圖3 優(yōu)化前、后的Kriging法造斜率預(yù)測值Fig.3 Predicted values of build-up rate using Kriging method before and after optimization

從圖3可以看出，在4個用以測試的樣本點處，相較于使用初始數(shù)據(jù)進行模型構(gòu)建，經(jīng)過相關(guān)性分析后的Kriging代理模型能使造斜率預(yù)測值更接近實際值。其中，在各個用于測試的“待估點”處，造斜率預(yù)測偏差(預(yù)測值與真實值之差的絕對值)如圖4所示。

圖4 優(yōu)化前、后的Kriging法造斜率預(yù)測偏差Fig.4 Prediction deviations of build-up rate using Kriging method before and after optimization

從圖4可以看出，剔除“無關(guān)因素”之后構(gòu)建的Kriging代理模型的預(yù)測誤差要低于用原始數(shù)據(jù)構(gòu)建的Kriging代理模型。但實際造斜率越趨近于造斜極限，造斜率預(yù)測值偏離實際值的程度越大。究其原因，主要是訓(xùn)練樣本點過少，隨著越來越多高影響因素的加入，該模型的預(yù)測精度將會進一步提升。

由于待估點過少，僅采用待估點的預(yù)測偏差判斷模型優(yōu)劣可能會使試驗不具備說服性?？紤]到文獻[16]中使用了ERMS、EMA和EAA等3個指標來判斷模型的預(yù)測精度，本文繼續(xù)采用這3個指標，以此來增加試驗結(jié)果的可信度。試驗結(jié)果如圖5所示。

降低誤差等效于提升精度。為了更加直觀地看出此方法對預(yù)測模型預(yù)測精度的提升效果，將預(yù)測精度提升率(誤差的降低值與改進前的誤差值的比值)以百分比的形式表示，結(jié)果如圖6所示。

由圖5和圖6可以看出：剔除“無關(guān)因素”前均方根誤差、最大絕對誤差、平均絕對誤差及3種誤差平均值分別為2.51、4.28、2.07及2.95；剔除“無關(guān)因素”后均方根誤差、最大絕對誤差、平均絕對誤差及3種誤差平均值分別為2.17、3.79、1.71和2.56；相較于用初始數(shù)據(jù)構(gòu)建的Kriging代理模型，改進后模型的3種誤差RMSE、MAE及AAE分別降低了13.26%、11.53%和17.37%，3種誤差的平均值降低了13.39%。由此可知，剔除“無關(guān)”因素之后再構(gòu)建Kriging代理模型，預(yù)測誤差能降低13.39%，即預(yù)測精度能得到有效提升。

4 高精度Kriging預(yù)測模型應(yīng)用流程

任何工程研究起源于工程問題也要應(yīng)用于工程問題。實際鉆探過程中可以通過檢測鉆頭所在位置，從而得知井眼軌跡是否偏離了目標地層，然而這樣做的弊端也不容忽視，即當檢測到井眼軌跡偏離目標地層后，此時已釀成工程事故，工作人員能做的也僅僅是補救。

本文所探討的造斜率預(yù)測方法能夠在鉆井作業(yè)時實時預(yù)測下一時刻的造斜率，通過提前設(shè)置目標地層所在位置和傳感器返回的鉆具當前位姿，綜合計算鉆具鉆入目標地層所需的造斜率。在鉆頭側(cè)向力、鉆頭偏轉(zhuǎn)角、鉆頭合力角、鄰井造斜率以及初始井斜5個因素中，根據(jù)本文相關(guān)性分析結(jié)果，鉆頭偏轉(zhuǎn)角對實際造斜率影響相對較小，可不予考慮；對于一口確定的井來說，鄰井造斜率及初始井斜皆為常量，可根據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)給出；鉆頭側(cè)向力和鉆頭合力角可根據(jù)底部鉆具組合的力學(xué)特性[23-25]求出。本文主要研究造斜率預(yù)測模型精度的提升，對于力學(xué)參數(shù)的計算不展開討論。

高精度Kriging代理模型實際使用流程如圖7所示。鉆井作業(yè)時，在造斜率預(yù)測系統(tǒng)中可提前輸入鄰井造斜率及初始井斜，并實時計算鉆頭側(cè)向力、鉆頭合力角以及目標地層所需的造斜率(命名為計算造斜率)。用本文造斜率預(yù)測模型實時預(yù)測下一時刻的造斜率(命名為預(yù)測造斜率)，并與計算造斜率比較。以指向式導(dǎo)向工具為例，若預(yù)測造斜率小于計算造斜率，則需調(diào)節(jié)偏心環(huán)使其能夠提供更大的偏置力以增加工具的實際造斜率；若預(yù)測造斜率大于工具計算造斜率，則反之。預(yù)測模型的精度越高，工具準確鉆入目標地層的概率也就越大，在一定程度上能夠降低井眼軌跡偏離目標地層的風(fēng)險。

圖7 高精度Kriging代理模型實際使用流程圖Fig.7 Flow chart for actual use of high accuracy Kriging surrogate model

5 結(jié)論及認識

(1)Kriging代理模型最終表達式中，除了矩陣r以外的所有元素僅與訓(xùn)練樣本有關(guān)，在實際運用過程中可在首次計算完成之后將訓(xùn)練好的模型存儲下來，后續(xù)預(yù)測時僅需代入與待估點相關(guān)的矩陣r即可快速得出相應(yīng)的造斜率預(yù)測值，大大提高效率。

(2)雖然用于預(yù)測的輸入變量越多，預(yù)測精度越高，但這并不代表所有因素都應(yīng)被用于構(gòu)建預(yù)測模型，有些因素會使樣本點變得更加離散化，降低預(yù)測精度。因此，應(yīng)該恰當?shù)剡x擇合適的輸入因素，以獲得精度更高的預(yù)測模型。

(3)運用相關(guān)性分析求得訓(xùn)練樣本的造斜率與各個影響因素之間的相關(guān)系數(shù)，剔除相關(guān)性較低的數(shù)據(jù)能有效降低預(yù)測誤差。在本文所選數(shù)據(jù)中，3種誤差(ERMS、EMA和EAA)分別降低了13.26%、11.53%和17.37%，3種預(yù)測誤差平均降低了13.39%。

(4)建立的預(yù)測模型可適用于多領(lǐng)域中的多變量響應(yīng)問題，隨著訓(xùn)練樣本中具有較高相關(guān)性的參數(shù)增多，模型預(yù)測精度會進一步提高，井眼軌跡偏離目標地層的風(fēng)險也會進一步降低。

(5)下一步研究將考慮不同因素間交互效應(yīng)的影響，進一步提高預(yù)測精度。