王靈靈 (陜西省延安市宜川縣城關(guān)小學 716200)

在《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》中“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”是兩個主題,而在《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中將二者合并為一個主題,其主要目的在于促使學生理解算理與算法,探究二者之間的關(guān)系,并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學生的運算能力及推理意識。

一、以知識學習引導, 幫助學生理解算理意義

算理是數(shù)學運算的理論基礎(chǔ),其中涵蓋了數(shù)學的基本概念、公式與定理等,體現(xiàn)了運算的規(guī)律,表現(xiàn)為抽象的運算知識?？梢哉f,算理是具象化的運算過程與運算方法的基礎(chǔ)。算理能力培養(yǎng)的目標要求學生在運算的過程中,以算理為基礎(chǔ),選擇正確的運算方式并在運算的過程中發(fā)展自主分析問題與解決問題的能力。數(shù)學運算知識的學習、運算能力的培養(yǎng)都依賴于算理,算理具有抽象化的特征,體現(xiàn)了知識的本質(zhì)。在小學數(shù)學課堂教學中,教師應充分利用新舊知識之間的關(guān)聯(lián),引導學生在復習鞏固舊知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生對新知識的探究欲望,從而領(lǐng)略新舊知識的共同基礎(chǔ)——算理。該方法應用的目的在于將新舊知識對比后挖掘二者的共同點,達到既能降低學生學習難度又能提升學生對算理理解力的目的。

例如,在除法豎式運算的教學中,學生要學習兩位數(shù)除以一位數(shù)或者三位數(shù)除以一位數(shù)的除法應用。這一知識點的算理是除法的概念與意義,需要運用公式及口算的規(guī)則等。

除法是已知兩個因數(shù)的積與其中一個非零因數(shù),求另一個因數(shù)的運算,其基本的公式是:商=(除數(shù)≠0),在這個公式中,除數(shù)如果等于0,則公式就沒有意義;除法的意義是把一個單位平均分成多少份,每份有幾個這樣的單位,因此除法的本質(zhì)意義在于求平均數(shù)。據(jù)此,教師可以通過畫圖或者是實物操作的方式向?qū)W生解釋,除數(shù)等于零是無意義的。畫圖法便于學生理解及掌握除法的公式。

教師在教學中,從“分小棒”中引導學生復習鞏固舊知識。首先要求學生從9個小棒中一次分三個小棒,一共分三次。其次布置豎式運算例題=?教師利用舊知識講解每份6 個,36 分成幾份,在獲得正確答案后再追問學生兩個問題:如果將6改換成0,即表達什么意義? 為什么得到的商“6”寫在個位而不是十位上?

這兩個問題能引發(fā)學生對除法公式及除法意義的探討,其目的在于以算理的學習為除法運算的應用奠定基礎(chǔ)。教師通過學生的回答了解到學生所應用的運算方法,繼而與學生探究新舊知識共同所依據(jù)的運算算理,以便達到引導學生利用推理、對比理解算理的目的,為學生后續(xù)的算法學習與應用奠定基礎(chǔ)。

二、以算理為基礎(chǔ), 促進學生把握算法的應用

算法與算理是不同的,算法側(cè)重于表明數(shù)學運算規(guī)律,學習目標在于為數(shù)學運算方法的選擇與應用提供理論支持。學生可以在解決數(shù)學問題中,應用恰當?shù)倪\算順序、合理的運算邏輯來實施運算,以達到減少運算時間、提升運算效率的目的。當然,算理的理解與算法的掌握是統(tǒng)一的,二者的應用不僅有助于學生構(gòu)建系統(tǒng)化的知識框架,對于他們深入理解運算的相關(guān)知識,引導學生從理論的視角認知運算的本質(zhì),提高運算能力和運算精準度,在理解新知、創(chuàng)新學習方法等方面起到促進作用。

教師在教學中,以引導學生建立算理與算法之間的關(guān)聯(lián)理念為主要目標,需要以實際問題為載體。學生在應用算法分析與解決問題的過程中逐漸理解算理,通過掌握算理的方法將其應用到相同類型的數(shù)學問題中,舉一反三,同時強化了學生對算理與算法關(guān)系的認知與理解。在此過程中,學生能夠應用正確的運算方法,實現(xiàn)正確的運算步驟。

如在“小數(shù)乘整數(shù)”的課堂教學中,教師列出0.3×10=? 要求學生進行運算。學生應用的算法有兩種:一種是通過將0.3連加10次的方式得出結(jié)果。另一種是將0.3擴大10倍得到結(jié)果。兩種算法得出的結(jié)果均正確,教師據(jù)此引導學生探究不同的算法所依托的算理。

探究得出結(jié)論:0.3連加10次的算法源于乘法的意義,即乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算;將0.3擴大10倍的算法依據(jù)的算理是積的變化規(guī)律。積的變化規(guī)律是兩個數(shù)相乘,一個因數(shù)擴大(或縮小)N倍,另一個因數(shù)不變,那么它們的積也擴大N倍。通過例題引出恰當?shù)乃惴?再由算法探究出算理,從而促使學生順暢地理解算法與算理間的內(nèi)在聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上,教師舉出0.5×10=? 5×10=? 等一系列算式,其中涵蓋小數(shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘整數(shù)等不同類型,對此教師提出兩個基本問題:比較0.5×10 與5×10 二者結(jié)果的差別,運算結(jié)果差別的原因是什么? 如果將原來的算式改變?yōu)?0×0.5 與10×5,運算的結(jié)果有變化嗎?

針對第一個問題,學生根據(jù)乘法的基本概念分別從兩個方面進行解答。第一是10個0.5相加得到5;5×10同樣表達的是10個5相加,最終得到50,二者的區(qū)別就在于5是0.5的10倍,結(jié)果也必須相差10 倍,因此符合“一個因數(shù)擴大(或縮小)N倍,另一個是因數(shù)不變,那么它們的積也擴大N倍”的積的變化規(guī)律。在第二個問題中,變化了的算式10×0.5、10×5與0.5×10、5×10的運算結(jié)果并沒有不同,這一結(jié)果表現(xiàn)了“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫作乘法”的基本要求。問題探究的主要目的在于引導學生對乘法的基本概念與積的變化規(guī)律予以深刻理解。

基于不同類型的數(shù)學乘法算式而理解相同的算理,繼而促使學生選擇正確的算法進行運算。在這一過程中,教師引導學生分別從正向思維與逆向思維理解乘法的算理本質(zhì),加深學生對乘法的概念、乘法的意義、積的變化規(guī)律等運算方法與技巧的掌握,使學生形成算理思維,建立算理與算法關(guān)聯(lián)的理念認知,有助于學生把握運算的本質(zhì)。尤其在其面對復雜問題時,學生能夠以算理為基礎(chǔ)準確選擇算法,化繁為簡,高效地解決實際問題。

三、以學情為基點, 輔助學生厘清算理與算法的關(guān)聯(lián)

厘清算理與算法之間的關(guān)聯(lián)可以引導學生應用算理指導算法選擇,正確的運算方法、規(guī)范運算的過程。學生是課堂學習的主體,因此教師應該在把握學情的基礎(chǔ)上應用合適的教學方法,引導學生主動探究,變被動學習為主動合作。運算教學中的算理屬于基礎(chǔ)理論知識,是進行運算方法應用及實施運算的程序、步驟的理論依據(jù),解決了“為什么這樣運算”的問題。

例如,整數(shù)乘法運算:3×5=( ) 6×4=( ) 2×8=( )等算式,學生可以利用口算的方式直接得到結(jié)果。

四、以算理的理解為基礎(chǔ), 達到學生自主建構(gòu)算法的目的

課堂是培養(yǎng)學生自主探究學習能力的主要渠道,將算理結(jié)合算法教學能有效提高學生的數(shù)學知識掌握及解決實際問題的能力,從而培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。因此,教師應從新舊知識連接處入手,幫助學生掌握算理,借助實際運算問題提升學生算法意識。通過相關(guān)題型的歸納、講解,培養(yǎng)學生提高應用算法的能力,有助于學生更好地掌握算法和算理,建構(gòu)算法。

例如,教師可設置情境:學校即將舉辦“體育節(jié)”,在籌備體育節(jié)的過程中,教師需要購買大量體育用品,這些體育用品包括乒乓球(52 個)、羽毛球(40個)、毽子(48個)等,其使用的對象分別是男同學與女同學組成的運動隊。

要求:如何將乒乓球、羽毛球、毽子合理分配給男女兩個隊的運動員?

針對乒乓球(52 個)、羽毛球(40 個)、毽子(48 個)進行分配,分配的對象是男女兩個隊,其中分為三種類型的答案。

第一種乒乓球(52個)平均分配到男女運動隊:52÷2=( )

第二種羽毛球(40個)平均分配到男女運動隊:40÷2=( )

第三種毽子(48 個)平均分配到男女運動隊:48÷2=( )

教師要求學生提出個人想法,列出與之對應的運算公式并以口算的方式運算出最終的結(jié)果,分析其所表達的意義。

52÷2=(26):52÷2=表示52中有2個26,兩個26 是相等的,因此是將52 個乒乓球平均分配。

40÷2=(20):可以用畫圖來理解其中的意義,一個長條是由十個火柴棒組成,4 個長條就會有40個火柴棒,總共有40個火柴棒。四個長條可以劃分為兩個長條,而每個長條里面有20個火柴棒。所以,40÷2=20。

48÷2=(24):可以應用口算的方法解決,十位的4除以2,十位是2,個位的8除以2,個位是4,因此最后的結(jié)果24,是由十位的2與個位的4組成的。

在教師的引導下學生自主思考并選擇的運算方法及所應用的運算過程,體現(xiàn)除法運算的算理。通過情境設置引導學生在解決問題的過程中回顧整十數(shù)除以一位數(shù)口算的算理與算法,強調(diào)除法的定義、運算的法則,引導學生在后續(xù)學習中主動從“運算單位個數(shù)的運算”角度,探索和理解兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理,為其主動建構(gòu)算法創(chuàng)造條件。