一、選擇題

1.C 提示:對于選項A,不同的參觀方案與次序有關,是排列問題,故A 錯誤。

對于選項B,5名志愿者安排到5個不同的時間段與次序有關,是排列問題,故B錯誤。

對于選項C,子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關,是組合問題,故C正確。

對于選項D,選出的2名學生,如甲、乙,其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2 種不同的選法,因此是排列問題,故D 錯誤。

2.B 提示:對于選項A,該組合數(shù)公式正確。

對于選項B,利用公式知,n=4或n=2,B錯誤。

對于選項C,由組合數(shù)與排列數(shù)的定義知,C正確。

該二項展開式中二項式系數(shù)和為22023。

令x=1,則各項系數(shù)和為(1+1)2023=22023,二項展開式中二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和相等,選項C正確。

由二項展開式的通項公式可知,r為偶數(shù)時,對應的項為有理項,選項D 錯誤。

4.A 提示:5位體育愛好者報名參加自由式滑雪,速度滑冰,單板滑雪3 個項目,每人只報其中一個項目,故共有種35不同的報名方案。

5.B 提示:方法一:(先分組再排列)將4位新教師安排到A,B,C三所學校去任教,每所學校至少一人,分配方案是:1,1,2。先分成三組有種方法,接著再把這三組排到三所學校有種方法,所以不同的安排方案的種數(shù)是

方法二:先從4 位新教師中選出3 人安排到A,B,C三所學校去任教,每所學校至少一人,有種方法。余下的一人再分到三所學校中的一個學校,有種方法。但是去同一所學校的兩個新教師出現(xiàn)了先去后去的重復現(xiàn)象,所以不同的安排方案的種數(shù)是

因為存在常數(shù)項,所以要求n-3r=0,即n=3r。

n為正整數(shù),故當r=1時,n的最小值為3。

7.B 提示:(正難則反)將5名航天員安排在3個實驗艙的方案數(shù)為

所以滿足條件的方案數(shù)為20-6=14。

8.D 提示:(小集團捆綁法)先從不含1的6個數(shù)字中選出2個排在兩個1 之間組成一個小集團,有種方法;再把含1的小集團與剩下的4個數(shù)字看作5個元素要排在5個位置上,含1 的小集團只能排在中間的3個位置上,其他4個數(shù)字排在剩余的4 個位置上,有種方法。該數(shù)學愛好者可以設置的不同密碼有

9.B 提示:(先選后排,平均分配)根據(jù)題意,分兩步進行分析:

②再從剩下的6 人中選出2 人,安排在第一天,接著再選出2人安排到第三天值班,有種安排方法。

10.D 提示:(先分組再排列)依據(jù)圖形特點,用4種顏色去涂色,可以涂同一種顏色的區(qū)域有AC,AE,BC,BE,CE,共五種,所以不同的涂色方法有=600(種)。

11.D 提示:(換元法)令x+1=t,則x=t-1。

故(x-1)4+2x5=(t-2)4+2(t-1)5=a0+a1+a2t2+…+a5t5。

(t-2)4中t3的系數(shù)為×(-2)=-8,2(t-1)5中t3的系數(shù)為(-1)2=20。

所a3=-8+20=12。

二、填空題

①有3個括號里出x3,3個括號出其他2個括號出-1。②有2個括號里出x3,其他6個括號出-1。則展開式中含x6的項為,故所求系數(shù)為-532。

14.24 提示:問題可看作是將3個不同元素與3 個完全一樣的元素排成一列,且三個不同元素不相鄰的問題。

第一步,將3個相同元素排成一列,共1種方法;

15.7 提示:152023=(16-1)2023。

由(16-1)2023的展開式的通項公式為可得,展開式前2 023 項每一項都是8 的倍數(shù),最后一項為-1。

故152023除以8的余數(shù)為7。

16.3 提示:根據(jù)題意,設該球隊勝x場,平y(tǒng)場,負z場,則x、y、z是非負整數(shù),則有

由3x+y=33,變形可得y=3(11-x)。

代入x+y+z=15,可得z=2(x-9)。

又由0≤y≤15,0≤z≤15,解得9≤x≤11。

當x=9時,y=6,z=0;

當x=10時,y=3,z=2;

當x=11時,y=0,z=4。

故比賽結果是:勝9 場、平6 場,或是勝10,平3場,負2場,或是勝11場、負4場,共3種情況。

三、解答題

17.(1)根據(jù)題意,三位“漸升數(shù)”要求除百位數(shù)字外,每一個數(shù)字均比其左邊的數(shù)字大,故要求的三位“漸升數(shù)”中不能有0。

只需在其他9 個數(shù)字中任取3 個,將其從小到大排列,即可得一個三位“漸升數(shù)”,故每種取法對應1 個“漸升數(shù)”,則三位“漸升數(shù)”共有=84(個)。

因為70+35=105<110,70+35+15=120>110,所以第110 個“漸升數(shù)”是最高數(shù)位為3的五位“漸升數(shù)”。而最高數(shù)位為3的五位“漸升數(shù)”由小到大排列后的前五個為:34 567,34 568,34 569,34 578,34 579,所以第110個“漸升數(shù)”為34 579。

18.(1)若選①②。

由題意知,2n=32,則n=5。

所以展開式中含x3項的系數(shù)為-11。

19.(1)把10個球擺好,在中間9個空隙中選擇放3個板子,所以一共有C39=84(種)方法。

(2)由題意可知,可以出現(xiàn)空盒子,所以把10個球和4 個虛擬的球擺好,在中間13個空隙中選擇放3個板子,所以一共有=286(種)方法。

(3)先在編號為1,2,3的3個盒子中依次放入0,1,2個球,再只要保證余下的7 個球每個盒子至少放一個球,把7個球擺好,在中間6個空隙中選擇放2個板子,所以一共有=15(種)方法。

20.(1)將剩下的7位家長分為3組。

所以每個時段至少有1 人,共有420+630+126+630=1 806(種)不同安排方法。

(2)已知A,B不在第一個,也不在最后,且相鄰,則將A,B捆綁,從中間5 個位置選一個位置有種方法,A,B再排序有種方法,其余6位家長全排列有種方法。

解得n=20或-21(舍去)。

第r+1項的系數(shù)最大,只需下列不等式組成立即可:

則展開式中系數(shù)最大項的項數(shù)為6。

(2)(1)中公式的實際意義如下。

一方面,從n+1個不同的元素中選出m個元素的方法數(shù)為。

另一方面,把n+1個不同的元素看作n個不同的元素以及元素甲,從中選出m個元素可以分作兩類:一是選元素甲,則需要從n個不同的元素中再選出m-1 個元素,即;二是不選甲,則需要從n個不同的元素中再選出m個元素,即。

所以從n+1個不同的元素中選出m個元素的方法數(shù)為